График потока сигналов

A граф потока сигналов или граф потока сигналов (SFG ), изобретенный Клодом Шенноном, но часто называемый графом Мейсона в честь Сэмюэля Джефферсона Мэйсона, который ввел этот термин, является специализированным потоковым графом, ориентированный граф, в котором узлы представляют системные переменные, а ветви (ребра, дуги или стрелки) представляют функциональные связи между парами узлов. Таким образом, теория графов потока сигналов основывается на теории ориентированных графов (также называемых орграфами ), которая также включает теорию ориентированных графов. Эта математическая теория орграфов существует, конечно, совершенно независимо от ее приложений.

SFG чаще всего используются для представления потока сигналов в физической системе и ее контроллере (ах), формируя киберфизическая система. Среди других их применений - представление потока сигналов в различных электронных сетях и усилителях, цифровые фильтры, фильтры с переменным состоянием и некоторые другие типы аналоговых фильтров. Почти во всей литературе граф потока сигналов связан с набором линейных уравнений.

• 1 История
• 2 Область применения
• 3 Основные концепции потокового графа
  • 3.1 Выбор переменные
  • 3.2 Неединственность
• 4 Линейные графики потока сигналов
  • 4.1 Основные компоненты
  • 4.2 Систематическое сокращение до источников и стоков
    • 4.2.1 Реализации
  • 4.3 Решение линейных уравнений
    • 4.3.1 Представление уравнений в «стандартной форме»
    • 4.3.2 Применение формулы усиления Мейсона
• 5 Связь с блок-схемами
• 6 Интерпретация «причинно-следственной связи»
• 7 Графики потока сигналов для анализа и проектирования
  • 7.1 Графики потока сигналов для анализа динамических систем
  • 7.2 Графики потоков сигналов для синтеза проекта
• 8 Формулы Шеннона и Шеннона-Хаппа
• 9 Примеры линейных диаграмм потока сигналов
  • 9.1 Простой усилитель напряжения
  • 9.2 Идеальный усилитель отрицательной обратной связи
  • 9.3 Электрическая цепь, содержащая двухпортовую сеть
  • 9.4 Мехатроника: сервопривод положения с многоконтурной обратной связью
• 10 Терминал Технология и классификация графов потока сигналов
  • 10.1 Стандарты, охватывающие графы потоков сигналов
  • 10.2 График потоков сигналов и переходов между состояниями
  • 10.3 Закрытый потоковый граф
• 11 Нелинейные потоковые графы
  • 11.1 Примеры нелинейных функций ветвления
  • 11.2 Примеры моделей нелинейных графов потока сигналов
• 12 Применение методов SFG в различных областях науки
• 13 См. Также
• 14 Примечания
• 15 Ссылки
• 16 Дополнительная литература
• 17 Внешние ссылки

Вай-Кай Чен писал: «Концепция графа потока сигналов была первоначально разработана Шенноном [1942] при работе с аналоговыми компьютерами. Наибольшую заслугу в разработке графов потока сигналов обычно оказывали Мэйсон [1953], [1956]. Он показал, как использовать технику графа потока сигналов для решения некоторых сложных электронных задач относительно простым способом. Термин граф потока сигналов был использован из-за его первоначального применения к электронным проблемам и связи с электронными сигналами и блок-схемами исследуемых систем ».

Лоренс писал:« До Работа Мэйсона, К. Э. Шеннон разработал ряд свойств того, что теперь известно как потоковые графы. К сожалению, статья изначально имела ограниченную классификацию, и очень немногие люди имели доступ к материалу. "

" Правила для оценки определителя графа графа Мейсона были впервые даны и доказаны Шенноном [1942] с помощью математической индукции. Его работа оставалась практически неизвестной даже после того, как Мейсон опубликовал свою классическую работу в 1953 году. Три года спустя Мейсон [1956] заново открыл правила и доказал их, рассмотрев значение определителя и то, как оно изменяется при добавлении переменных к графу. [...] «

Робишо и др. Определяют область применения SFG следующим образом:

« Все физические системы, аналогичные этим сетям [построенные из идеальные трансформаторы, активные элементы и гираторы] составляют область применения разработанных методов [здесь]. Трент показал, что все физические системы, которые удовлетворяют следующим условиям, попадают в эту категорию.

1. Конечная система с сосредоточенными параметрами состоит из ряда простых частей, каждая из которых имеет известные динамические свойства, которые могут быть определены уравнениями, использующими два типа скалярных переменных и параметров системы. Переменные первого типа представляют собой величины, которые могут быть измерены, по крайней мере, концептуально, путем присоединения показывающего прибора к двум точкам соединения элемента. Переменные второго типа характеризуют величины, которые можно измерить, последовательно подключив счетчик к элементу. Относительные скорости и положения, перепады давлений и напряжения являются типичными величинами первого класса, тогда как электрические токи, силы, скорости теплового потока - переменными второго типа. Firestone была первой, кто различил эти два типа переменных с именами между переменными и переменными.
2. Переменные первого типа должны подчиняться сеточному закону, аналогичному закону напряжения Кирхгофа, тогда как переменные второго типа должны удовлетворять закону инцидентности, аналогичному текущему закону Кирхгофа.
3. Физические размеры соответствующих произведений переменных двух типов должны быть согласованы. Для систем, в которых выполняются эти условия, можно построить линейный граф, изоморфный динамическим свойствам системы, описываемым выбранными переменными. Эти методы [...] могут применяться непосредственно к этим линейным графам, а также к электрическим сетям, чтобы получить граф потока сигналов системы ».

На следующем рисунке и его значение было введено Мэйсоном для иллюстрации основных понятий:

В простых потоковых графах на рисунке функциональная зависимость узла обозначена входящей стрелкой, узел, вызывающий это влияние, является началом этой стрелки, и в самом общем виде граф потока сигналов указывает входящими стрелками только те узлы, которые влияют на обработку на принимающем узле, и на каждом узле, i, входящие переменные обрабатываются в соответствии с функцией, связанной с этим узлом, скажем, F i. Потоковый граф в (a) представляет набор явных соотношений:

$x\; 1\; =\; независимая\; переменная\; x\; 2\; =\; F\; 2\; (x\; 1,\; x\; 3)\; x\; 3\; =\; F\; 3\; (x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{независимая\; переменная\}\}\; \backslash \backslash \; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; =\; F\_\; \{2\}\; (x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\},\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\})\; \backslash \backslash \; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; =\; F\_\; \{3\}\; (x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\},\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\; \},\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\})\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Узел x 1 является изолированным узлом, поскольку стрелка не поступает; уравнения для x 2 и x 3 имеют графики, показанные в частях (b) и (c) фигуры.

Эти отношения определяют для каждого узла функцию, которая обрабатывает входные сигналы, которые он получает. Каждый узел, не являющийся источником, каким-либо образом объединяет входные сигналы и передает результирующий сигнал по каждой исходящей ветви. «Поточный граф, как первоначально определил Мэйсон, подразумевает набор функциональных отношений, линейных или нет.»

Однако обычно используемый граф Мейсона более ограничен, предполагая, что каждый узел просто суммирует свои входящие стрелки, и что каждая ветвь включает только задействованный инициирующий узел. Таким образом, в этом более ограничительном подходе узел x 1 не затронут, пока:

$x\; 2\; =\; f\; 21\; (x\; 1)\; +\; f\; 23\; (x\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{2\}\; =\; f\_\; \{21\}\; (x\_\; \{1\})\; +\; f\_\; \{23\}\; (x\_\; \{3\})\}$

$x\; 3\; =\; f\; 31\; (x\; 1)\; +\; f\; 32\; (x\; 2)\; +\; f\; 33\; (x\; 3),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{3\}\; =\; f\_\; \{31\}\; (x\_\; \{1\})\; +\; f\_\; \{32\}\; (x\_\; \{2\})\; +\; f\_\; \{33\}\; (x\_\; \{3\})\; \backslash ,\}$

и теперь функции f ij может быть связан с ветвями потока сигналов ij, соединяющими пару узлов x i, x j, вместо того, чтобы иметь общие отношения, связанные с каждым узлом. Вклад узла в себя, такой как f 33 для x 3, называется самостоятельным циклом. Часто эти функции являются просто мультипликативными коэффициентами (часто называемыми коэффициентами пропускания или коэффициентами усиления), например, f ij(xj) = c ijxj, где c - скаляр, но, возможно, функция некоторого параметра, такого как переменная преобразования Лапласа s. Графики потока сигналов очень часто используются с сигналами, преобразованными по Лапласу, потому что тогда они представляют системы линейных дифференциальных уравнений. В этом случае коэффициент пропускания c (s) часто называют передаточной функцией.

Выбор переменных

В общем, существует несколько способов выбора переменных в сложной системе. В соответствии с каждым выбором может быть записана система уравнений, и каждая система уравнений может быть представлена ​​в виде графика. Эта формулировка уравнений становится прямой и автоматической, если в распоряжении человека есть методы, позволяющие построить график непосредственно из схематической диаграммы исследуемой системы. Структура полученных таким образом графиков связана простым способом с топологией схемы схематической диаграммы, и становится ненужным рассматривать уравнения, даже неявно, чтобы получить график. В некоторых случаях нужно просто представить себе блок-схему на схематической диаграмме, и желаемые ответы можно получить, даже не нарисовав блок-схему.

Неединственность

Робишо и др. писал: «График потока сигналов содержит ту же информацию, что и уравнения, из которых он получен; но не существует взаимно однозначного соответствия между графиком и системой уравнений. Одна система будет давать разные графики в соответствии с порядок, в котором уравнения используются для определения переменной, записанной слева ". Если все уравнения связывают все зависимые переменные, то их n! возможные SFG на выбор.

Методы линейных графиков потоков сигналов (SFG) применимы только к линейным системам, не зависящим от времени, как было исследовано их теория, связанная с. При моделировании интересующей системы первым шагом часто является определение уравнений, представляющих работу системы, без указания причин и следствий (это называется акаузальным моделированием). Затем из этой системы уравнений выводится SFG.

Линейный SFG состоит из узлов, обозначенных точками, и взвешенных направленных ветвей, обозначенных стрелками. Узлы являются переменными уравнений, а веса ветвей - коэффициентами. Сигналы могут пересекать ветку только в направлении, указанном стрелкой. Элементы SFG могут представлять только операции умножения на коэффициент и сложения, которых достаточно для представления уравнений с ограничениями. Когда сигнал пересекает ветвь в указанном направлении, сигнал умножается на вес ветви. Когда две или более ветви направляются в один и тот же узел, их выходы добавляются.

Для систем, описываемых линейными алгебраическими или дифференциальными уравнениями, граф потока сигналов математически эквивалентен системе уравнений, описывающей систему, и уравнения, управляющие узлами, обнаруживаются для каждого узла путем суммирования входящих ветвей к нему. узел. Эти входящие ветви передают вклады других узлов, выраженные как значение подключенного узла, умноженное на вес соединительной ветви, обычно действительное число или функцию некоторого параметра (например, преобразование Лапласа переменная s).

Для линейных активных сетей Чома пишет: «Под« представлением потока сигналов »[или« графиком », как его обычно называют] мы подразумеваем диаграмму, которая отображает алгебраические отношения между соответствующими переменными ветвления сети, рисует однозначную картину того, как приложенный входной сигнал "течет" от портов ввода-вывода... ".

Мотивация для анализа SFG описана Ченом:

«Анализ линейной системы сводится в конечном итоге к решению системы линейных алгебраических уравнений. В качестве альтернативы традиционным алгебраическим методам решения системы, можно получить решение, рассматривая свойства определенных ориентированных графов, связанных с системой ». [См. Подраздел: Решение линейных уравнений.] «Неизвестные уравнения соответствуют узлам графа, в то время как линейные отношения между ними проявляются в виде направленных ребер, соединяющих узлы.... связанные ориентированные графы во многих случаях могут быть созданы непосредственно путем проверки физической системы без необходимости сначала формулировать → связанные уравнения... "

Базовые компоненты

Линейный график потока сигналов связан с системой линейных уравнений следующего вида:

$xj\; =\; \sum \; k\; =\; 1\; N\; tjkxk\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; =\; \backslash \; сумма\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; t\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{jk\}\}\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $tjk\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{jk\}\}$= коэффициент пропускания (или усиление) от $xk\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{k\}\}$до $xj\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{j\; \}\}$.

На рисунке справа изображены различные элементы и конструкции графа потока сигналов (SFG).

Экспонат (а) - это узел. В этом случае узел помечен $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$. Узел - это вершина, представляющая переменную или сигнал.

Исходный узел имеет только исходящие ветви (представляет собой независимую переменную). В качестве особого случая входной узел характеризуется наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих от узла, и без стрелок, указывающих на узел. Любая открытая полная SFG будет иметь по крайней мере один входной узел.

Выходной или принимающий узел имеет только входящие ветви (представляет зависимую переменную). Хотя любой узел может быть выходом, для ясности часто используются явные выходные узлы. Узлы явного вывода характеризуются наличием одной или нескольких прикрепленных стрелок, указывающих на узел, и стрелок без, указывающих от узла. Явные выходные узлы не требуются.

Смешанный узел имеет как входящие, так и исходящие ветви.

Пример (b) - ветвь с мультипликативным усилением $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Смысл в том, что результат на кончике стрелки в $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$раз больше, чем на входе в конце стрелки. Коэффициент усиления может быть простой константой или функцией (например: функцией некоторой переменной преобразования, такой как $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$, $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$или $z\; \{\backslash \; displaystyle\; z\}$, для отношений Лапласа, Фурье или Z-преобразования).

Пример (c) - ветвь с мультипликативным усилением, равным единице. Если коэффициент усиления не указан, предполагается, что он равен единице.

Пример (d) $V\; i\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{in\}\}$- входной узел. В этом случае $V\; in\; \{\backslash \; displaystyle\; V\_\; \{in\}\}$умножается на усиление $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$.

Exhibit (e) $I\; out\; \{\; \backslash \; displaystyle\; I\_\; \{out\}\}$- явный выходной узел; входящий край имеет усиление $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$.

На рисунке (f) показано сложение. Когда две или более стрелки указывают на узел, сигналы, переносимые ребрами, складываются.

На рисунке (g) изображен простой цикл. Коэффициент усиления контура равен $A\; \times \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \backslash \; times\; m\}$.

На рисунке (h) показано выражение $Z\; =\; a\; X\; +\; b\; Y\; \{\backslash \; displaystyle\; Z\; =\; aX\; +\; bY\}$.

Термины, используемые в линейной теории SFG, также включают:

• Путь. Путь - это непрерывный набор ветвей, проходящих в направлении, указанном стрелками ветвей.
  • Открытый путь. Если ни один узел не посещается повторно, путь открыт.
  • Прямой путь. Путь от входного узла (источника) к выходному узлу (приемнику), который не повторно посетить любой узел.
• Усиление пути : произведение выигрышей всех ветвей в тракте.
• Цикл. Замкнутый путь. (он начинается и заканчивается на одном и том же узле, и ни один узел не затрагивается более одного раза).
• Коэффициент усиления контура : произведение усилений всех ветвей в цикле.
• Петли без прикосновения. Бесконтактные циклы не имеют общих узлов.
• Уменьшение графика. Удаление одного или нескольких узлов из графа с использованием преобразований графа.
  • Остаточный узел. В любом рассматриваемом процессе редукции графа узлы, которые должны быть сохранены в новом графе, называются остаточными узлами.
• Разделение узла. Разделение узла соответствует разделению узла на два полуузла, один из которых является приемником, а другой - источником.
• Индекс : Индекс графа - это минимальное количество узлов, которые должны быть разделены, чтобы удалить все петли в графе.
  • Узел индекса. Узлы, которые разделяются для определения индекса графа, называются узлами индекса, и, как правило, они не уникальны.

Систематическое сокращение до источников и приемников

A граф потока сигналов может быть упрощен правилами преобразования графа. Эти правила упрощения также называются алгеброй графов потоков сигналов. Цель этого сокращения - связать интересующие зависимые переменные (остаточные узлы, стоки) с его независимыми переменными (источниками).

Систематическое сокращение линейного графика потока сигналов - это графический метод, эквивалентный методу исключения Гаусса-Жордана для решения линейных уравнений.

Правила, представленные ниже, могут применяться снова и снова, пока граф потока сигналов не уменьшится до «минимальной остаточной формы». Дальнейшее сокращение может потребовать устранения цикла или использования «формулы сокращения» с целью прямого соединения узлов-приемников, представляющих зависимые переменные, с узлами-источниками, представляющими независимые переменные. Таким образом, любой граф потока сигналов может быть упрощен путем последовательного удаления внутренних узлов до тех пор, пока не останутся только входные, выходные и индексные узлы. Робишо описал этот процесс систематического сокращения потокового графа:

Сокращение графа происходит путем исключения определенных узлов, чтобы получить остаточный граф, показывающий только интересующие переменные. Это устранение узлов называется «поглощением узлов ». Этот метод близок к известному процессу последовательного исключения нежелательных переменных в системе уравнений. Можно удалить переменную, удалив соответствующий узел на графике. Если уменьшить график в достаточной степени, можно получить решение для любой переменной, и это цель, которая будет учитываться при этом описании различных методов сокращения графа. На практике, однако, методы редукции будут использоваться исключительно для преобразования графа в остаточный граф, выражающий некоторые фундаментальные отношения. Полные решения будут легче получить, применяя правило Мейсона. Сам график программирует процесс редукции. Действительно, простой просмотр графа легко предлагает различные этапы редукции, которые выполняются элементарными преобразованиями, устранением петель или использованием формулы редукции.

Для цифрового сокращения потокового графа с использованием алгоритма Робишо расширяет понятие простого потокового графа до обобщенного потокового графа:

Перед описанием процесса сокращения... соответствие между графом и системой линейных уравнений... должны быть обобщены... Обобщенные графы будут представлять некоторые рабочие отношения между группами переменных... С каждой ветвью обобщенного графа связана матрица, задающая отношения между переменными, представленными узлами на концах этой ветви... Элементарные преобразования [определенные Робишо на его рис. 7.2, с. 184], и сокращение цикла позволяет исключить любой узел j графа с помощью формулы редукции: [описанной в уравнении 7-1 Робишо]. С помощью формулы редукции всегда можно уменьшить граф любого порядка... [После редукции] конечный граф будет каскадным графом, в котором переменные узлов-приемников явно выражены как функции источников. Это единственный метод сокращения обобщенного графа, поскольку правило Мейсона явно неприменимо.

Определение элементарного преобразования варьируется от автора к автору:

• Некоторые авторы рассматривают только как элементарные преобразования суммирование усилений параллельных фронтов и умножение усилений последовательных фронтов, но не устранение петель.
• Другие авторы считают устранение петли как элементарное преобразование

Параллельные ребра. Замените параллельные ребра одним ребром, имеющим усиление, равное сумме исходных усилений.

График слева имеет параллельные ребра между узлами. Справа эти параллельные ребра были заменены одним ребром, имеющим усиление, равное сумме усилений на каждом исходном ребре.

Уравнения, соответствующие уменьшению между N и узлом I1составляют:

$N\; =\; I\; 1\; f\; 1\; +\; I\; 1\; f\; 2\; +\; I\; 1\; f\; 3\; +...\; N\; =\; I\; 1\; (f\; 1\; +\; f\; 2\; +\; f\; 3)\; +...\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{\; 1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; +...\; \backslash \backslash \; N\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; (f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; +\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; +\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\})\; +...\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Выходящие края. Замените исходящие ребра ребрами, непосредственно вытекающими из источников узла.

График слева имеет промежуточный узел N между узлами, из которых он имеет приток, и узлами, к которым он течет. На графике справа показаны прямые потоки между этими наборами узлов без перехода через N.

. Для простоты N и его входящие потоки не представлены. Утечки из N устраняются.

Уравнения, соответствующие сокращению, непосредственно связывающему входные сигналы N 's с его выходными сигналами, следующие:

$N = I 1 f 1 + I 2 f 2 + I 3 f 3 O 1 = g 1 NO 2 = g 2 NO 3 = g 3 NO 1 = g 1 (I 1 f 1 + I 2 f 2 + I 3 f 3) O 2 = g 2 (I 1 f 1 + I 2 f 2 + I 3 f 3) O 3 = g 3 (I 1 f 1 + I 2 f 2 + I 3 f 3) O 1 = I 1 f 1 g 1 + I 2 f 2 g 1 + I 3 f 3 g 1 O 2 = I 1 f 1 g 2 + I 2 f 2 g 2 + I 3 f 3 g 2 O 3 = I 1 f 1 g 3 + I 2 f 2 g 3 + I 3 f 3 g 3 {\ displaystyle {\ begin {align} N = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2} } + I _ {\ mathrm {3}} f _{\ mathrm {3}} \\ O _ {\ mathrm {1}} = g _ {\ mathrm {1}} N \\ O _ {\ mathrm {2}} = g _ {\ mathrm {2 }} N \\ O _ {\ mathrm {3}} = g _ {\ mathrm {3}} N \\ O _ {\ mathrm {1}} = g _ {\ mathrm {1}} (I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \\ O _ {\ mathrm {2}} = g _ {\ mathrm {2}} (I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f_ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \\ O _ {\ mathrm {3}} = g _ {\ mathrm {3}} (I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} + I_ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}}) \\ O _ {\ mathrm {1}} = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} g _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} g _ {\ mathrm {1}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3} } g _ {\ mathrm {1}} \\ O _ {\ mathrm {2}} = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} g _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {2}} f _ {\ mathrm {2}} g _ {\ mathrm {2}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} g _ {\ mathrm {2}} \\ O _ {\ mathrm {3}} = I _ {\ mathrm {1}} f _ {\ mathrm {1}} g _ {\ mathrm {3}} + I _ {\ mathrm {2}} f_ {\ mathrm {2}} g _ {\ mathrm {3}} + I _ {\ mathrm {3}} f _ {\ mathrm {3}} g _ {\ mathrm {3}} \\\ конец {выровнено}}}$

Узлы с нулевым сигналом.

Устранение исходящих ребер из узла, для которого определено нулевое значение.

Если узел равно нулю, его исходящие ребра могут быть исключены.

Узлы без исходящих потоков.

Исключить узел без исходящих потоков.

В этом случае N не является альтернативной альтернативой нет исходящих ребер; Следовательно, N и его входящие края могут быть исключены.

Самоклеющийся край. Заменить зацикленные ребра, отрегулировав усиление на входящих ребрах.

График слева имеет зацикленное ребро в узле N с усилением g . Справа кромка петли устранена, и все входящие кромки имеют коэффициент усиления, деленный на (1-g) .

Уравнения, соответствующие уменьшению между N и всеми его входными сигналами являются:

$N\; =\; I\; 1\; f\; 1\; +\; I\; 2\; f\; 2\; +\; I\; 3\; f\; 3\; +\; N\; g\; N\; -\; N\; g\; =\; I\; 1\; f\; 1\; +\; I\; 2\; f\; 2\; +\; I\; 3\; f\; 3\; N\; (1\; -\; g)\; =\; I\; 1\; f\; 1\; +\; I\; 2\; f\; 2\; +\; I\; 3\; f\; 3\; N\; =\; (I\; 1\; f\; 1\; +\; I\; 2\; f\; 2\; +\; I\; 3\; f\; 3)\; ÷\; (1\; -\; g)\; N\; =\; I\; 1\; f\; 1\; ÷\; (1\; -\; g)\; +\; I\; 2\; f\; 2\; ÷\; (\; 1\; -\; g)\; +\; I\; 3\; f\; 3\; ÷\; (1\; -\; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; N\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; +\; Ng\; \backslash \backslash \; N-Ng\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\; \}\; f\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; N\; (1-g)\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; \backslash \backslash \; N\; =\; (I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; f\; \_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; f\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\})\; \backslash \; div\; (1-g)\; \backslash \; \backslash \; N\; =\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{1\}\}\; \backslash \; div\; (1-g)\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; е\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{2\}\}\; \backslash \; div\; (1-g)\; +\; I\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; f\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{3\}\}\; \backslash \; div\; (1-g)\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Реализации

Вышеуказанное Процедура построения SFG из акаузальной системы и решения коэффициентов усиления SFG была реализована как надстройка к MATHLAB 68, интерактивной системе , обеспечивающей машинную помощь для механического символического процесса, встречающиеся при анализируемых.

Решение линейных уравнений

Графики преподавателей, преподавателей, наборов линейных линейных решений. Система уравнений должна быть согласованной, и все уравнения должны быть линейно независимыми.

Представление уравнений в «стандартной»

Для M уравнений с N неизвестными, где каждое y j является величиной, а каждое x j является неизвестным числом, уравнение для каждого известного следующего вида.

$\sum \; К\; =\; 1\; N\; cjkxk\; =\; yj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; c\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{jk\}\}\; x\_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; =\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$; обычная форма для общих линейных уравнений с 1 ≤ j ≤ M

Хотя возможно, особенно для простых случаев, построить граф потока сигналов с использованием этой формы некоторые изменения позволяют обычным системам. представлена. Чтобы продолжить, сначала уравнения переписываются как

$\sum \; k\; =\; 1\; N\; cjkxk\; -\; yj\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; c\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{jk\}\}\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; -y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; =\; 0\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и далее переписывается как

$\sum \; k\; =\; 1\; N\; cjkxk\; +\; xj\; -\; yj\; =\; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\; =\; 1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\}\}\; c\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{jk\}\}\; x\; \_\; \{\; \backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; +\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; -y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; =\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и, наконец, переписывается как

$\sum \; k\; Знак\; равно\; 1\; N\; (cjk\; +\; \delta \; jk)\; xk\; -\; yj\; =\; xj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\; =\; 1\}\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{N\; \}\}\; (c\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{jk\}\}\; +\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{jk\}\})\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; -y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; =\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$; форма, подходящая для выражения в виде графа потока сигналов.

где δ kj= дельта Кронекера

График потока сигналов теперь организован путем выбора одного из этих соединений и адресации узла в правой части. Это узел, для которого узел соединяется с самим собой ветвью веса, включающей «+1», создавая петлю в потоковом графе. Другие члены в этом уравнении сначала связывают этот узел с использованием в этом уравнении, а затем со всеми другими ветвями, входящими в этот узел. Таким образом обрабатывается каждое уравнение, а затем происходит инцидентная ветвь, присоединяется к соответствующему исходящему узлу. Например, на изображении показан случай трех чисел, первое уравнение имеет вид:

$x\; 1\; =\; (c\; 11\; +\; 1)\; x\; 1\; +\; c\; 12\; x\; 2\; +\; c\; 13\; x\; 3\; -\; y\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; =\; \backslash \; left\; (c\_\; \{11\}\; +1\; \backslash \; right)\; x\_\; \{1\}\; +\; c\_\; \{12\}\; x\_\; \{2\}\; +\; c\_\; \{13\}\; x\_\; \{3\}\; -y\_\; \{1\}\; \backslash ,\}$

где правая часть этого уравнения представляют собой набор взвешенных стрелок, падающих на узел x 1.

Существующая базовая симметрия в каждом узле, простой отправной точкой является расположение узлов с узлом в одной вершине правильного многоугольника. При использовании с использованием общих коэффициентов {c в } окружение каждого узла будет же, как и все остальные, за исключением перестановки индексов. Такая реализация набора из трех одинаковых условий на рисунке.

Часто известные значения y j принимаются в основных причинах, а неизвестные значения x j должны быть в качестве эффектов, но независимо от этой интерпретации последняя форма для набора может быть представлена ​​как граф потока сигналов. Этот момент обсуждается далее в подразделе Интерпретация «причинности».

Применение усиления формулы Мейсона

В общем случае значения для всех значений x k могут быть рассчитаны путем вычисления формулы усиления Мейсона для пути от каждого y j до каждого x k и с использованием суперпозиции.

$хк\; =\; \sum \; J\; =\; 1\; M\; (G\; kj)\; yj\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; x\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{k\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; mathrm\; \{M\}\}\; (G\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{kj\}\})\; y\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{j\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где G kj = сумма формулы усиления Мэйсона, вычисленная для всех путей от входа y j до переменных x k.

В общем, существует N-1 путей от y j до переменных x k, поэтому вычислительные усилие до рассчитанного G kj пропорционально N-1. Существует M значений y j, G kj необходимо вычислять M раз для одного значения x k. Вычислительные затраты на вычисление одной x k перемены (N-1) (M). Усилия по вычислению всех чисел x k пропорциональны (N) (N-1) (M). Если имеется N соотношений и N неизвестных, то объем вычислений будет порядка N.

Для некоторых моделей, линейный граф потока сигналов более ограничен, чем блок-схема , в том смысле, что SFG строго приведены линейные алгебраические уравнения, представленные ориентированным графом.

Для других авторов линейные блок-схемы и линейные графики потока сигналов являются эквивалентными способами изображения системы, и любой из них может использоваться для определения коэффициента усиления.

Табличка сравнения между блоками диаграммы и графики потока сигналов предоставлены Bakshi Bakshi, а другая таблица - Kumar. Согласно Баркеру и др. :

" Граф потока сигналов является наиболее удобным методом для представления динамической системы. Топология графа компактна, и правила для управления им легче запрограммировать, чем соответствующие правила, которые применяются к блок-схемы. "

На рисунке показана простая блок-схема для системы обратной связи с двумя возможными интерпретациями как график потока сигналов. Входной сигнал R (s) - это входной сигнал, преобразованный по Лапласу; он показан как узел источника в графе потока сигналов (узел источника не имеет входных ребер). Выходной сигнал C (s) является выходной переменной, преобразованной по Лапласу. На блок-схеме он представлен как приемный узел (приемник не имеет выходных ребер). G (s) и H (s) являются передаточными функциями, при этом H (s) служит для передачи измененной версии вывода на вход B (s). Два представления потокового графа эквивалентны.

Термин «причина и следствие» был применен Мэйсоном к SFG:

«Процесс построения графика - это процесс отслеживания последовательности причин и следствий. через физическую систему. Одна переменная выражается как явный эффект, вызванный определенными причинами; они, в свою очередь, распознаются как эффекты, обусловленные еще и другими причинами ".

- С.Дж. Мейсон: Раздел IV: Иллюстративные применения техники потоковых графов

и был повторен многими более поздними авторами:

«Граф потоков сигналов - еще один визуальный инструмент для представления причинно-следственных связей между компонентами системы. Это упрощенная версия блок-схемы, представленной SJ Mason как причинно-следственное представление линейных систем ».

- Артур Г.О. Мутамбара: Проектирование и анализ систем управления, стр. 238

Тем не менее, статья Мейсона посвящена тому, чтобы показать очень подробно, как набор уравнений связан с SFG, акцент не имеет отношения к интуитивным понятиям "причина и следствие". Интуиция может быть полезна для достижения SFG или для понимания SFG, но несущественна для SFG. Существенная связь SFG с его собственным набором уравнений, как описано, например, Огатой:

«График потока сигналов - это диаграмма, которая представляет набор одновременных алгебраических уравнений. При применении графа потока сигналов метода анализа систем управления, мы должны сначала преобразовать линейные дифференциальные уравнения в алгебраические уравнения в [преобразование Лапласа переменная] s.. "

- Кацухико Огата: Современная техника управления, стр. 104

Здесь нет ссылки на «причину и следствие», и, как сказал Баруцкий:

«Подобно блок-схемам, графы потоков сигналов представляют вычислительную, а не физическую структуру системы».

- Вольфганг Боруцки, Методология графа облигаций, стр. 10

Термин «причина и следствие» может быть неверно истолкован, поскольку он применяется к SFG, и неправильно принят, чтобы предложить системный взгляд на причинность, а не значение, основанное на вычислениях. Для ясности обсуждения, может быть целесообразно использовать термин «вычислительная причинность», как это предлагается для графов связей :

«В литературе по графам бондов используется термин вычислительная причинность, указывающий порядок вычислений в моделировании, чтобы избежать какой-либо интерпретации в смысле интуитивной причинности ».

Термин« вычислительная причинность »объясняется на примере тока и напряжения в резисторе:

« Следовательно, вычислительная причинность физических законов не может быть предопределено, но зависит от конкретного использования этого закона. Мы не можем сделать вывод, вызывает ли падение напряжения ток, протекающий через резистор, или разница потенциалов на двух концах резистора вызывает протекание тока.. Физически это просто два параллельных аспекта одного и того же физического явления. С вычислительной точки зрения нам, возможно, придется иногда принимать одно положение, а иногда другое ».

- Франсуа Селье и Эрнесто Кофман: §1.5 Программное обеспечение для моделирования сегодня и завтра, стр. 15

A com Компьютерная программа или алгоритм могут быть настроены для решения набора с использованием различных стратегий. Они различаются тем, как они расставляют приоритеты при рассмотрении некоторых точек зрения других, и эти алгоритмические решения, которые просто касаются стратегии решения, устанавливают переменные, выраженные как переменные переменные ранее в решении, как «эффекты», определяемые остальные переменные, которые теперь являются «причинами» в смысле «вычислительной причинности».

Используя эту терминологию, для SFG важна вычислительная причинность, а не системная причинность. Существует обширная философская дискуссия, не связанная конкретно с SFG, по поводу связи между вычислительной причинностью и системной причинностью.