Управляемость

Управляемость является важным свойством системы управления, и свойство управляемости играет решающую роль в многие проблемы управления, такие как стабилизация нестабильных систем с помощью обратной связи или оптимальное управление.

Управляемость и наблюдаемость - это двойные аспекты одной и той же проблемы.

Грубо говоря, понятие управляемости обозначает способность перемещать систему во всем ее конфигурационном пространстве, используя только определенные допустимые манипуляции. Точное определение может немного отличаться в зависимости от структуры или типа применяемых моделей.

Ниже приведены примеры вариантов понятий управляемости, которые были введены в литературе по системам и управлению:

• Управляемость состояния
• Управляемость выхода
• Управляемость в поведенческой структуре

• 1 Управляемость состояния
• 2 Непрерывные линейные системы
• 3 Ранговое условие управляемости
  • 3.1 Пример
  • 3.2 Непрерывные линейные инвариантные во времени (LTI) системы
• 4 Дискретное линейное время -инвариантные (LTI) системы
  • 4.1 Деривация
  • 4.2 Пример
  • 4.3 Аналогия, например, n = 2
• 5 Нелинейные системы
• 6 Нулевая управляемость
• 7 Управляемость выхода
• 8 Управляемость при входных ограничениях
• 9 Управляемость в структуре поведения
• 10 Стабилизируемость
• 11 Набор достижимости
• 12 См. также
• 13 Примечания
• 14 Ссылки
• 15 Внешние ссылки

Состояние детерминированной системы , которое представляет собой набор значений всех состояний системы v ariables (те переменные, которые описываются динамическими уравнениями) полностью описывает систему в любой момент времени. В частности, не требуется никакой информации о прошлом системы, чтобы помочь в прогнозировании будущего, если известны состояния в настоящее время и известны все текущие и будущие значения управляющих переменных (те, значения которых могут быть выбраны).

Полная управляемость состояния (или просто управляемость, если не указан другой контекст) описывает способность внешнего входа (вектора управляющих переменных) перемещать внутреннее состояние системы из любого начального состояния в любое другое конечное. состояние в конечном интервале времени.

Управляемость не означает, что достигнутое состояние может поддерживаться, просто то, что любое состояние может быть достигнуто.

Рассмотрим непрерывную линейную систему

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; (t)\; x\; (t)\; +\; В\; (T)\; U\; (T)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; B\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (т)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; (t)\; x\; (t)\; +\; D\; (t)\; u\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; D\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t).\}$

Существует элемент управления $u\; \{\backslash \; displaystyle\; u\}$из состояния $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$во время $t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{0\}\}$в состояние $x\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\}$в момент $t\; 1>t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}>t\_\; \{0\}\}$если и только если $x\; 1\; -\; \varphi \; (t\; 0,\; t\; 1)\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\}\; -\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\; x\_\; \{0\}\}$находится в пространстве столбцов элемента

$W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; =\; \int \; t\; 0\; t\; 1\; \varphi \; (t\; 0,\; t)\; B\; (t)\; B\; (t)\; T\; \varphi \; (t\; 0,\; t)\; T\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{0\}\}\; ^\; \{t\_\; \{1\}\}\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t)\; B\; (t)\; B\; (t)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t)\; ^\; \{T\}\; dt\}$

где $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$- состояние -матрица переходов и $W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\}$- Controllabil по грамиану.

Фактически, если $\eta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{0\}\}$является решением $W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; \eta \; =\; x\; 1\; -\; \varphi \; (T\; 0,\; T\; 1)\; Икс\; 0\; \{\backslash \; Displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\; \backslash \; eta\; =\; x\_\; \{1\}\; -\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\; x\_\; \{0\}\; \}$затем элемент управления, заданный как $u\; (t)\; =\; -\; B\; (t)\; T\; \varphi \; (t\; 0,\; t)\; T\; \eta \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (t)\; =\; -\; B\; (t)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t)\; ^\; \{T\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{0\}\}$выполнит желаемый перенос.

Обратите внимание, что матрица $W\; \{\backslash \; displaystyle\; W\}$, определенная, как указано выше, имеет следующие свойства:

• $W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\}$является симметричным
• $W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\}$является положительным полуопределенным для $t\; 1\; \ge \; t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{1\}\; \backslash \; geq\; t\_\; \{0\}\}$
• $W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\}$удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению

$ddt\; W\; (t,\; t\; 1)\; =\; A\; (t)\; W\; (t,\; t\; 1)\; +\; W\; (t,\; t\; 1)\; A\; (t)\; T\; -\; B\; (t)\; B\; (t)\; T,\; W\; (t\; 1,\; t\; 1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; W\; (\; t,\; t\_\; \{1\})\; =\; A\; (t)\; W\; (t,\; t\_\; \{1\})\; +\; W\; (t,\; t\_\; \{1\})\; A\; (t)\; ^\; \{T\}\; -B\; (t)\; B\; (t)\; ^\; \{\; T\},\; \backslash ;\; W\; (t\_\; \{1\},\; t\_\; \{1\})\; =\; 0\}$

• $W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\}$удовлетворяет уравнению

$W\; (t\; 0,\; t\; 1)\; =\; W\; (t\; 0,\; t)\; +\; \varphi \; (t\; 0,\; t)\; W\; (t,\; t\; 1)\; \varphi \; (t\; 0,\; t)\; T\; \{\backslash \; стиль\; отображения\; W\; (t\_\; \{0\},\; t\_\; \{1\})\; =\; W\; (t\_\; \{0\},\; t)\; +\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t)\; W\; (t,\; t\_\; \{1\})\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t)\; ^\; \{T\}\}$

Контрольная способность y Gramian включает интегрирование матрицы переходов между состояниями системы. Более простым условием управляемости является условие ранга, аналогичное условию ранга Калмана для инвариантных во времени систем.

Рассмотрим линейную систему с непрерывным временем $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$, плавно меняющуюся в интервале $[t\; 0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; [t\_\; \{0\; \},\; t]\}$из $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$:

$x\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; (t)\; x\; (t)\; +\; B\; (t)\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; B\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

$y\; (\; t)\; =\; C\; (t)\; x\; (t)\; +\; D\; (t)\; u\; (t).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; D\; (t)\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t).\}$

Матрица перехода между состояниями $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$также гладкий. Введем матричнозначную функцию nxm $M\; 0\; (t)\; =\; \varphi \; (t\; 0,\; t)\; B\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{0\}\; (t)\; =\; \backslash \; phi\; (t\_\; \{0\},\; t)\; B\; (\; t)\}$и определим

$M\; k\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{k\}\; (t)\}$= $dk\; M\; 0\; dtk\; (t),\; k\; ⩾\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\; ^\; \{k\}\}\; M\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{k\}\}\}\; (t),\; k\; \backslash \; geqslant\; 1\}$.

Рассмотрим матрицу матричнозначных функций, полученную перечисление всех столбцов $M\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{i\}\}$, $i\; =\; 0,\; 1,\dots ,\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 0,1,\; \backslash \; ldots,\; k\}$:

$M\; (\; к)\; (t):\; знак\; равно\; [M\; 0\; (t),\dots ,\; M\; k\; (t)]\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{(k)\}\; (t):\; =\; \backslash \; left\; [M\_\; \{0\}\; (t),\; \backslash \; ldots,\; M\_\; \{k\}\; (t)\; \backslash \; right]\}$.

Если существует a $t\; ¯\; \in \; [t\; 0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{t\}\}\; \backslash \; in\; [t\_\; \{0\},\; t\; ]\}$и неотрицательное целое число k такое, что $rank\; \; M\; (k)\; (t\; ¯)\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; M\; ^\; \{(k)\}\; (\{\backslash \; bar\; \{\; t\}\})\; =\; n\}$, тогда $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$можно контролировать.

Если $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\; \}$также аналитически изменяется в интервале $[t\; 0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; [t\_\; \{0\},\; t]\}$, тогда $\Sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Sigma\}$можно контролировать на каждом нетривиальном подинтервал $[t\; 0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; [t\_\; \{0\},\; t]\}$тогда и только тогда, когда существует $t\; ¯\; \in \; [t\; 0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{t\}\}\; \backslash \; in\; [t\_\; \{0\},\; t]\}$и неотрицательное целое число k такое, что $rank\; \{\backslash \; displaystyle\; rank\}$$M\; (k)\; (ti)\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; ^\; \{(k)\}\; (t\_\; \{i\})\; =\; n\}$.

Вышеупомянутые методы все еще могут быть сложными для проверки, поскольку они включают вычисление матрицы переходов между состояниями $\varphi \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; phi\}$. Другое эквивалентное условие определяется следующим образом. Пусть $B\; 0\; (t)\; =\; B\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{0\}\; (t)\; =\; B\; (t)\}$, и для каждого $i\; \ge \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash \; geq\; 0\}$, определить

$B\; i\; +\; 1\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\; +\; 1\}\; (t)\}$= $A\; (t)\; B\; i\; (t)\; -\; ddt\; B\; Это).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t)\; B\_\; \{i\}\; (t)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; B\_\; \{i\}\; (t).\}$

В этом случае каждый $B\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{i\}\}$получается непосредственно из данных $(A\; (t),\; B\; (t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; (A\; (t),\; B\; (t)).\}$Система управляема, если существует a $t\; ¯\; \in \; [t\; 0,\; t]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; bar\; \{t\; \}\}\; \backslash \; in\; [t\_\; \{0\},\; t]\}$и неотрицательное целое число $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$такое, что $rank\; ([B\; 0\; (t\; ¯),\; В\; 1\; (t\; ¯),\dots ,\; В\; К\; (t\; ¯)])\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textrm\; \{rank\}\}\; (\backslash \; left\; [B\_\; \{0\}\; (\{\backslash \; bar\; \{t\}\}),\; B\_\; \{1\}\; (\{\backslash \; bar\; \{t\}\}),\; \backslash \; ldots,\; B\_\; \{k\}\; (\{\backslash \; bar\; \{t\}\})\; \backslash \; right])\; =\; n\}$.

Пример

Рассмотрим систему меняются аналитически в $(-\; \infty ,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; (-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)\}$и матрицах

$A\; (t)\; =\; [t\; 1\; 0\; 0\; t\; 3\; 0\; 0\; 0\; t\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; t\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; t\; ^\; \{3\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; t\; ^\; \{2\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$, $B\; (t)\; =\; [0\; 1\; 1].\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$Тогда $[B\; 0\; (0),\; B\; 1\; (0),\; В\; 2\; (0),\; В\; 3\; (0)]\; =\; [0\; 1\; 0\; -\; 1\; 1\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; [B\_\; \{0\}\; (0),\; B\_\; \{1\}\; (0),\; B\_\; \{2\}\; (0),\; B\_\; \{3\}\; (0)]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; -1\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; 0\; 0\; 2\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$и поскольку эта матрица имеет ранга 3, система управляема на каждом нетривиальном интервале $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$.

Непрерывные линейные инвариантные во времени (LTI) системы

Рассмотрим непрерывные линейные система, не зависящая от времени

$Икс\; \dot{}\; (t)\; =\; A\; x\; (t)\; +\; B\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; (t)\; =\; A\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (t)\; +\; В\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

$y\; (t)\; =\; C\; x\; (t)\; +\; D\; u\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\; (t)\; =\; C\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\; t)\; +\; D\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; (t)\}$

где

$x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}$- $n\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; 1\}$«вектор состояния»,

$y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{y\}\}$- это $m\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; 1\}$"выходной вектор",

$u\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$- это $r\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; times\; 1\}$«вектор ввода (или управления)»,

$A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$- это $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$«матрица состояний»,

$B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- это $n\; \times \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; r\}$«матрица ввода»,

$C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$- $m\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; n\}$«матрица вывода»,

$D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$- это $m\; \times \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; r\; \}$«матрица сквозной связи (или прямой связи)».

Матрица управляемости $n\; \times \; nr\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; nr\}$имеет вид

$R\; =\; [БАБА\; 2\; Б...\; A\; n\; -\; 1\; B]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; B\; AB\; A\; ^\; \{2\}\; B...\; A\; ^\; \{n-1\}\; B\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Система управляема, если Матрица управляемости имеет полную строку ранг (то есть $ранг\; \; (R)\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (R)\; =\; n\}$).

Для дискретной системы в пространстве состояний (т.е. переменная времени $k\; \in \; Z\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}$) уравнение состояния:

$x\; (k\; +\; 1)\; =\; A\; x\; (k)\; +\; B\; u\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\; \}\; (k\; +\; 1)\; =\; A\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (k)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (k)\}$

где $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$является матрицей $n\; \times \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; n\}$и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$является $n\; \times \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; r\}$матрица (например, $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$is $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$input собраны в вектор $r\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; times\; 1\}$). Проверкой управляемости является то, что $n\; \times \; nr\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; times\; nr\}$матрица

$C\; =\; [BABA\; 2\; B\; \cdots \; A\; n\; -\; 1\; B]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; B\; AB\; A\; ^\; \{2\}\; B\; \backslash \; cdots\; A\; ^\; \{n-1\}\; B\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

имеет полную строку ранг (т. Е. $ранг\; \; (C)\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rank\}\; (\{\backslash \; mathcal\; \{C\}\})\; =\; n\}$). То есть, если система управляема, $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$будет иметь $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$столбцы, которые линейно независимый ; если $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$столбцы $C\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{C\}\}\}$являются линейно независимыми, каждый состояний $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$можно получить, задав системе правильные входные данные через переменную $u\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (k)\}$.

Derivation

Учитывая состояние $x\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (0)\}$в начальный момент времени, произвольно обозначенное как k = 0, уравнение состояния дает $Икс\; (1)\; знак\; равно\; A\; Икс\; (0)\; +\; В\; U\; (0),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (1)\; =\; A\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (0)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (0),\}$, затем $x\; (2)\; =\; A\; x\; (1)\; +\; B\; u\; (1)\; =\; A\; 2\; x\; (0)\; +\; AB\; u\; (0)\; +\; B\; u\; (1),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (2)\; =\; A\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (1)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (1)\; =\; A\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (0)\; +\; AB\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (0)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (1),\}$и так далее с повторными обратными подстановками переменная состояния, что в конечном итоге дает

$x\; (n)\; =\; B\; u\; (n\; -\; 1)\; +\; AB\; u\; (n\; -\; 2)\; +\; \cdots \; +\; A\; n\; -\; 1\; B\; u\; (0)\; +\; A\; nx\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; textbf\; \{х\; \}\}\; (n)\; =\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (n-1)\; +\; AB\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (n-2)\; +\; \backslash \; cdots\; +\; A\; ^\; \{n-1\}\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\; \}\}\; (0)\; +\; A\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (0)\}$

или эквивалентно

$x\; (n)\; -\; A\; nx\; (0)\; =\; [BAB\; \cdots \; A\; n\; -\; 1\; B]\; [u\; T\; (n\; -\; 1)\; u\; T\; (n\; -\; 2)\; \cdots \; u\; T\; (0)]\; Т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (n)\; -A\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (0)\; =\; [B\; \backslash ,\; \backslash ,\; AB\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; \backslash ,\; A\; ^\; \{\; n-1\}\; B]\; [\{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; ^\; \{T\}\; (n-1)\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; ^\; \{T\}\; (n-2)\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; cdots\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; ^\; \{T\}\; (0)]\; ^\; \{T\}.\}$

Наложение любого желаемого значения вектора состояния $x\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{x\; \}\}\; (n)\}$в левой части, это всегда можно решить для сложенного вектора управляющих векторов тогда и только тогда, когда матрица матриц в начале правой части имеет полный ранг строки.

Пример

Например, рассмотрим случай, когда $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$и $r\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 1\}$(т.е. только один управляющий вход). Таким образом, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$равны $2\; \times \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; times\; 1\}$векторов. Если $[BAB]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; BAB\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$имеет ранг 2 (полный ранг), и поэтому $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$являются линейно независимыми и охватывают всю плоскость. Если ранг равен 1, то $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$и $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$являются коллинеарными и не охватывают самолет.

Предположим, что начальное состояние равно нулю.

В момент $k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 0\}$: $x\; (1)\; =\; A\; x\; (0)\; +\; B\; u\; (0)\; =\; B\; u\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (1)\; =\; A\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (0)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (0)\; =\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (0)\}$

В момент $k\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1\}$: $x\; (2)\; =\; A\; x\; (1)\; +\; B\; u\; (1)\; =\; AB\; u\; (0)\; +\; B\; u\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (2)\; =\; A\; \{\backslash \; textbf\; \{x\}\}\; (1)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (1)\; =\; AB\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (0)\; +\; B\; \{\backslash \; textbf\; \{u\}\}\; (1)\}$

Время от времени $k\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 0\}$все достижимые состояния находятся на линии, образованной вектором $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$. В момент времени $k\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 1\}$все достижимые состояния представляют собой линейные комбинации $AB\; \{\backslash \; displaystyle\; AB\}$и $B\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\}$. Если система управляема, то эти два вектора могут охватывать всю плоскость, и это можно сделать за время $k\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 2\}$. Предположение, что начальное состояние равно нулю, сделано просто для удобства. Ясно, что если все состояния могут быть достигнуты из начала координат, то любое состояние может быть достигнуто из другого состояния (просто сдвиг координат).

Этот пример верен для всех положительных значений $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, но случай $n\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\}$Легче визуализировать.

Аналогия, например, n = 2

Рассмотрим аналогию с предыдущим примером системы. Вы сидите в машине на бесконечной плоской плоскости лицом на север. Цель состоит в том, чтобы добраться до любой точки в самолете, проехав расстояние по прямой, полностью остановиться, повернуть и проехать еще одно расстояние, опять же, по прямой. Если у вашего автомобиля нет рулевого управления, вы можете двигаться только прямо, что означает, что вы можете двигаться только по линии (в данном случае по линии север-юг, так как вы начали двигаться лицом на север). Отсутствие рулевого управления будет аналогично тому, когда ранг $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$равен 1 (два расстояния, которые вы проехали, находятся на одной линии).

Итак, если бы у вашего автомобиля было рулевое управление, вы могли бы легко добраться до любой точки в самолете, и это был бы случай, аналогичный рангу $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$равно 2.

Если вы измените этот пример на $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$, то аналогия будет с полетом в космос для достижения любой позиции в 3D. пробел (без учета ориентации самолета ). Вам разрешено:

• лететь по прямой
• поворачивать влево или вправо на любую величину (Рыскание )
• направлять самолет вверх или вниз на любую величину (Шаг )

Хотя трехмерный случай представить труднее, концепция управляемости по-прежнему аналогична.

Нелинейные системы в аффинной по управлению форме

$x\; \dot{}\; =\; f\; (\; Икс)\; +\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; мгi\; (Икс)\; ui\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; точка\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{f\; (x)\}\; +\; \backslash \; сумма\; \_\; \{я\; =\; 1\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{i\}\; (\backslash \; mathbf\; \{x\})\; u\_\; \{i\}\}$

доступны локально примерно $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$, если распределение доступности $R\; \{\backslash \; displaystyle\; R\}$охватывает $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$пробел, когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равно ранг $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и R определяется как:

$R\; =\; [g\; 1\; \cdots \; gm\; [adgikgj]\; \cdots \; [adfkgi]].\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{m\}\; [\backslash \; mathrm\; \{ad\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{i\}\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; m\; athbf\; \{g\}\; \_\; \{j\}\}]\; \backslash \; cdots\; [\backslash \; mathrm\; \{ad\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; mathbf\; \{g\}\; \_\; \{i\}\}]\; \backslash \; end\; \{bmatrix\; \}\}.\}$

Здесь $[adfkg]\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathrm\; \{ad\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; mathbf\; \{g\}\}]\}$- это повторяющаяся операция скобки Ли, определенная как

$[adfkg]\; =\; [f\; \cdots \; j\; \cdots \; [f,\; g]].\; \{\backslash \; displaystyle\; [\backslash \; mathrm\; \{ad\}\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{f\}\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; mathbf\; \{g\}\}]\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \backslash \; mathbf\; \{f\}\; \backslash \; cdots\; j\; \backslash \; cdots\; \backslash \; mathbf\; \{[\backslash \; mathbf\; \{f\},\; \backslash \; mathbf\; \{g\}]\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}.\}$

Матрица управляемости для линейных систем в предыдущем разделе фактически может быть получена из этого уравнения.

Если дискретная система управления является нулевой, это означает, что существует управляемый $u\; (k)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; (k)\}$так что $x\; (k\; 0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (k\_\; \{0\})\; =\; 0\}$для некоторого начального состояния $x\; (0)\; =\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; х\; (0)\; =\; х\_\; \{0\}\}$. Другими словами, это эквивалентно условию, что существует матрица $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$такая, что $A\; +\; BF\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; +\; BF\}$нильпотентен.

Это легко показать с помощью контролируемой-неконтролируемой декомпозиции.

Управляемость выходом - это связанное понятие для выхода системы (обозначено y в предыдущих уравнениях); управляемость выходом описывает способность внешнего входа перемещать выход из любого начального состояния в любое конечное за конечный интервал времени. Необязательно, чтобы существовала какая-либо связь между управляемостью состояния и управляемостью по выходу. В частности:

• Управляемая система не обязательно является управляемой по выходу. Например, если матрица D = 0 и матрица C не имеет полного ранга строки, то некоторые позиции вывода маскируются ограничивающей структурой матрицы вывода. Более того, даже если система может быть переведена в любое состояние за конечное время, некоторые выходы могут быть недоступны для всех состояний. В простом числовом примере используется D = 0 и матрица C по крайней мере с одной строкой нулей; таким образом, система не может производить ненулевой выходной сигнал по этому измерению.
• Система с управляемым выходом не обязательно является управляемой по состоянию. Например, если размер пространства состояний больше, чем размер вывода, тогда будет набор возможных конфигураций состояния для каждого отдельного вывода. То есть система может иметь значительную нулевую динамику, которая является траекториями системы, которые нельзя наблюдать на выходе. Следовательно, возможность управлять выходом в определенное положение за конечное время ничего не говорит о конфигурации состояния системы.

Для линейной системы с непрерывным временем, подобной приведенному выше примеру, описываемой матрицами $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$, $C\; \{\backslash \; displaystyle\; C\}$и $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$, $m\; \times \; (n\; +\; 1)\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; m\; \backslash \; times\; (n\; +\; 1)\; r\}$матрица управляемости вывода

$[CBCABCA\; 2\; B\; \cdots \; CA\; n\; -\; 1\; BD]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{\; bmatrix\}\; CB\; CAB\; CA\; ^\; \{2\}\; B\; \backslash \; cdots\; CA\; ^\; \{n-1\}\; BD\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

имеет полный ранг строки (то есть ранг $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$) тогда и только тогда, когда система является управляемой на выходе.

В системах с ограниченными полномочиями управления часто больше невозможно переместить любое начальное состояние в любое конечное состояние внутри управляемое подпространство. Это явление вызвано ограничениями на входе, которые могут быть присущи системе (например, из-за насыщения привода) или наложены на систему по другим причинам (например, из-за соображений безопасности). Управляемость систем с ограничениями по входу и состоянию изучается в контексте теории жизнеспособности.

В так называемой «из-за Виллемса» (см. люди в систем и контроля ), рассматриваемые модели не определяют напрямую структуру ввода-вывода. В этой структуре системы описываются допустимыми траекториями набора переменных, некоторые из которых могут быть интерпретированы как входы или выходы.

Система определяется как управляемая в этом параметре, если какая-либо прошлая часть поведения (траектория внешних переменных) может быть объединена с любой будущей траекторией поведения таким образом, что объединение будет содержится в поведении, т.е. является частью допустимого поведения системы.

Немного более слабое понятие, чем управляемость, - это понятие стабилизируемости . Система называется стабилизируемой, когда все неуправляемые переменные состояния могут иметь стабильную динамику. Таким образом, даже несмотря на то, что некоторые из переменных состояния не могут контролироваться (как определено вышеупомянутым тестом на управляемость), все переменные состояния будут оставаться ограниченными во время поведения системы.

Пусть T ∈ Т и x ∈ X (где X - множество всех возможных состояний, а Т - интервал времени). Набор достижимости из x за время T определяется как:

$RT\; (x)\; =\; \{z\; \in \; X:\; x\; \to \; T\; z\}\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{T\}\; \{(x)\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{z\; \backslash \; в\; X:\; x\; \{\backslash \; overset\; \{T\}\; \{\backslash \; rightarrow\}\}\; z\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$, где xT → z означает, что существует переход состояния от x к z за время T.

Для автономных систем набор достижимости определяется как:

$I\; m\; (R)\; =\; I\; m\; (B)\; +\; I\; m\; (AB)\; +....\; +\; I\; m\; (A\; n\; -\; 1\; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (R)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (B)\; +\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (AB)\; +....\; +\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (A\; ^\; \{n-1\}\; B)\}$,

где R - матрица управляемости.

С точки зрения набора достижимости, система управляема тогда и только тогда, когда $I\; m\; (R)\; =\; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; Im\; (R)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$.

Доказательство Имеем следующие равенства:

$R\; =\; [BAB....\; A\; n\; -\; 1\; B]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; =\; [B\; \backslash \; AB....\; A\; ^\; \{n-1\}\; B]\}$

$I\; m\; (R)\; =\; I\; m\; ([BAB...\; A\; n\; -\; 1\; B])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (R)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; ([B\; \backslash \; AB....\; A\; ^\; \{n-1\}\; B])\}$

$тусклый\; (I\; m\; (R))\; =\; rank\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{dim\; (Im\}\; (R))\; =\; \backslash \; mathrm\; \{rank\}\; (R)\}$

Учитывая, что система управляема, столбцы R должны быть линейно независимый. Итак:

$dim\; (I\; m\; (R))\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{dim\; (Im\}\; (R))\; =\; n\}$

$rank\; (R)\; =\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{rank\}\; (\; R)\; =\; n\}$

$I\; m\; (R)\; =\; R\; n\; ◼\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{Im\}\; (R)\; =\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; blacksquare\}$

Связанный набор с набор достижимости - это управляемый набор, определяемый следующим образом:

$CT\; (x)\; =\; \{z\; \in \; X:\; z\; \to \; T\; x\}\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{T\}\; \{(x)\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{z\; \backslash \; in\; X:\; z\; \{\backslash \; overset\; \{T\}\; \{\backslash \; rightarrow\}\}\; x\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$.

Отношение между достижимостью и управляемостью представлено Зонтагом:

(a) n-мерная дискретная линейная система управляем, если и только если:

$R\; (0)\; =\; R\; k\; (0)\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (0)\; =\; R\; ^\; \{k\}\; \{(0)\; =\; X\}\}$( Где X - это набор всех возможных значений или состояний x, а k - это временной шаг).

(b) Линейная система с непрерывным временем является управляемой тогда и только тогда, когда:

$R\; (0)\; =\; R\; e\; (0)\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (0)\; =\; R\; ^\; \{e\}\; \{(0)\; =\; X\}\}$для всех e>0.

тогда и только тогда, когда $C\; (\; 0)\; =\; C\; e\; (0)\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; (0)\; =\; C\; ^\; \{e\}\; \{(0)\; =\; X\}\}$для всех е>0.

Пример Пусть система представляет собой n-мерную дискретно-инвариантную во времени систему из формулы:

Φ (n, 0,0, w) = $\sum \; i\; =\; 1\; n\; A\; i\; -\; 1\; B\; вес\; (n\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; A\; ^\; \{i-1\}\; Bw\; (n-1)\}$(где Φ (последнее время, начальное время, переменная состояния, ограничения) определяется матрица перехода переменной состояния x от начального момента времени 0 до конечного момента времени n с некоторыми ограничениями w).

Отсюда следует, что будущее состояние находится в $R\; k\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; ^\; \{k\}\; \{(0)\}\}$⇔ это изображение линейной карты:

Im (R) = R (A, B) ≜ Im ($[БАБ....\; A\; n\; -\; 1\; B]\; \{\backslash \; displaystyle\; [B\; \backslash \; AB....\; A\; ^\; \{n-1\}\; B]\}$),

который отображает,

$un\; \{\; \backslash \; displaystyle\; u\; ^\; \{n\}\}$→X

Когда $u\; =\; K\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; =\; K\; ^\; \{m\}\}$и $X\; =\; K\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; =\; K\; ^\; \{n\}\}$мы идентифицируем R (A, B) с матрицей by nm, столбцы которой являются столбцами $B,\; AB,...,\; A\; n\; -\; 1\; B\; \{\backslash \; displaystyle\; B,\; \backslash \; AB,....,\; A\; ^\; \{n-1\}\; B\}$именно в этом порядке. Если система управляема, ранг из $[Б\; А\; Б....\; A\; n\; -\; 1\; B]\; \{\backslash \; displaystyle\; [B\; \backslash \; AB....\; A\; ^\; \{n-1\}\; B]\}$- n. Если это правда, образ линейной карты R - это все X. Исходя из этого, мы имеем:

$R\; (0)\; =\; R\; k\; (0)\; =\; X\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; (0)\; =\; R\; ^\; \{\; k\}\; \{(0)\; =\; X\}\}$с XЄ $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$.

• Observability
• Наблюдатель состояния

• «Управляемость». PlanetMath.
• Функция MATLAB для проверки управляемости системы
• Функция Mathematica для проверки управляемости системы