Правильная передаточная функция

В теории управления правильная передаточная функция - это передаточная функция, в котором градус числителя не превышает градус знаменателя. Строго правильная передаточная функция - это передаточная функция, в которой степень числителя меньше степени знаменателя.

. Разница между степенью знаменателя (количество полюсов) и степенью числителя (количество нулей) является относительной степенью передаточной функции.

Пример

Следующая передаточная функция:

$G\; (s)\; =\; N\; (s)\; D\; (s)\; =\; s\; 4\; +\; n\; 1\; s\; 3\; +\; n\; 2\; s\; 2\; +\; n\; 3\; s\; +\; n\; 4\; s\; 4\; +\; d\; 1\; s\; 3\; +\; d\; 2\; s\; 2\; +\; d\; 3\; s\; +\; d\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (s)\}\; \{\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{4\}\; +\; n\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; n\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; n\_\; \{3\}\; s\; +\; n\_\; \{4\}\}\; \{s\; ^\; \{4\}\; +\; d\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; d\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{3\}\; s\; +\; d\_\; \{4\}\}\}\}$

является правильным, потому что

$град\; \; (N\; (s))\; =\; 4\; \le \; deg\; \; (D\; (s))\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (s))\; =\; 4\; \backslash \; leq\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s))\; =\; 4\}$.

является двойным совпадением, потому что

$deg\; \; (N\; (s))\; =\; 4\; =\; deg\; \; (D\; (s))\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (s))\; =\; 4\; =\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s))\; =\; 4\}$.

, но не совсем правильное, потому что

$deg\; (N\; (s))\; =\; 4\; \nless \; deg\; \; (D\; (s))\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (\; s))\; =\; 4\; \backslash \; nless\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s))\; =\; 4\}$.

Следующая передаточная функция неправильная (или строго правильная)

$G\; (\; s)\; знак\; равно\; N\; (s)\; D\; (s)\; =\; s\; 4\; +\; n\; 1\; s\; 3\; +\; n\; 2\; s\; 2\; +\; n\; 3\; s\; +\; n\; 4\; d\; 1\; s\; 3\; +\; d\; 2\; s\; 2\; +\; d\; 3\; s\; +\; d\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (s)\}\; \{\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\; ^\; \{4\}\; +\; n\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; n\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; n\_\; \{3\}\; s\; +\; n\_\; \{4\}\}\; \{d\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; d\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\; \}\; +\; d\_\; \{3\}\; s\; +\; d\_\; \{4\}\}\}\}$

потому что

$deg\; \; (N\; (s))\; =\; 4\; \nleqq \; deg\; \; (D\; (s))\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; (\{\; \backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (s))\; =\; 4\; \backslash \; nleq\; \backslash \; deg\; (\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s))\; =\; 3\}$.

A неправильная функция передачи может быть сделана правильной с помощью метода деление в столбик.

Следующая передаточная функция строго правильная

$G\; (s)\; =\; N\; (s)\; D\; (s)\; =\; n\; 1\; s\; 3\; +\; n\; 2\; s\; 2\; +\; n\; 3\; s\; +\; n\; 4\; s\; 4\; +\; d\; 1\; s\; 3\; +\; d\; 2\; s\; 2\; +\; d\; 3\; s\; +\; d\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{\backslash \; textbf\; \{N\}\}\; (s)\}\; \{\{\backslash \; textbf\; \{D\}\}\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{n\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; n\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; n\_\; \{3\}\; s\; +\; n\_\; \{4\}\}\; \{s\; ^\; \{\; 4\}\; +\; d\_\; \{1\}\; s\; ^\; \{3\}\; +\; d\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\; +\; d\_\; \{3\}\; s\; +\; d\_\; \{4\}\}\}\}$

, поскольку

.

Последствия

Правильная передаточная функция никогда не будет неограниченно расти, когда частота приближается к бесконечности:

Строгое правильная передаточная функция будет приближаться к нулю, когда частота приближается к бесконечности (что верно для всех физических процессов):

$G\; (\pm \; j\; \infty )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; textbf\; \{G\}\}\; (\backslash \; pm\; j\; \backslash \; infty)\; =\; 0\}$

Кроме того, интеграл действительной части строго правильной передаточной функции равен нулю.

Ссылки

• Передаточные функции - ECE 486: Системы управления, весна 2015 г., Иллинойский университет
• ELEC ENG 4CL4: Примечания по проектированию системы управления для лекции № 9, 2004 г., Dr. Ян К. Брюс, Университет Макмастера