Линейная система, не зависящая от времени

редактировать

математическая модель

В системном анализе, среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени система (или "система LTI") - это система, которая производит выходной сигнал из любого входного сигнала с учетом ограничений линейности и сохраняет во времени ; эти термины кратко ориентированного ниже. Эти свойства применяются (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, в этом случае отклик y (t) система на произвольный ввод x (t) может быть найден напрямую с использованием свертки : y (t) = x (t) * h (t), где h (t) называется импульсной характеристикой системы и * Используйте свертку (не путать с умножением, как это часто используется символом в компьютерных языках ). Более того, систематические методы решения любой такой системы (определение h (t) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно труднее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей.

Теория линейных нестационарных систем также используется в обработка изображений, где системы пространственных измерений вместо временного измерения или в дополнение к нему. Эти системы могут называться линейными инвариантными к трансляции. В случае общих систем с дискретным временем (то есть с выборкой ) линейный инвариант сдвига является термином. Теория систем LTI - это область прикладной математики, которая имеет прямое применение в анализа и проектирования электрических цепей, обработка сигналов и проектировании фильтров, теория управления, машиностроение, обработка изображений, разработка измерительных приборов многих видов, ЯМР-спектроскопия и многие другие технические области, в которых присутствуют системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание

1 Обзор
2 Системы с непрерывным временем
- 2.1 Импульсная характеристика и свертка
- 2.2 Экспоненты как собственные функции
  - 2.2.1 Прямое доказательство
- 2.3 Преобразования Фурье и Лапласа
- 2.4 Примеры
- 2.5 Важные свойства системы
  - 2.5.1 Причинная связь
  - 2.5.2 Стабильность
3 Системы с дискретным временем
- 3.1 Системы с дискретным временем от систем с непрерывным временем
- 3.2 Импульс отклик и свертка
- 3.3 Экспоненты как собственные функции
- 3.4 Z и преобразование Фурье с дискретным временем
- 3.5 Примеры
- 3.6 Важные свойства системы
  - 3.6.1 Причинность
  - 3.6.2 Стабильность
4 Примечания
5 См. Также
6 Ссылки
7 Дополнительная литература
8 Внешние ссылки

Обзор

Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность во времени.

Линейность означает, что отношения между входом и выходом являются результатом линейных дифференциальных уравнений, то есть есть дифференциальных уравнений, использующих только линейные операторы. Линейная система, которая отображает вход x (t) на выход y (t), будет отображать масштабированный вход ax (t) на выход ay ( t) аналогично масштабируется с тем же коэффициентом a . А принцип наложения применяется к линейной системе: если система отображает входы x1(t) и x2(t) на выходы y1(t) и y2(t) соответственно, тогда он будет отображать x3(t) = x 1 (t) + x 2 (t) на выход y3(t), где y3(t) = y 1 (t) + y 2 (t) .

Временная инвариантность означает, что применяем ли ввод в систему сейчас или через T секунд, вывод будет идентичным, за временную задержку T секунд. То есть, если результат ввода $x (t) {\ displaystyle x (t)}$ $x(t)$ равен $y (t) {\ displaystyle y (t)}$ $y (t)$ , то вывод, связанный с вводом $x (t - T) {\ displaystyle x (tT)}$ $x (tT)$ , равенство $y (t - T) {\ displaystyle y (tT)}$ $y (tT)$ . Следовательно, система не зависит от времени, потому что выходные данные не зависят от конкретного времени, в котором вводятся данные.

Фундаментальный результат в теории систем LTI состоит в том, что любая система LTI может быть полностью охарактеризована одной функцией, называемой системой импульсная характеристика. Выходные данные системы y (t) - это просто свертка входа в систему x (t) с импульсной характеристикой системы h (т) . Это называется системой непрерывного времени. Аналогичным образом, линейная инвариантная во времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем, как система, работающая в дискретном времени : yi= x i * h iгде y, x и h - следовать, а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл.

Взаимосвязь между системами LTI временной области и частотной области

также может быть охарактеризована в частотной области с помощью передаточной функции системы , которое является преобразованием Лапласа импульсной характеристикой системы (или Z-преобразованием в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразователей выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входа. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.

Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются сложными экспонентами. Это если входной сигнал в системе представляет собой сложный сигнал $A sest {\ displaystyle A_ {s} e ^ {st}}$ ${\ displaystyle A_ {s} e ^ {st}}$ для некоторой комплексной амплитуды $A s {\ displaystyle A_ {s} }$ $A_s$ и комплексная частота $s {\ displaystyle s}$ $s$ , на выходе будет некоторая комплексная константа, умноженная на вход, скажем $B sest {\ displaystyle B_ {s} e ^ {st}}$ ${\ displaystyle B_ {s} e ^ {st}}$ для некоторой новой комплексной амплитуды $B s {\ displaystyle B_ {s}}$ $B_ { s}$ . Отношение $B s / A s {\ displaystyle B_ {s} / A_ {s}}$ ${\ displaystyle B_ {s} / A_ {s }}$ является передаточной функцией на частоте $s {\ displaystyle s}$ $s$ .

Начало с синусоиды получить сумму комплексных экспонентов с комплексно-сопряженными частотами, если вход в систему является синусоидой, то выход системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитудой и другой фаза, но всегда с той же целью при достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут создавать частотные компоненты, которые нет на входе.

Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI занимаются «простыми» для анализа, по крайней мере, по с изменяющимся во времени и / или нелинейным случаем. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи, состоящие из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.

Большинство концепций системы LTI схожи между случаями непрерывного и дискретного времени (линейный инвариантный сдвиг). При обработке изображений временная переменная заменяется пространственными переменными, временная инвариантность заменяется двумерной инвариантностью сдвига. При анализе систем наборов фильтров и MIMO бывает полезно учитывать часто сигналов.

Линейная система, не зависящая от времени, может быть решена с использованием других подходов, таких как методы функции Грина. Тот же метод проживания, когда начальные условия проблемы не равны нулю.

Системы с непрерывным временем

Импульсная характеристика и свертка

Поведение линейного, непрерывного -времени, ввести во времени систему с входным сигналом x (t) и выходным сигналом y (t) описывается интегралом свертки :

$y (t) = (x ∗ h) (t) {\ displaystyle y (t) sign равно (Икс * час) (t) \,}$ ${\ displaystyle y (t) = (x * h) (t) \,}$	$= def ∫ - ∞ ∞ x (T - τ) ⋅ час (τ) d τ {\ displaystyle {} \ quad {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x ( t- \ tau) \ cdot час (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}$ ${\ displaystyle {} \ quad {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} Икс (т- \ тау) \ CDOT ч (\ тау) \, \ mathrm {d} \ тау}$
	$= ∫ - ∞ ∞ Икс (τ) ⋅ час (T - τ) d τ, {\ Displaystyle {} \ quad = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (т- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau,}$ ${\ Displaystyle {} \ quad = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau,}$ (с использование коммутативности )

, где $h (t) {\ displaystyle \ textstyle h (t)}$ $\ textstyle h (t)$ - реакция системы на импульс : $x (τ) = δ (τ) {\ Displaystyle \ textstyle x (\ tau) = \ delta (\ tau).}$ $\ textstyle x (\ tau) = \ дельта (\ тау).$ $y (t) {\ displaystyle \ textstyle y (t)}$ ${\ displaystyle \ textstyle y (t)}$ для этого e пропорцио нально средневзвешенному значению входной функции $x (τ). {\ displaystyle \ textstyle x (\ tau).}$ $\ textstyle х (\ тау).$ Функция взвешивания: $h (- τ), {\ displaystyle \ textstyle h (- \ tau),}$ $\ textstyle h (- \ tau),$ просто сдвигается на сумму $т. {\ displaystyle \ textstyle t.}$ $\ textstyle t.$ При изменении $t {\ displaystyle \ textstyle t}$ $\ textstyle t$ функция взвешивания подчеркивает различные части функции ввода. Когда $час (τ) {\ displaystyle \ textstyle h (\ tau)}$ $\ textstyle h (\ tau)$ равенство нулю для всех отрицательных $τ, {\ displaystyle \ textstyle \ tau,}$ $\ textstyle \ tau$ $y (t) {\ displaystyle \ textstyle y (t)}$ $\ textstyle y (t)$ зависит только от значений $x {\ displaystyle \ textstyle x}$ $\ textstyle x$ до времени $t, {\ displaystyle \ textstyle t,}$ $\ textstyle t,$ и система называется причинно-следственной.

Чтобы понять, почему свертка дает результат системы LTI, обозначим ${x (u - τ); и} {\ Displaystyle \ textstyle \ {х (и- \ тау); \ u \}}$ $\ textstyle \ {х (и- \ тау); \ u \}$ функция функции $x (u - τ) {\ displaystyle \ textstyle x (u- \ tau)}$ $\ textstyle x (и- \ тау)$ с переменной $u {\ displaystyle \ textstyle u}$ $\ textstyle u$ и константой $τ. {\ displaystyle \ textstyle \ tau.}$ $\ textstyle \ tau.$ И пусть более короткая запись ${x} {\ displaystyle \ textstyle \ {x \} \,}$ $\ textstyle \ {x \} \,$ представляет ${ х (и); u}. {\ Displaystyle \ TextStyle \ {х (и); \ u \}.}$ $\ textstyle \ {х (и); \ u \}.$ Затем система с непрерывным временем преобразует функцию ввода, ${x}, {\ displaystyle \ textstyle \ {x \},}$ $\ textstyle \ {x \},$ в функцию вывода, ${y} {\ displaystyle \ textstyle \ {y \}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ {y \}}$ . И вообще, каждое значение может зависеть от каждого значения ввода. Эта концепция представлена :

y (t) = def O t {x}, {\ displaystyle y (t) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ O_ {t} \ { x \},}

{\ displaystyle y (t) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=} } \ O_ {t} \ {x \},}

где $O t {\ displaystyle \ textstyle O_ {t}}$ $\ textstyle O_ {t}$ - оператор преобразования для времени $t {\ displaystyle \ textstyle t}$ $\ textstyle t$ . В типичной системе $y (t) {\ displaystyle \ textstyle y (t)}$ $\ textstyle y (t)$ наиболее сильно зависит от значений $x {\ displaystyle \ textstyle x}$ $\ textstyle x$ , произошедшее недалеко от времени $т. {\ displaystyle \ textstyle t.}$ $\ textstyle t.$ Если преобразование не изменится на $t, {\ displaystyle \ textstyle t,}$ $\ textstyle t,$ функция вывода будет просто постоянной, система само неинтересно.

Для линейной системы $O {\ displaystyle \ textstyle O}$ $\ textstyle O$ должен удовлетворять уравнению 1 :

O t {∫ - ∞ ∞ c τ x τ (u) d τ; u} = ∫ - ∞ ∞ c τ y τ (t) ⏟ O t {x τ} d τ. {\ Displaystyle O_ {T} \ left \ {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} c _ {\ tau} \ x _ {\ tau} (u) \, \ mathrm {d} \ тау; \ u \ right \} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} c _ {\ tau} \ \ underbrace {y _ {\ tau} (t)} _ {O_ {t} \ { x_ {\ tau} \}} \, \ mathrm {d} \ tau. \,}

{\ displaystyle O_ {T} \ left \ {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} c _ {\ tau} \ x _ {\ tau} (u) \, \ mathrm {d} \ tau; \ u \ right \} = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ inft y} c _ {\ tau} \ \ underbrace {y _ {\ tau} (t)} _ {O_ {t} \ {x _ {\ tau} \}} \, \ mathrm {d} \ tau. \,}

(уравнение 2)

И требование установить во времени: :

O t {x (u - τ); u} = y (t - τ) = def O t - τ {x}. {\ Displaystyle {\ begin {align} O_ {t} \ {x (u- \ tau); \ u \} \ {\ stackrel {\ quad} {=}} \ y (t- \ tau) \\ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ O_ {t- \ tau} \ {Икс \}. \, \ end {align}}}

{\ begin {align} O_ {t} \ {x (u- \ tau); \ u \} \ {\ stackrel {\ quad} {=}} \ y (t- \ tau) \\ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ O _ {{t - \ тау}} \ {х \}. \, \ End {align}}

(уравнение 3)

В этом обозначении мы можем записать импульсную характеристику как $h (t) = def O t {δ (u); u}. {\ Displaystyle \ TextStyle ч (т) \ {\ stackrel {\ текст {деф}} {=}} \ O_ {т} \ {\ дельта (и); \ u \}.}$ $\ textstyle ч (т) \ {\ stackrel {{\ текст {def}} } {=}} \ O_ {t} \ {\ delta (u); \ u \}.$

Аналогично :

$час (т - τ) {\ Displaystyle ч (т- \ тау) \,}$ $h (t- \ tau) \,$	$= деф О т - т {δ (и); u} {\ displaystyle {} {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ O_ {t- \ tau} \ {\ delta (u); \ u \}}$ ${} {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ O _ {{t- \ тау}} \ {\ дельта ( и); \ и \}$
	$= O t {δ (u - τ); u}. {\ Displaystyle {} = О_ {т} \ {\ дельта (и- \ тау); \ u \}. \,}$ ${} = O_ {t} \ {\ delta (u- \ тау); \ u \}. \,$ (используя уравнение 3 )

Подстановка результата в интеграл свертки :

(x ∗ h) (t) = ∫ - ∞ ∞ x (τ) ⋅ h (T - τ) d τ знак равно ∫ - ∞ ∞ Икс (τ) ⋅ О T {δ (и - τ); u} d τ, {\ Displaystyle {\ begin {align} (x * h) (t) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau \\ [4pt] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau); \ u \} \, \ mathrm {d} \ tau, \, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} ( x * h) (t) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau \\ [ 4pt] = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot O_ {t} \ {\ delta (u- \ tau); \ u \} \, \ mathrm {d} \ tau, \, \ end {выровнено}}}

, которая имеет форму правой части Уравнение 2 для случая $c τ = x (τ) {\ displaystyle \ textstyle c _ {\ тау} знак равно Икс (\ тау)}$ ${\ displaystyle \ textstyle c _ {\ tau} = x (\ tau)}$ и <233 Икс τ (U) знак равно δ (U - τ), {\ Displaystyle \ textstyle x _ {\ tau} (u) = \ дельта ( u- \ tau).} ${\ displaystyle \ textstyle x _ {\ tau} (u) = \ delta (u- \ tau).}$ . Ур.2тогда допускает это продолжение :

(x ∗ h) (t) = O t {∫ - ∞ ∞ x (τ) ⋅ δ (u - τ) d τ; u} знак равно О T {x (u); u} = def y (t). {\ displaystyle {\ begin {align} (x * h) (t) = O_ {t} \ left \ {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ тау) \ cdot \ де lta (u- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau; \ u \ right \} \\ = O_ {t} \ left \ {x (u); \ u \ right \} \\ \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ y (t). \, \ end {align}}}

{\ Displaystyle {\ begin {align} (х * ч) (т) = O_ {t} \ left \ {\ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} х (\ тау) \ cdot \ delta (u- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau; \ u \ right \} \\ = O_ {t} \ left \ {x (u); \ u \ right \} \\ \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ y (t). \, \ конец {выравнивание}}}

Таким образом, функция ввода, ${x}, {\ displaystyle \ textstyle \ {x \},}$ $\ textstyle \ {x \},$ может быть представлен континуумом импульсных функций со сдвигом времени, объединенных «линейно», как показано в уравнении 1. Свойство линейности системы позволяет представить отклик системы континуумом импульсных откликов, объединенных таким же образом. И свойство временной инвариантности позволяет ввести эту комбинацию интегралом свертки.

Математические операции, приведенные выше, имеют простое графическое моделирование.

Показатели как собственные функции

Собственная функция - это функция, для которой предлагается оператор масштабированная версия той же функции. То есть

H f = λ f, {\ displaystyle {\ mathcal {H}} f = \ lambda f,}

{\ displaystyle {\ mathcal {H}} f = \ lambda f,}

, где f - собственная функция, а $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - это собственное значение, константа.

экспоненциальные функции $A est {\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st} }$ , где $A, s ∈ C {\ displaystyle A, s \ in \ mathbb {C}}$ $A, s \ in {\ mathbb {C}}$ , являются собственными функциями линейного, не зависящего от времени оператора. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что введено значение $x (t) = A e s t {\ displaystyle x (t) = Ae ^ {st}}$ $x (t) = Ae ^ {{st }}$ . Выход системы с импульсной характеристикой $h (t) {\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ тогда равенство

∫ - ∞ ∞ h (t - τ) A es τ d ⁡ τ {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t- \ tau) Ae ^ {s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau}

который в силу коммутативности свертка, эквивалентна

∫ - ∞ ∞ h (τ) A es (t - τ) d ⁡ τ ⏞ H f = ∫ - ∞ ∞ h (τ) A este - s τ d ⁡ τ знак равно A est ∫ - ∞ ∞ час (τ) е - s τ d ⁡ τ = A est ⏟ Вход ⏞ е H (s) ⏟ скалярный ⏞ λ, {\ displaystyle {\ begin {align} \ overbrace {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {s (t- \ tau)} \, \ operatorname {d} \ tau} ^ {{\ mathcal {H}} f} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau \\ = Ae ^ {st} \ int _ { - \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau \\ = \ overbrace {\ underbrace {Ae ^ {st}} _ {\ text {Input}}} ^ {f} \ overbrace {\ underbrace {H (s)} _ {\ text {Scalar}}} ^ {\ lambda}, \ end {выро внено}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ overbrace {\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {s (t- \ tau)} \, \ operatorname {d} \ tau} ^ {{\ mathcal {H}} f} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, Ae ^ {st} e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau \\ = Ae ^ {st} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (\ tau) \, e ^ {- s \ tau} \, \ operatorname {d} \ tau \\ = \ overbrace {\ underbrace {Ae ^ {st}} _ {\ text {Input}}} ^ {f} \ overbrace {\ underbrace {H (s)} _ {\ текст {Скаляр}}} ^ {\ lambda}, \ end {выровнено}}}

где скаляр

H (s) = def ∫ - ∞ ∞ h (t) e - std ⁡ t {\ disp Laystyle H (s) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, \ operatorname {d} t}

H (s) \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {= }} \ \ int _ {{- \ infty}} ^ {\ infty} h (t) e ^ {{- st}} \, \ operatorname {d} t

зависит только от параметров s.

Итак, ответ системы - это масштабированная версия ввода. В частности, для любых $A, s ∈ C {\ displaystyle A, s \ in \ mathbb {C}}$ $A, s \ in {\ mathbb {C}}$ вывод системы является произведением ввода $A est {\ displaystyle Ae ^ {st }}$ $Ae ^ {{st} }$ и константа $H (s) {\ displaystyle H (s)}$ $H (s)$ . Следовательно, $A est {\ displaystyle Ae ^ {st}}$ $Ae ^ {{st} }$ является собственной функцией системы LTI, соответствующее собственное значение равно $H ( s) {\ displaystyle H (s)}$ $H (s)$ .

Прямое доказательство

Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.

Давайте установим $v (t) = ei ω t {\ displaystyle v (t) = e ^ {i \ omega t}}$ $v (t) = e ^ {{i \ omega t}}$ некоторую комплексную экспоненту и $va (т) знак равно еи ω (т + а) {\ Displaystyle v_ {а} (т) = е ^ {я \ омега (т + а)}}$ $v_ {a} (t) = e ^ {{i \ omega (t + a)}}$ его версия со сдвигом во времени.

$H [va] (t) = ei ω a H [v] (t) {\ displaystyle H [v_ {a}] (t) = e ^ {i \ omega a} H [v] (t) }$ $H [v_ {a}] (t) = e ^ {{я \ omega a}} H [ v] (t)$ по линейности относительно константы $ei ω a {\ displaystyle e ^ {i \ omega a}}$ $e ^ {{я \ omega a}}$ .

$H [va] (t) = H [v] (t + а) { \ displaystyle H [v_ {a}] (t) = H [v] (t + a)}$ $H [v_ {a}] (t) = H [v] (t + a)$ по неизменности времени $H {\ displaystyle H}$ $H$ .

Итак $ЧАС [ v] (t + a) знак равно ei ω a H [v] (t) {\ displaystyle H [v] (t + a) = e ^ {i \ omega a} H [v] (t)}$ $H [v] (t + a) = e ^ {{i \ omega a}} H [v] (t)$ . Установив $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ и переименовав, мы получим:

H [v] (τ) = ei ω τ H [v] (0) {\ displaystyle H [v] (\ tau) = e ^ {i \ omega \ tau} H [v] (0)}

H [v] (\ tau) = e ^ {{i \ omega \ tau}} H [v] (0)

т.е. что комплексная экспонента $e i ω τ {\ displaystyle e ^ {i \ omega \ tau}}$ $e ^ {{я \ омега \ тау}}$ на входе даст комплексную экспоненту той же частоты, что и на выходе.

Преобразования Фурье и Лапласа

Свойство собственных функций экспонент очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа

H (s) = def L {h (t)} = def ∫ 0 ∞ h (t) e - std ⁡ t {\ displaystyle H (s) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ \ int _ {0} ^ {\ infty } h (t) e ^ {- st} \, \ operatorname {d} t}

{\ Стиль отображения H (s) \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ mathcal {L}} \ {h (t) \} \ {\ stackrel {\ текст {def}} {=} } \ \ int _ {0} ^ {\ infty} h (t) e ^ {- st} \, \ operatorname {d} t}

- это именно тот способ получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (то есть экспоненциальные функции вида $ej ω t {\ displaystyle e ^ {j \ omega t}}$ $e ^ {j \ omega t}$ , где $ω ∈ R {\ displaystyle \ omega \ in \ mathbb {R}}$ $\ omega \ in {\ mathbb {R}}$ и $j = def - 1 {\ displaystyle j \ {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ {\ sqrt {-1}}}$ $j \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ {\ sqrt {-1}}$ ). преобразование Фурье $H (j ω) = F {h (t)} {\ displaystyle H (j \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}}$ $H (j \ omega) = {\ mathcal {F}} \ {h (t) \}$ дает собственные значения для чистых сложных синусоид. Оба из $H (s) {\ displaystyle H (s)}$ $H (s)$ и $H (j ω) {\ displaystyle H (j \ omega)}$ $H (j \ omega)$ называются системная функция, системный ответ или передаточная функция.

Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналы, которые равны нулю для всех значений t, меньшего некоторого значения. Обычно это «время начала» устанавливается равным нулю для удобства и без общности, при этом интеграл преобразования берется от нуля до бесконечности (преобразование, показанное выше с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности, формально как стабильной.

Причинность

Система LTI с дискретным временем является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущих значений и прошлых значений входных данных. Необходимым и достаточным условием причинно-следственной связи является

h [n] = 0 ∀ n < 0, {\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}

h [n] = 0 \ \ forall n <0,

, где $h [n] {\ displaystyle h [n]}$ $h [n]$ - импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинно-следственную связь по Z-преобразованию, поскольку обратное преобразование является не уникальным. Когда область конвергенции указана, то может быть определена причинная связь.

Стабильность

Система является ограниченным входом, ограниченным выходом стабильным (стабильным BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если

‖ x [n] ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \ \|x[n]\|_{\infty }<\infty }

\ \ | х [п] \ | _ {{\ infty}} <\ infty

означает, что

‖ y [n] ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \ \|y[n]\|_{\infty }<\infty }

\ \ | y [n] \ | _ {{\ infty}} <\ infty

(то есть, если ограниченный ввод подразумевает ограниченный вывод, в том смысле, что максимальные абсолютные значения из $x [n] {\ displaystyle x [n]}$ $x [n]$ и $y [n] {\ displaystyle y [n]}$ $y [n]$ конечны), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что $h [n] {\ displaystyle h [n]}$ $h [n]$ , импульсная характеристика, удовлетворяет

‖ h [n] ‖ 1 = def ∑ n = - ∞ ∞ | h [n] | < ∞. {\displaystyle \|h[n]\|_{1}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty.}

\ | h [n] \ | _ {1} \ {\ stackrel {{\ text {def}}} {=}} \ \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} | час [n] | <\ infty.

В частотной области область конвергенции должна содержать единичную окружность (т. Е. геометрическое место, удовлетворяющее $| z | = 1 {\ displaystyle | z | = 1}$ $| z | = 1$ для комплексного z).

Примечания

См. Также

Ссылки

Филлипс, Кл, Парр, Дж. М., и Рискин, Е. А. (2007). Сигналы, системы и преобразования. Прентис Холл. ISBN 978-0-13-041207-2. CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка )
Hespanha, JP (2009). Linear System Theory. Princeton University Press. ISBN 978-0-691- 14021-6.
Кратчфилд, Стив (12 октября 2010 г.), «The Joy of Convolution», Университет Джона Хопкинса, получено 21 ноября 2010 г.
Вайдьянатан, П.П.; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в многоскоростных банках фильтров - Часть I: основы теоретической системы» (PDF). Процесс передачи сигналов IEEE. 43 (6): 1090. Bibcode : 1995ITSP... 43.1090V. doi : 10.1109 / 78.382395.

Дополнительная литература

Внешние ссылки

ECE 209: Обзор схем как систем LTI - Краткое руководство по математическому анализу (электрическим) системам LTI.
ECE 209: Источники фазового сдвига - Дает интуитивное объяснение источника фазового сдвига в двух распространенных электрических систем LTI.
Примечания к курсу JHU 520.214 «Сигнал ы и системы ». Инкапсулированный курс теории систем LTI. Подходит для самообучения.
Пример системы LTI: RC-фильтр нижних частот. Амплитуда и фазовая характеристика.