Матрица системы Розенброка

В прикладной математике матрица системы Розенброка или Системная матрица Розенброка линейной системы, не зависящей от времени, является полезным представлением, соединяющим представление в пространстве состояний и матрицу передаточной функции. Он был предложен в 1967 году Говардом Х. Розенброком.

Рассмотрим динамическую систему

$x\; \dot{}\; =\; A\; x\; +\; B\; u,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; =\; Ax\; +\; Bu,\}$

$y\; =\; C\; x\; +\; D\; u.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; Cx\; +\; Du.\}$

Матрица системы Розенброка определяется как

$P\; (s)\; =\; (s\; I\; -\; A\; -\; B\; C\; D).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; (s)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; sI-A\; -B\; \backslash \backslash \; CD\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

В оригинальной работе Розенброка матрица констант $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$может быть многочленом от $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$.

Передаточная функция между входом $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$и выходом $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$определяется как

$gij\; =\; |\; s\; I\; -\; A\; -\; b\; i\; c\; j\; d\; i\; j\; |\; |\; s\; I\; -\; A\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; begin\; \{vmatrix\}\; sI-A\; -b\_\; \{i\}\; \backslash \backslash \; c\_\; \{j\}\; d\_\; \{ij\}\; \backslash \; end\; \{vmatrix\}\}\; \{|\; sI-A\; |\}\}\}$

где $bi\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{i\}\}$- столбец $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$из $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $cj\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{j\}\}$- строка $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$из $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$.

На основе этого представления Розенброк разработал свою версию теста PHB.

Для вычислительных целей более подходящей является краткая форма матрицы системы Розенброка, которая задается как

$P\; \sim \; (A\; B\; C\; D).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; sim\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; AB\; \backslash \backslash \; CD\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Краткая форма матрицы системы Розенброка широко использовалась в методах H-бесконечности в теории управления, где также называется упакованной формой; см. команду pck в MATLAB. Интерпретацию системной матрицы Розенброка как линейного дробного преобразования можно найти в.

Одним из первых применений формы Розенброка была разработка эффективного вычислительного метода для разложения Калмана, который основан на методе поворотных элементов. Вариант метода Розенброка реализован в команде minreal Matlab и GNU Octave.