Фильтр Бесселя

редактировать

В электронике и обработке сигналов, фильтр Бесселя представляет собой тип аналогового линейного фильтра с максимально плоской групповой / фазовой задержкой (максимально линейной фазовой характеристикой ), которая сохраняет форму волны фильтрованных сигналов в полосе пропускания. Фильтры Бесселя часто используются в системах с кроссовером .

Название фильтра является отсылкой к немецкому математику Фридриху Бесселю (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры также называются фильтрами Бесселя – Томсона в знак признания У.Е. Томсона, который разработал, как применять функции Бесселя для проектирования фильтров в 1949 году. (Фактически, статья Киясу из В Японии это произошло на несколько лет раньше.)

Фильтр Бесселя очень похож на фильтр Гаусса и имеет тенденцию к той же форме при увеличении порядка фильтрации. В то время как переходная характеристика во временной области фильтра Гаусса имеет нулевое перерегулирование, фильтр Бесселя имеет небольшую величину перерегулирования, но все же намного меньше, чем обычные фильтры частотной области.

По сравнению с приближениями конечного порядка фильтра Гаусса, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем гауссовский фильтр тот же порядок, хотя гауссовский режим имеет меньшую временную задержку и нулевой выброс.

Содержание

1 Передаточная функция
2 Полиномы Бесселя
3 Пример
4 Цифровой
5 См. также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Передаточная функция

График усиления и групповой задержки для фильтра нижних частот Бесселя четвертого порядка. Обратите внимание, что переход от полосы пропускания к полосе заграждения происходит намного медленнее, чем для других фильтров, но групповая задержка практически постоянна в полосе пропускания. Фильтр Бесселя обеспечивает максимальную ровность кривой групповой задержки при нулевой частоте.

Фильтр нижних частот Бесселя характеризуется своей передаточной функцией :

H (s) = θ n ( 0) θ N (s / ω 0) {\ displaystyle H (s) = {\ frac {\ theta _ {n} (0)} {\ theta _ {n} (s / \ omega _ {0})} } \,}

H (s) = {\ frac {\ theta _ {n} (0)} {\ theta _ {n } (s / \ omega _ {0})}} \,

где $θ n (s) {\ displaystyle \ theta _ {n} (s)}$ $\ theta _ {n} (s)$ - это обратный многочлен Бесселя, из которого фильтр получает свое имя, а $ω 0 {\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ - частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку $1 / ω 0 {\ displaystyle 1 / \ omega _ {0}}$ $1 / \ omega _ {0}$ . Поскольку $θ n (0) {\ displaystyle \ theta _ {n} (0)}$ $\ theta _ {n} (0)$ не определено по определению обратных полиномов Бесселя, но является устранимой сингулярностью, определено, что $θ N (0) знак равно lim x → 0 θ N (x) {\ displaystyle \ theta _ {n} (0) = \ lim _ {x \ rightarrow 0} \ theta _ {n} (x)}$ $\ theta _ {n} (0) = \ lim _ {{x \ rightarrow 0}} \ theta _ {n} (x)$ .

Многочлены Бесселя

Корни полинома Бесселя третьего порядка - это полюсы передаточной функции фильтра в плоскости s, изображенные здесь крестиками.

Передаточная функция фильтра Бесселя - это рациональная функция, знаменатель которой является обратным многочленом Бесселя, например:

n = 1; s + 1 {\ displaystyle n = 1; \ quad s + 1}

n = 1; \ quad s + 1

n = 2; s 2 + 3 s + 3 {\ displaystyle n = 2; \ quad s ^ {2} + 3s + 3}

n = 2 ; \ quad s ^ {2} + 3s + 3

n = 3; s 3 + 6 s 2 + 15 s + 15 {\ displaystyle n = 3; \ quad s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15}

n = 3; \ quad s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15

n = 4; s 4 + 10 s 3 + 45 s 2 + 105 s + 105 {\ displaystyle n = 4; \ quad s ^ {4} + 10s ^ {3} + 45s ^ {2} + 105s + 105}

n = 4; \ quad s ^ {4} + 10s ^ {3} + 45s ^ {2} + 105s + 105

n = 5; s 5 + 15 s 4 + 105 s 3 + 420 s 2 + 945 s + 945 {\ displaystyle n = 5; \ quad s ^ {5} + 15s ^ {4} + 105s ^ {3} + 420s ^ {2 } + 945s + 945}

n = 5; \ quad s ^ {5} + 15s ^ {4} + 105s ^ {3} + 420s ^ {2} + 945s + 945

Обратные многочлены Бесселя задаются следующим образом:

θ n (s) = ∑ k = 0 naksk, {\ displaystyle \ theta _ {n} (s) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {k} s ^ {k},}

\ theta _ { n} (s) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} a_ {k} s ^ {k},

где

ak = (2 n - k)! 2 н - к к! (п - к)! k = 0, 1,…, n. {\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {(2n-k)!} {2 ^ {nk} k! (nk)!}} \ quad k = 0,1, \ ldots, n.}

a_ {k } = {\ frac {(2n-k)!} {2 ^ {{nk}} k! (nk)!}} \ quad k = 0,1, \ ldots, n.

Пример

График усиления фильтра Бесселя третьего порядка в зависимости от нормализованной частоты

График групповой задержки фильтра Бесселя третьего порядка, иллюстрирующий плоскую единичную задержку в полосе пропускания

Передаточная функция для третьего порядка ( трехполюсный) Бесселя фильтр нижних частот с $ω 0 = 1 {\ displaystyle \ omega _ {0} = 1}$ $\ omega _ {0} = 1$ is

H (s) = 15 s 3 + 6 s 2 + 15 s + 15, {\ displaystyle H (s) = {\ frac {15} {s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15}},}

{\ displaystyle H (s) = {\ frac {15} {s ^ {3} + 6s ^ {2} + 15s + 15}},}

где числитель был выбран для получения единичного усиления при нулевой частоте (s = 0). Корни полинома знаменателя, полюса фильтра, включают действительный полюс при s = −2,3222 и комплексно-сопряженную пару полюсов при s = −1,8389 ± j1,7544, построенных выше.

Тогда усиление будет

G (ω) = | H (j ω) | = 15 ω 6 + 6 ω 4 + 45 ω 2 + 225. {\ displaystyle G (\ omega) = | H (j \ omega) | = {\ frac {15} {\ sqrt {\ omega ^ {6} +6 \ omega ^ {4} +45 \ omega ^ {2} +225}}}. \,}

G (\ omega) = | H (j \ omega) | = {\ frac {15} {{\ sqrt {\ omega ^ {6} +6 \ omega ^ {4} +45 \ omega ^ {2} +225}}}}. \,

Точка 3 дБ, где $| H (j ω) | = 1 2, {\ displaystyle | H (j \ omega) | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}, \,}$ ${\ displaystyle | H (j \ omega) | = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}, \,}$ встречается при $ω = 1,756. {\ displaystyle \ omega = 1.756. \,}$ ${\ displaystyle \ омега = 1,756. \,}$ Обычно это называется частотой среза.

Фаза равна

ϕ (ω) = - arg ⁡ (H (j ω)) = arctan ⁡ (15 ω - ω 3 15 - 6 ω 2). {\ displaystyle \ phi (\ omega) = - \ arg (H (j \ omega)) = \ arctan \ left ({\ frac {15 \ omega - \ omega ^ {3}} {15-6 \ omega ^ { 2}}} \ right). \,}

{\ displaystyle \ phi (\ omega) = - \ arg (H (j \ omega)) = \ arctan \ left ({\ frac { 15 \ omega - \ omega ^ {3}} {15-6 \ omega ^ {2}}} \ right). \,}

Групповая задержка равна

D (ω) = - d ϕ d ω = 6 ω 4 + 45 ω 2 + 225 ω 6 + 6 ω 4 + 45 ω 2 + 225. {\ displaystyle D (\ omega) = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} = {\ frac {6 \ omega ^ {4} +45 \ omega ^ {2} +225} {\ omega ^ {6} +6 \ omega ^ {4} +45 \ omega ^ {2} +225}}. \,}

D (\ omega) = - {\ frac {d \ phi} {d \ omega}} = {\ frac {6 \ omega ^ {4 } +45 \ omega ^ {2} +225} {\ omega ^ {6} +6 \ omega ^ {4} +45 \ omega ^ {2} +225}}. \,

Расширение групповой задержки в ряд Тейлора равно

D (ω) = 1 - ω 6 225 + ω 8 1125 + ⋯. {\ displaystyle D (\ omega) = 1 - {\ frac {\ omega ^ {6}} {225}} + {\ frac {\ omega ^ {8}} {1125}} + \ cdots.}

D ( \ omega) = 1 - {\ frac {\ omega ^ {6}} {225}} + {\ frac {\ omega ^ {8}} {1125}} + \ cdots.

Обратите внимание, что два члена в ω и ω равны нулю, что приводит к очень плоской групповой задержке при ω = 0. Это наибольшее количество членов, которое может быть установлено равным нулю, поскольку всего четыре коэффициента в третьем порядке. Многочлен Бесселя, требующий четырех уравнений для определения. Одно уравнение определяет, что коэффициент усиления равен единице при ω = 0, а второе определяет, что коэффициент усиления равен нулю при ω = ∞, оставляя два уравнения для определения двух членов в разложении ряда равными нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка n: первые n - 1 членов в разложении групповой задержки будут равны нулю, что максимизирует равномерность групповой задержки при ω = 0.

Цифровой

Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, а не амплитудная характеристика, нецелесообразно использовать билинейное преобразование для преобразования аналоговый фильтр Бесселя в цифровую форму (поскольку он сохраняет амплитудную характеристику, но не групповую задержку).

Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой, который также может быть преобразован в многопроходный фильтр для реализации дробных задержек.

См. Также

Справочная информация

^«Фильтр Бесселя». 2013-01-24. Архивировано из оригинала 24 января 2013 г. Получено 06.01.2016.
^Thomson, WE, «Сети задержки с максимально плоскими частотными характеристиками », Proceedings of the Institution инженеров-электриков, часть III, ноябрь 1949 г., т. 96, № 44, стр. 487–490.
^Киясу, З. (август 1943 г.). «О методе проектирования сетей с задержкой». J. Inst. Электр. Commun. Англ. Япония. 26 : 598–610.
^Бон, Деннис; Миллер, Рэй (1998). «RaneNote 147: кроссовер с фильтром Бесселя и его связь с другими». www.rane.com. Архивировано с оригинала от 24.02.2014. Проверено 6 января 2016.
^Робертс, Стивен. «ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ И КОНСТРУКЦИЯ ФИЛЬТРА: 3.1 Фильтры Бесселя-Томсона» (PDF). Импульсная характеристика фильтров Бесселя-Томсона имеет тенденцию к гауссову при увеличении порядка фильтрации
^«comp.dsp | IIR Gaussian Transition Filters». www.dsprelated.com. Проверено 6 января 2016. Аналоговый фильтр Бесселя является приближением к фильтру Гаусса, и приближение улучшается по мере увеличения порядка фильтра.
^«Фильтры Гаусса». www.nuhertz.com. Проверено 29 марта 2016. Наиболее важной характеристикой фильтра Гаусса является то, что переходная характеристика не содержит выбросов.
^«Как выбрать фильтр? (Баттерворта, Чебышева, обратного Чебышева, Бесселя или Томсона)». www.etc.tuiasi.ro. Проверено 29 марта 2016. Бессель... Преимущества: Лучшая реакция на скачок - очень мало перерегулирований или звона.
^«Бесплатная программа аналогового фильтра». www.kecktaylor.com. Проверено 29 марта 2016. фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, а фильтр Гаусса не имеет перерегулирования.
^Паарманн, Л. Д. (2001-06-30). Разработка и анализ аналоговых фильтров: перспектива обработки сигналов. Springer Science Business Media. ISBN 9780792373735. фильтр Бесселя имеет немного лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем фильтр Гаусса того же порядка. Тем не менее, фильтр Гаусса имеет меньшую временную задержку, о чем свидетельствуют единичные пики импульсной характеристики, возникающие раньше, чем для фильтров Бесселя того же порядка.
^ Джованни Бьянки и Роберто Соррентино (2007). Моделирование и дизайн электронного фильтра. McGraw – Hill Professional. С. 31–43. ISBN 978-0-07-149467-0.
^Тиран, Дж. П. (1971-11-01). «Рекурсивные цифровые фильтры с максимально плоской групповой задержкой». IEEE Transactions по теории цепей. 18 (6): 659–664. DOI : 10.1109 / TCT.1971.1083363. ISSN 0018-9324.
^Мадисетти, Виджай (1997-12-29). «Раздел 11.3.2.2 Классические типы БИХ-фильтров». Справочник по цифровой обработке сигналов. CRC Press. п. 282. ISBN 9780849385728. Пятый БИХ-фильтр... это всеполюсный фильтр, который обладает максимально ровной групповой задержкой... этот фильтр не получается напрямую из аналогового эквивалента, фильтра Бесселя... Вместо этого он может быть получен непосредственно в цифровом домене [Тиран]
^Смит III, Юлиус О. (2015-05-22). "Интерполяторы Thiran Allpass". Издательство W3K. Проверено 29 апреля 2016 г.
^Вялимяки, Веса (1 января 1995 г.). «Дискретно-временное моделирование акустических трубок с использованием фильтров с дробной задержкой» (PDF). Отаниеми: Хельсинкский технологический университет. Тиран (1971) предложил аналитическое решение для коэффициентов всеполюсного фильтра нижних частот с максимально плоской групповой задержкой... кажется, что результат Тирана лучше подходит для проектирования всепроходного фильтра, чем для всех- полюсные фильтры.Цитировать журнал требует | journal =()

Внешние ссылки