Передаточная функция

редактировать
Функция, определяющая поведение компонента в электронной системе или системе управления

В технике передача функция (также известная как системная функция или сетевая функция ) электронной или системы управления компонент является математическая функция, которая теоретически моделирует выход устройства для каждого возможного входа. В своей простейшей форме эта функция представляет собой двумерный график независимого скалярного входа в сравнении с зависимым скалярным выходом, называемый кривой перехода или характеристическая кривая . Передаточные функции для компонентов используются для проектирования и анализа систем, собранных из компонентов, в частности, с использованием методики блок-схемы в электронике и теории управления.

Размеры и единицы передаточной функции моделируют выходные данные реакция устройства на диапазон возможных входов. Например, передаточная функция двухпортовой электронной схемы , такой как усилитель, может быть двумерным графиком скалярного напряжения на выходе как функции приложенного скалярного напряжения. ко входу; передаточная функция электромеханического исполнительного механизма может быть механическим смещением подвижного рычага в зависимости от электрического тока, подаваемого на устройство; передаточной функцией фотодетектора может быть выходное напряжение как функция силы света падающего света с заданной длиной волны.

Термин «передаточная функция» также используется в анализе систем в частотной области с использованием таких методов преобразования, как преобразование Лапласа ; здесь это означает амплитуду выходного сигнала как функцию частоты входного сигнала. Например, передаточная функция электронного фильтра представляет собой амплитуду напряжения на выходе как функцию частоты синусоидальной волны постоянной амплитуды , подаваемой на вход. Для устройств формирования оптических изображений оптическая передаточная функция представляет собой преобразование Фурье функции рассеяния точки (следовательно, функция пространственной частоты ).

Содержание

  • 1 Линейные системы, не зависящие от времени
    • 1.1 Прямой вывод из дифференциальных уравнений
    • 1.2 Коэффициент усиления, переходные процессы и стабильность
  • 2 Обработка сигналов
    • 2.1 Общие семейства передаточных функций
  • 3 Техника управления
  • 4 Оптика
  • 5 Нелинейные системы
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки

Линейные нестационарные системы

Обычно передаточные функции используется при анализе таких систем, как одиночный вход - одиночный выход фильтры в областях обработки сигналов, теории связи и теория управления. Этот термин часто используется исключительно для обозначения линейных систем, не зависящих от времени (LTI). Большинство реальных систем имеют нелинейные входные / выходные характеристики, но многие системы при работе в номинальных параметрах (не «перегружены») имеют поведение, достаточно близкое к линейному, что теория систем LTI является приемлемым представлением поведения ввода / вывода.

Описания ниже даны в терминах комплексной переменной, s = σ + j ⋅ ω {\ displaystyle s = \ sigma + j \ cdot \ omega}s = \ sigma + j \ cdot \ omega , что несет краткое пояснение. Во многих приложениях достаточно определить σ = 0 {\ displaystyle \ sigma = 0}\ sigma = 0 (таким образом, s = j ⋅ ω {\ displaystyle s = j \ cdot \ omega}s = j \ cdot \ omega ), который уменьшает преобразования Лапласа с комплексными аргументами до преобразования Фурье с действительным аргументом ω. Приложения, в которых это является обычным явлением, представляют собой приложения, в которых интересует только стабильная реакция системы LTI, а не мимолетное поведение при включении и выключении или проблемы со стабильностью. Обычно это имеет место для обработки сигналов и теории связи.

Таким образом, для непрерывного времени входного сигнала x (t) {\ displaystyle x (t)}x (t) и вывод y (t) {\ displaystyle y (t)}y (t) , передаточная функция H (s) {\ displaystyle H (s)}H (s) - это линейное отображение преобразования Лапласа входных данных, X (s) = L {x (t)} {\ displaystyle X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}X (s) = \ mathcal {L} \ left \ {x (t) \ right \} к преобразованию Лапласа вывода Y (s) = L {y (t)} {\ displaystyle Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}}Y (s) = \ mathcal {L} \ left \ {y (t) \ right \} :

Y (s) = H (s) X (s) {\ displaystyle Y (s) = H (s) \; X ( s)}Y (s) = H (s) \; X (s)

или

H (s) = Y (s) X (s) = L {y (t)} L {x (t)} {\ displaystyle H (s) = {\ frac { Y (s)} {X (s)}} = {\ frac {{\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \}} {{\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \}}}}H (s) = \ frac {Y (s)} {X ( s)} = \ frac {\ mathcal {L} \ left \ {y (t) \ right \}} {\ mathcal {L} \ left \ {x (t) \ right \}} .

В системах с дискретным временем соотношение между входным сигналом x (t) {\ displaystyle x (t)}x (t) и вывести y (t) {\ displaystyle y (t)}.y (t) обрабатывается с помощью z-преобразования, а затем передаточная функция записывается аналогично как H (z) = Y (z) X (z) {\ displaystyle H (z) = {\ frac {Y (z)} {X (z)}}}H (z) = \ frac { Y (z)} {X (z)} , и это часто называют импульсной передаточной функцией.

Прямое вычисление из дифференциального уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

L [u] = dnudtn + a 1 dn - 1 udtn - 1 + ⋯ + an - 1 dudt + anu = r (t) {\ displaystyle L [u] = {\ frac {d ^ {n} u} {dt ^ {n}}} + a_ {1} {\ frac {d ^ {n-1} u} {dt ^ {n-1}}} + \ dotsb + a_ {n-1} {\ frac {du} {dt}} + a_ {n} u = r (t)}L [u] = \ frac {d ^ nu} { dt ^ n} + a_1 \ frac {d ^ {n-1} u} {dt ^ {n-1}} + \ dotsb + a_ {n-1} \ frac {du} { dt} + a_nu = r (t)

где u и r достаточно гладкие функции от t, а L - оператор, определенный в соответствующем функциональном пространстве, который преобразует u в r. Такое уравнение можно использовать для ограничения выходной функции u в терминах вынуждающей функции r. Передаточная функция может использоваться для определения оператора F [r] = u {\ displaystyle F [r] = u}F [r] = u , который служит правым обратным L, что означает, что L [F [r]] = r {\ displaystyle L [F [r]] = r}L [F [r]] = r .

Решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами L [u] = 0 { \ displaystyle L [u] = 0}L [u] = 0 можно найти, попробовав u = e λ t {\ displaystyle u = e ^ {\ lambda t}}u = e ^ {\ lambda t} . Эта замена дает характеристический многочлен

p L (λ) = λ n + a 1 λ n - 1 + ⋯ + an - 1 λ + an {\ displaystyle p_ {L} (\ lambda) = \ lambda ^ {n} + a_ {1} \ lambda ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {n-1} \ lambda + a_ {n} \,}p_L (\ lambda) = \ lambda ^ n + a_1 \ lambda ^ {n-1} + \ dotsb + a_ {n-1} \ lambda + a_n \,

Неоднородный случай может быть легко решен, если вход функция r также имеет вид r (t) = est {\ displaystyle r (t) = e ^ {st}}r (t) = e ^ {st} . В этом случае, подставив u = H (s) est {\ displaystyle u = H (s) e ^ {st}}u = H (s) e ^ {st} , можно найти, что L [H (s) est ] = est {\ displaystyle L [H (s) e ^ {st}] = e ^ {st}}L [H (s) e ^ {st}] = е ^ {st} , если мы определим

H (s) = 1 p L (s) везде, где p L (s) ≠ 0. {\ Displaystyle H (s) = {\ frac {1} {p_ {L} (s)}} \ qquad {\ text {wherever}} \ quad p_ {L} (s) \ neq 0.}{\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} { p_ {L} (s)}} \ qquad {\ text {wherever}} \ quad p_ {L} (s) \ neq 0.}

Принятие этого определения передаточной функции требует тщательного устранения неоднозначности между комплексными и реальными значениями, на что традиционно влияет интерпретация abs (H (s)) как усиление и -атан (H (s)) в качестве фазовой задержки. Используются другие определения передаточной функции: например, 1 / p L (i k). {\ displaystyle 1 / p_ {L} (ik).}1 / p_L (ik).

Коэффициент усиления, переходные процессы и стабильность

Общий синусоидальный вход для системы частоты ω 0 / (2 π) {\ displaystyle \ omega _ {0} / (2 \ pi)}{\ displaystyle \ omega _ {0} / ( 2 \ pi)} может быть записано exp ⁡ (j ω 0 t) {\ displaystyle \ exp (j \ omega _ {0} t)}{\ displaystyle \ exp (j \ omega _ {0} t)} . Отклик системы на синусоидальный вход, начинающийся в момент времени t = 0 {\ displaystyle t = 0}t = 0 , будет состоять из суммы установившегося отклика и переходного отклика. Стационарный отклик - это выходной сигнал системы в пределе бесконечного времени, а переходный отклик - это разница между откликом и установившимся откликом (он соответствует однородному решению приведенного выше дифференциального уравнения). Передаточная функция для системы LTI можно записать как продукт:

H (s) = ∏ i = 1 N 1 s - s P i {\ displaystyle H (s) = \ prod _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {s-s_ {P_ {i}}}}}{\ displaystyle H (s) = \ prod _ {i = 1} ^ {N} {\ frac {1} {s-s_ { P_ {i}}}}}

где s Pi- это N корней характеристического многочлена и, следовательно, будут полюсами переноса функция. Рассмотрим случай передаточной функции с одним полюсом H (s) = 1 s - s P {\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {s-s_ {P}}}}{\ displaystyle H (s) = {\ frac {1} {s-s_ {P}}}} где s P = σ P + j ω P {\ displaystyle s_ {P} = \ sigma _ {P} + j \ omega _ {P}}{\ displaystyle s_ {P} = \ sigma _ {P} + j \ omega _ {P}} . Преобразование Лапласа общей синусоиды с единичной амплитудой будет 1 s - j ω i {\ displaystyle {\ frac {1} {s-j \ omega _ {i}}}}{\ displaystyle {\ frac {1} {sj \ omega _ {i}}}} . Преобразование Лапласа на выходе будет иметь вид H (s) (s - j ω 0) {\ displaystyle {\ frac {H (s)} {(sj \ omega _ {0})}}}{\ displaystyle {\ frac {H (s)} {(sj \ omega _ {0})}}} , а временным выходом будет обратное преобразование Лапласа этой функции:

g (t) = ej ω 0 t - e (σ P + j ω P) t - σ P + j (ω 0 - ω P) {\ displaystyle g (t) = {\ frac {e ^ {j \, \ omega _ {0} \, t} -e ^ {(\ sigma _ {P} + j \, \ omega _ {P }) t}} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}}}{\ displaystyle g (t) = {\ frac {e ^ {j \, \ omega _ {0} \, t} -e ^ {(\ sigma _ {P} + j \, \ omega _ {P}) t}} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}}}

Второй член в числителе - это переходный отклик, а в В пределе бесконечного времени он будет расходиться до бесконечности, если σ P положительно. Чтобы система была стабильной, ее передаточная функция не должна иметь полюсов, действительные части которых положительны. Если передаточная функция строго устойчива, действительные части всех полюсов будут отрицательными, и переходное поведение будет стремиться к нулю в пределе бесконечного времени. Выход в установившемся режиме будет иметь вид:

g (∞) = ej ω 0 t - σ P + j (ω 0 - ω P) {\ displaystyle g (\ infty) = {\ frac {e ^ {j \, \ omega _ {0} \, t}} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}}}{\ displaystyle g (\ infty) = {\ frac {e ^ {j \, \ omega _ {0} \, t}} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}}}

Частотная характеристика (или «усиление») G системы определяется как абсолютное значение отношения выходной амплитуды к установившейся входной амплитуде:

G (ω i) = | 1 - σ P + j (ω 0 - ω P) | Знак равно 1 σ п 2 + (ω п - ω 0) 2 {\ displaystyle G (\ omega _ {i}) = \ left | {\ frac {1} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}} \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma _ {P} ^ {2} + (\ omega _ {P} - \ omega _ { 0}) ^ {2}}}}}{\ displaystyle G (\ omega _ {i}) = \ left | {\ frac {1} {- \ sigma _ {P} + j (\ omega _ {0} - \ omega _ {P})}} \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {\ sigma _ {P} ^ {2} + (\ omega _ {P} - \ omega _ {0}) ^ {2}}}}}

который представляет собой просто абсолютное значение передаточной функции H (s) {\ displaystyle H (s)}H (s) , оцененное как J ω я {\ Displaystyle J \ omega _ {я}}{\ displaystyle j \ omega _ {i}} . Можно показать, что этот результат действителен для любого числа полюсов передаточной функции.

Обработка сигналов

Пусть x (t) {\ displaystyle x (t)}x (t) будет входом в общую линейную не зависящую от времени систему и y (t) {\ displaystyle y (t)}y (t) быть выходом, а двустороннее преобразование Лапласа из x (t) { \ Displaystyle x (t)}x (t) и y (t) {\ displaystyle y (t)}y (t) be

X (s) = L {x (t) } = def ∫ - ∞ ∞ x (t) e - stdt, Y (s) = L {y (t)} = def ∫ - ∞ ∞ y (t) e - stdt. {\ Displaystyle {\ begin {align} X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t) e ^ {- st} \, dt, \\ Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} y (t) e ^ {- st} \, dt. \ end { выровнен}}}{\ begin {выровнено} X (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {x (t) \ right \} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ int _ {{- \ infty}} ^ {{\ infty}} x (t) e ^ {{- st}} \, dt, \\ Y (s) = {\ mathcal {L}} \ left \ {y (t) \ right \} \ {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \ \ int _ {{- \ infty }} ^ {{\ infty}} y (t) e ^ {{- st}} \, dt. \ end {align}}

Тогда вывод соотносится с вводом с помощью передаточной функции H (s) {\ displaystyle H (s)}H (s) как

Y (s) = H (s) Икс (s) {\ Displaystyle Y (s) = H (s) X (s)}{\ displaystyle Y (s) = H (s) X (s)}

и, следовательно, сама передаточная функция

H (s) = Y (s) X (s). {\ displaystyle H (s) = {\ frac {Y (s)} {X (s)}}.}H (s) = {\ гидроразрыва {Y (s)} {X (s)}}.

В частности, если complex гармоника сигнал с синусоидальной составляющей с амплитудой | X | {\ displaystyle | X |}|X|, угловая частота ω {\ displaystyle \ omega}\ omega и phase arg ⁡ (X) {\ displaystyle \ arg (X)}{\ displaystyle \ arg (X)} , где arg - аргумент

x (t) = X ej ω t = | X | ej (ω T + arg ⁡ (X)) {\ displaystyle x (t) = Xe ^ {j \ omega t} = | X | e ^ {j (\ omega t + \ arg (X))}}Икс (T) знак равно Хе ^ {J \ Omega T} = | Икс | е ^ {J (\ omega t + \ arg (X))}
где X = | X | ej arg ⁡ (X) {\ displaystyle X = | X | e ^ {j \ arg (X)}}{\ displaystyle X = | X | e ^ {j \ arg (X)}}

вводится в линейную инвариантную во времени систему, затем соответствующий компонент в вывод:

y (t) = Y ej ω t = | Y | e j (ω t + arg ⁡ (Y)), Y = | Y | e j arg ⁡ (Y). {\ Displaystyle {\ begin {align} y (t) = Ye ^ {j \ omega t} = | Y | e ^ {j (\ omega t + \ arg (Y))}, \\ Y = | Y | e ^ {j \ arg (Y)}. \ end {align}}}{\ begin {align} y (t) = Ye ^ {{j \ omega t}} = | Y | e ^ {{j (\ omega t + \ arg (Y))}}, \\ Y = | Y | e ^ {{j \ arg (Y)}}. \ End {align}}

Обратите внимание, что в линейной системе, не зависящей от времени, входная частота ω {\ displaystyle \ omega}\ omega не изменилось, только амплитуда и фазовый угол синусоиды были изменены системой. частотная характеристика H (j ω) {\ displaystyle H (j \ omega)}{\ displaystyle H (j \ omega)} описывает это изменение для каждой частоты ω {\ displaystyle \ omega}\ omega с точки зрения усиления:

G (ω) = | Y | | X | = | H (j ω) | {\ displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (j \ omega) |}{\ Displaystyle G (\ omega) = {\ frac {| Y |} {| X |}} = | H (j \ omega) |}

и фазовый сдвиг:

ϕ (ω) = arg ⁡ (Y) - arg ⁡ (X) = arg ⁡ (H (j ω)). {\ displaystyle \ phi (\ omega) = \ arg (Y) - \ arg (X) = \ arg (H (j \ omega)).}\ phi (\ omega) = \ arg (Y) - \ arg (X) = \ arg (H (j \ omega)).

фазовая задержка (т.е. частотно-зависимая величина задержки, вносимая передаточной функцией в синусоиду) составляет:

τ ϕ (ω) = - ϕ (ω) ω. {\ displaystyle \ tau _ {\ phi} (\ omega) = - {\ frac {\ phi (\ omega)} {\ omega}}.}\ tau _ {{\ phi}} (\ omega) = - {\ frac { \ фи (\ омега)} {\ омега}}.

Групповая задержка (т. е. частотно-зависимая величина задержки, вносимая передаточной функцией в огибающую синусоиды) находится путем вычисления производной фазового сдвига по угловой частоте ω {\ displaystyle \ omega}\ omega ,

τ g (ω) = - d ϕ (ω) d ω. {\ displaystyle \ tau _ {g} (\ omega) = - {\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}.}\ tau _ {{g} } (\ omega) = - {\ frac {d \ phi (\ omega)} {d \ omega}}.

Передаточная функция также может быть показана с помощью Преобразование Фурье, которое является лишь частным случаем двустороннего преобразования Лапласа для случая, когда s = j ω {\ displaystyle s = j \ omega}s = j \ omega .

Общие семейства передаточных функций

Хотя любую систему LTI можно описать той или иной передаточной функцией, существуют определенные «семейства» специальных передаточных функций, которые обычно используются.

Некоторые общие семейства передаточных функций и их особые характеристики:

Техника управления

В Технике управления и теории управления передаточная функция выводится с использованием Преобразование Лапласа.

Передаточная функция была основным инструментом, используемым в классической технике управления. Однако он оказался громоздким для анализа систем с множеством входов и множеством выходов (MIMO) и был в значительной степени вытеснен представлениями пространства состояний для таких систем. Несмотря на это, передаточная матрица всегда может быть получена для любой линейной системы с целью анализа ее динамики и других свойств: каждый элемент передаточной матрицы является передаточной функцией, связывающей конкретную входную переменную с выходная переменная.

Полезное представление, связывающее пространство состояний и методы передаточной функции, было предложено Говардом Х. Розенброком и упоминается как матрица системы Розенброка.

Оптика

В оптике, функция передачи модуляции указывает возможность передачи оптического контраста.

Например, при наблюдении за серией полос черно-белого света, нарисованных с определенной пространственной частотой, качество изображения может ухудшиться. Белая бахрома тускнеет, а черная становится ярче.

Передаточная функция модуляции на определенной пространственной частоте определяется как

MTF (f) = M (изображение) M (источник), {\ displaystyle \ mathrm {MTF} (f) = {\ frac {M (\ mathrm {image})} {M (\ mathrm {source})}},}{\ displaystyle \ mathrm {MTF} ( f) = {\ frac {M (\ mathrm {image})} {M (\ mathrm {source})}},}

где модуляция (M) вычисляется из следующего изображения или яркости света:

M = L max - L мин L макс + L мин. {\ displaystyle M = {\ frac {L _ {\ max} -L _ {\ min}} {L _ {\ max} + L _ {\ min}}}.}M = {\ frac {L _ {{\ max}} - L _ {{\ min}}} {L _ {{\ max}} + L _ {{\ min}}}}.

Нелинейные системы

Передаточные функции не существуют должным образом для многих нелинейных систем. Например, они не существуют для релаксационных осцилляторов ; тем не менее, , описывающий функции, иногда может использоваться для аппроксимации таких нелинейных неизменяющихся во времени систем.

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-11 09:46:47
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте