Закон Рэлея – Джинса

редактировать

аппроксимация спектральной яркости черного тела

Сравнение закона Рэлея – Джинса с приближением Вина и закон Планка для тела с температурой 5800 K температура.

В физике закон Рэлея – Джинса является приближением к спектральная яркость электромагнитного излучения как функция длины волны от черного тела при заданной температуре с помощью классических аргументов. Для длины волны $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ это:

B λ (T) = 2 ck BT λ 4, {\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = { \ frac {2ck _ {\ mathrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}},}

{\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = {\ frac {2ck _ {\ mat hrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}},}

где $B λ {\ displaystyle B _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle B _ {\ lambda}}$ - это спектральная яркость, мощность, излучаемая на единицу излучающей площади, на стерадиан на единицу длины волны; $c {\ displaystyle c}$ $c$ - скорость света ; $k B {\ displaystyle k _ {\ mathrm {B}}}$ $k _ {\ mathrm {B}}$ - постоянная Больцмана ; и $T {\ displaystyle T}$ $T$ - температура в кельвинах. Для frequency $ν {\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ вместо этого выражение имеет вид

B ν (T) = 2 ν 2 k B T c 2. {\ displaystyle B _ {\ nu} (T) = {\ frac {2 \ nu ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T} {c ^ {2}}}.}

{\ displaystyle B _ {\ nu} (T) = {\ frac {2 \ nu ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T} {c ^ {2}}}.}

Джинсы Рэлея закон согласуется с экспериментальными результатами на больших длинах волн (низкие частоты), но сильно не согласуется с короткими длинами волн (высокими частотами). Это несоответствие между наблюдениями и предсказаниями классической физики широко известно как ультрафиолетовая катастрофа. Его разрешение в 1900 году с выводом Максом Планком закона Планка, который дает правильное излучение на всех частотах, было основополагающим аспектом развития квантовой механики В начале 20 века.

Содержание

1 Историческое развитие
2 Сравнение с законом Планка
3 Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны
4 Другие формы закона Рэлея – Джинса
5 См. Также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Историческое развитие

В 1900 году британский физик лорд Рэлей вывел зависимость закона Рэлея – Джинса от λ на основе классических физических аргументов и эмпирических фактов.. Более полный вывод, включающий константу пропорциональности, был представлен Рэли и сэром Джеймсом Джинсом в 1905 году. Закон Рэлея – Джинса выявил важную ошибку в теории физики того времени. Закон предсказал выход энергии, который расходится в сторону бесконечности, когда длина волны приближается к нулю (когда частота стремится к бесконечности). Измерения спектрального излучения реальных черных тел показали, что излучение согласуется с законом Рэлея-Джинса на низких частотах, но расходится на высоких частотах; достигает максимума, а затем падает с частотой, поэтому общая излучаемая энергия конечна.

Сравнение с законом Планка

В 1900 году Макс Планк эмпирическим путем получил выражение для излучения черного тела, выраженное через длину волны λ = c / ν (закон Планка ):

B λ (T) = 2 hc 2 λ 5 1 ehc λ k BT - 1, {\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = {\ frac { 2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}}, }

B_ \ lambda (T) = \ frac {2 hc ^ 2} {\ lambda ^ 5} ~ \ frac {1} {e ^ \ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T} -1},

где h - постоянная Планка, а k B - постоянная Больцмана. Закон Планка не подвержен ультрафиолетовой катастрофе и хорошо согласуется с экспериментальными данными, но его полное значение (которое в конечном итоге привело к квантовой теории) было оценено только несколько лет спустя. Поскольку

e x = 1 + x + x 2 2! + х 3 3! + ⋯. {\ displaystyle e ^ {x} = 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + \ cdots.}

e ^ {x} = 1 + x + {x ^ {2} \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + \ cdots.

тогда в пределе высоких температур или длинных волн, член в экспоненте становится малым, а экспонента хорошо аппроксимируется членом первого порядка полинома Тейлора

,

ehc λ k BT ≈ 1 + hc λ k BT. {\ displaystyle e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}} \ приблизительно 1 + {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}}. }

e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T}} \ приблизительно 1 + \ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T}.

Итак,

1 ehc λ k BT - 1 ≈ 1 hc λ k BT = λ k BT hc. {\ displaystyle {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {1} {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T}}} = {\ frac {\ lambda k _ {\ mathrm {B}} T} {hc}}.}

\ frac {1} {e ^ \ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T} -1} \ приблизительно \ frac {1} {\ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T}} = \ frac {\ lambda k_ \ mathrm {B} T} {hc}.

В результате формула черного тела Планка сводится к

В λ (T) = 2 ck BT λ 4, {\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = {\ frac {2ck _ {\ mathrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}}, }

{\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = {\ frac {2ck _ {\ mat hrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}},}

, которое идентично классическому производному выражению Рэлея – Джинса.

Тот же аргумент можно применить к излучению абсолютно черного тела, выраженному через частоту ν = c / λ. В пределе малых частот, то есть $h ν ≪ k BT {\ displaystyle h \ nu \ ll k _ {\ mathrm {B}} T}$ $h \ nu \ ll k_ \ mathrm {B} T$ ,

B ν (T) = 2 h ν 3 c 2 1 eh ν k BT - 1 ≈ 2 h ν 3 c 2 ⋅ k BT h ν = 2 ν 2 k BT c 2. {\ displaystyle B _ {\ nu} (T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} { k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} \ cdot {\ frac {k _ {\ mathrm {B} } T} {h \ nu}} = {\ frac {2 \ nu ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T} {c ^ {2}}}.}

{\ displaystyle B _ {\ nu} (T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu } {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} \ cdot {\ frac {k _ {\ mathrm { B}} T} {h \ nu}} = {\ frac {2 \ nu ^ {2} k _ {\ mathrm {B}} T} {c ^ {2}}}.}

Это последнее выражение - выражение Рэлея –Закон Джинса в пределе малых частот.

Согласованность выражений, зависящих от частоты и длины волны

При сравнении выражений закона Рэлея – Джинса, зависящих от частоты и длины волны, важно помнить, что

d P d λ = B λ ( T) {\ displaystyle {\ frac {dP} {d {\ lambda}}} = B _ {\ lambda} (T)}

\ frac {dP} { d {\ lambda}} = B _ {\ lambda} (T)

d P d ν = B ν (T) {\ displaystyle {\ frac {dP} {d {\ nu}}} = B _ {\ nu} (T)}

\ frac {dP} {d {\ nu}} = B _ {\ nu} (T)

Следовательно,

B λ (T) ≠ B ν (T) {\ displaystyle B_ {\ lambda} (T) \ neq B _ {\ nu} (T)}

B _ {{\ lambda}} (T) \ neq B _ {{\ nu}} (T)

даже после замены значения $λ = c / ν {\ displaystyle \ lambda = c / \ nu}$ $\ lambda = c / \ nu$ , поскольку $B λ (T) {\ displaystyle B _ {\ lambda} (T)}$ $B _ {{\ lambda}} (T)$ имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла, на единицу длины волны, тогда как $B ν (T) {\ displaystyle B _ {\ nu} (T)}$ $B _ {{\ nu}} (T)$ имеет единицы энергии, излучаемой в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу частоты . Чтобы быть последовательными, мы должны использовать равенство

B λ d λ = d P = B ν d ν {\ displaystyle B _ {\ lambda} \, d \ lambda = dP = B _ {\ nu} \, d \ nu }

B _ {{\ lambda}} \, d \ lambda = dP = B _ {{\ nu}} \, d \ nu

где обе стороны теперь имеют единицы мощности (энергия, излучаемая в единицу времени) на единицу площади излучающей поверхности на единицу телесного угла.

Исходя из закона Рэлея – Джинса по длине волны, мы получаем

B λ (T) = B ν (T) × d ν d λ {\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = B _ {\ nu} (T) \ times {\ frac {d \ nu} {d \ lambda}}}

B _ {{\ lambda}} (T) = B _ {{\ nu}} (T) \ times {\ frac {d \ nu} {d \ lambda}}

где

d ν d λ = dd λ (c λ) = - c λ 2 {\ displaystyle {\ frac {d \ nu} {d \ lambda}} = {\ frac {d} {d \ lambda}} \ left ({\ frac {c} {\ lambda}} \ right) = - {\ frac {c} {\ lambda ^ {2}}}}

{\ fra c {d \ nu} {d \ lambda}} = {\ frac {d} {d \ lambda}} \ left ({\ frac {c} {\ lambda}} \ right) = - {\ frac {c} {\ lambda ^ {2}}}

Это приводит нас к нахождению:

B λ (T) = 2 k BT (c λ) 2 c 2 × c λ 2 = 2 ck BT λ 4 {\ displaystyle B _ {\ lambda} (T) = {\ frac {2k _ {\ mathrm {B}} T \ left ({\ frac {c} {\ lambda}} \ right) ^ {2}} {c ^ {2}}} \ times {\ frac {c} {\ lambda ^ {2}}} = {\ frac {2ck _ {\ mathrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}}}

B _ {\ lambda} (T) = \ frac {2k_ \ mathrm {B} T \ left (\ frac {c} {\ lambda} \ right) ^ 2} {c ^ 2} \ times \ frac {c} {\ lambda ^ 2} = \ frac {2ck_ \ mathrm {B} T} {\ lambda ^ 4}

Другие формы закона Рэлея – Джинса

В зависимости от приложения функция Планка может быть выражена в 3 различных формах. Первый включает энергию, излучаемую в единицу времени на единицу площади излучающей поверхности, на единицу телесного угла, на единицу спектра. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются следующим образом:

B λ (T) = 2 hc 2 λ 5 1 ehc λ k BT - 1 ≈ 2 ck BT λ 4 {\ displaystyle B _ {\ lambda } (T) = {\ frac {2hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B} } T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {2ck _ {\ mathrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}}}

B_ \ lambda (T) = \ frac {2 hc ^ 2} {\ lambda ^ 5} ~ \ frac {1} {e ^ \ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T} -1} \ приблизительно \ frac {2c k_ \ mathrm {B} T} {\ lambda ^ 4}

или

B ν (T) = 2 h ν 3 c 2 1 eh ν К BT - 1 ≈ 2 К BT ν 2 c 2 {\ Displaystyle B _ {\ nu} (T) = {\ frac {2h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {2k _ {\ mathrm {B}} T \ nu ^ {2}} {c ^ {2}}}}

B_ \ nu (T) = \ frac {2h \ nu ^ 3} {c ^ 2} \ frac {1 } {e ^ \ frac {h \ nu} {k_ \ mathrm {B} T} - 1} \ приблизительно \ frac {2k_ \ mathrm {B} T \ nu ^ 2} {c ^ 2}

В качестве альтернативы закон Планка можно записать в виде выражения $I (ν, T) = π B ν (T) {\ displaystyle I (\ nu, T) = \ pi B _ {\ nu} (T)}$ $I (\ nu, T) = \ pi B_ {\ nu} (T)$ для излучаемой мощности, интегрированной по всем телесным углам. В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются следующим образом:

I (λ, T) = 2 π hc 2 λ 5 1 ehc λ k BT - 1 ≈ 2 π ck BT λ 4 {\ displaystyle I (\ lambda, T) = {\ frac {2 \ pi hc ^ {2}} {\ lambda ^ {5}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k_ { \ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {2 \ pi ck _ {\ mathrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}}}

I (\ lambda, T) = \ frac {2 \ pi hc ^ 2} {\ lambda ^ 5} ~ \ frac {1} {e ^ \ frac {hc } {\ lambda k_ \ mathrm {B} T} -1} \ приблизительно \ frac {2 \ pi ck_ \ mathrm {B} T} {\ lambda ^ 4}

или

I (ν, T) знак равно 2 π час ν 3 c 2 1 эх ν К BT - 1 ≈ 2 π K BT ν 2 c 2 {\ Displaystyle I (\ nu, T) = {\ гидроразрыва {2 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {2 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T \ nu ^ {2}} {c ^ {2}}}}

I (\ nu, T) = \ frac {2 \ pi h \ nu ^ 3} {c ^ 2} \ frac {1} {e ^ \ frac {h \ nu} {k_ \ mathrm {B} T} - 1} \ приблизительно \ frac {2 \ pi k_ \ mathrm {B} T \ nu ^ 2} {c ^ 2}

В других случаях закон Планка записывается как $u (ν, T) = 4 π c В ν (T) {\ displaystyle u (\ nu, T) = {\ frac {4 \ pi} {c}} B _ {\ nu} (T)}$ $u (\ nu, T) = {\ frac {4 \ pi} {c}} B _ {\ nu} (T)$ для энергии на единицу объема (плотность энергии). В этой форме функция Планка и связанные с ней пределы Рэлея – Джинса задаются следующим образом:

u (λ, T) = 8 π hc λ 5 1 ehc λ k BT - 1 ≈ 8 π k BT λ 4 {\ displaystyle u ( \ lambda, T) = {\ frac {8 \ pi hc} {\ lambda ^ {5}}} ~ {\ frac {1} {e ^ {\ frac {hc} {\ lambda k _ {\ mathrm {B} } T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {8 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T} {\ lambda ^ {4}}}}

u (\ lambda, T) = \ frac {8 \ pi hc} {\ lambda ^ 5} ~ \ frac {1} {e ^ \ frac {hc} {\ lambda k_ \ mathrm {B} T} -1} \ приблизительно \ frac {8 \ pi k_ \ mathrm {B} T} {\ lambda ^ 4}

или

u (ν, T) Знак равно 8 π час ν 3 c 3 1 eh ν К BT - 1 ≈ 8 π K BT ν 2 c 3 {\ displaystyle u (\ nu, T) = {\ frac {8 \ pi h \ nu ^ {3}} {c ^ {3}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}} \ приблизительно {\ frac {8 \ pi k _ {\ mathrm {B}} T \ nu ^ {2}} {c ^ {3}}}}

u (\ nu, T) = \ frac {8 \ pi h \ nu ^ 3} {c ^ 3} \ frac {1} {e ^ \ frac {h \ nu} {k_ \ mathrm {B} T} - 1} \ приблизительно \ frac {8 \ pi k_ \ mathrm { B} T \ nu ^ 2} {c ^ 3}

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

Получение в HyperPhysics