Фильтр Баттерворта

График частотной характеристики из статьи Баттерворта 1930 года.

Фильтр Баттерворта относится к типу фильтр обработки сигналов, предназначенный для получения максимально плоской частотной характеристики в полосе пропускания. Он также упоминается как фильтр с максимальной плоской величиной . Впервые он был описан в 1930 году британским инженером и физиком Стивеном Баттервортом в своей статье «К теории фильтров-усилителей».

• 1 Исходный документ
• 2 Обзор
• 3 Пример
• 4 Передаточная функция
  • 4.1 Нормализованные полиномы Баттерворта
  • 4.2 Максимальная плоскостность
  • 4.3 Спад на высоких частотах
• 5 Реализация фильтра и проектирование
  • 5.1 Топология Кауэра
  • 5.2 Топология Саллена – Ки
  • 5.3 Цифровая реализация
• 6 Сравнение с другими линейными фильтрами
• 7 Ссылки

Баттерворт имел репутация в решении «невозможных» математических задач. В то время дизайн фильтра требовал значительного количества опыта проектировщика из-за ограничений теории , которая тогда использовалась. Фильтр не использовался более 30 лет после публикации. Баттерворт заявил, что:

«Идеальный электрический фильтр должен не только полностью отбрасывать нежелательные частоты, но также должен иметь одинаковую чувствительность для требуемых частот».

Такой идеальный фильтр не может быть достигнут, но Баттерворт показал, что все более близкие приближения были получены при увеличении количества фильтрующих элементов правильных значений. В то время фильтры генерировали значительную пульсацию в полосе пропускания, и выбор значений компонентов был очень интерактивным. Баттерворт показал, что можно разработать фильтр нижних частот , частота среза которого нормирована на 1 радиан в секунду, а частотная характеристика (усиление ) составляет

$G\; (\omega )\; =\; 1\; 1.\; +\; \omega \; 2\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; +\; \{\backslash \; omega\}\; ^\; \{2n\}\}\}\},\}$

, где ω - угловой частота в радианах в секунду, а n - количество полюсов в фильтре, равное количеству реактивных элементов в пассивном фильтре. Если ω = 1, амплитудная характеристика этого типа фильтра в полосе пропускания составляет 1 / √2 ≈ 0,707, что составляет половину мощности или −3 дБ. В своей статье Баттерворт имел дело только с фильтрами с четным числом полюсов. Возможно, он не знал, что такие фильтры могут быть сконструированы с нечетным числом полюсов. Он построил свои фильтры высшего порядка из двухполюсных фильтров, разделенных ламповыми усилителями. Его график частотной характеристики 2, 4, 6, 8 и 10 полюсных фильтров показан как A, B, C, D и E на его исходном графике.

Баттерворт решил уравнения для двух- и четырехполюсных фильтров, показывая, как последние могут быть каскадированы при разделении ламповыми усилителями и, таким образом, позволяя построить фильтры более высокого порядка, несмотря на потери в катушке индуктивности . В 1930 году материалы сердечника с низкими потерями, такие как молипермаллой, не были обнаружены, а звуковые индукторы с воздушным сердечником имели довольно большие потери. Баттерворт обнаружил, что можно регулировать значения компонентов фильтра, чтобы компенсировать сопротивление обмоток катушек индуктивности.

Он использовал формы катушек диаметром 1,25 дюйма и длиной 3 дюйма со вставными клеммами. Соответствующие конденсаторы и резисторы находились внутри намотанной катушки. Катушка является частью пластинчатого нагрузочного резистора. На каждую вакуумную трубку использовалось два полюса, и RC-соединение использовалось с сеткой следующей трубки.

Баттерворт также показал, что базовый фильтр нижних частот можно модифицировать для получения низких частот, высоких частот, полосовых и полосовой функциональность.

График Боде фильтра нижних частот Баттерворта первого порядка

Частотная характеристика фильтра Баттерворта максимально плоская (т. Е. Не имеет пульсаций ) в полосе пропускания и скатывается к нулю в полосе задерживания. Если смотреть на логарифмический график Боде, отклик линейно наклоняется в сторону отрицательной бесконечности. Спад характеристики фильтра первого порядка составляет -6 дБ на октаву (-20 дБ на декаду ) (все фильтры нижних частот первого порядка имеют одинаковую нормированную частотную характеристику). Фильтр второго порядка уменьшается на –12 дБ на октаву, третьего порядка - на –18 дБ и так далее. Фильтры Баттерворта имеют монотонно изменяющуюся функцию величины с ω, в отличие от других типов фильтров, которые имеют немонотонную пульсацию в полосе пропускания и / или полосе задерживания.

По сравнению с фильтром Чебышева Тип I / Тип II или эллиптическим фильтром фильтр Баттерворта имеет более медленное спад, и таким образом, потребуется более высокий порядок для реализации конкретной спецификации полосы задерживания, но фильтры Баттерворта имеют более линейную фазовую характеристику в полосе пропускания, чем могут обеспечить фильтры Чебышева типа I / типа II и эллиптических фильтров.

Передаточная функция конструкции фильтра Баттерворта нижних частот третьего порядка, показанная на рисунке справа, выглядит следующим образом:

$V\; o\; (s)\; V\; i\; (s)\; Знак\; равно\; R\; 4\; s\; 3\; (L\; 1\; C\; 2\; L\; 3)\; +\; s\; 2\; (L\; 1\; C\; 2\; R\; 4)\; +\; s\; (L\; 1\; +\; L\; 3)\; +\; R\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{o\}\; (s)\}\; \{V\_\; \{i\}\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{4\}\}\; \{s\; ^\; \{3\}\; (L\_\; \{1\}\; C\_\; \{2\}\; L\_\; \{3\})\; +\; s\; ^\; \{2\}\; (L\_\; \{1\}\; C\_\; \{2\}\; R\_\; \{4\})\; +\; s\; (L\_\; \{1\}\; +\; L\_\; \{3\})\; +\; R\_\; \{4\}\}\}\}$

Фильтр нижних частот третьего порядка (топология Кауэра ). Фильтр становится фильтром Баттерворта с частотой среза ωc= 1, когда (например) C 2 = 4/3 F, R 4 = 1 Ом, L 1 = 3/2 H и L 3 = 1/2 H.

Простым примером фильтра Баттерворта является конструкция нижних частот третьего порядка, показанная на рисунке ниже. справа, с C 2 = 4/3 F, R 4 = 1 Ом, L 1 = 3/2 H и L 3 = 1/2 H. Принимая импеданс конденсаторов C равным 1 / (Cs), а импеданс индукторов L равным Ls, где s = σ + jω - комплексная частота, уравнения схемы дают передаточную функцию для этого устройства:

$H\; (s)\; =\; V\; o\; (s)\; V\; i\; (s)\; =\; 1\; 1\; +\; 2\; s\; +\; 2\; s\; 2\; +\; s\; 3.\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{o\}\; (s)\}\; \{V\_\; \{i\}\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; 2s\; +\; 2s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; ^\; \{3\}\}\}.\}$

Величина частотной характеристики (усиления) G (ω) определяется как

$G\; (\omega )\; =\; |\; H\; (j\; \omega )\; |\; Знак\; равно\; 1\; 1\; +\; \omega \; 6,\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\backslash \; omega)\; =\; |\; H\; (j\; \backslash \; omega)\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{1+\; \backslash \; omega\; ^\; \{6\}\}\}\},\}$

полученное из

$G\; 2\; (\omega )\; =\; |\; H\; (j\; \omega )\; |\; 2\; знак\; равно\; ЧАС\; (J\; \omega )\; \cdot \; ЧАС\; *\; (J\; \omega )\; =\; 1\; 1\; +\; \omega \; 6,\; \{\backslash \; Displaystyle\; G\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\; =\; |\; H\; (j\; \backslash \; omega)\; |\; ^\; \{2\}\; =\; H\; (j\; \backslash \; omega)\; \backslash \; cdot\; H\; ^\; \{*\}\; (j\; \backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1+\; \backslash \; omega\; ^\; \{6\}\}\},\}$

и фаза определяется как

$\Phi \; (\omega )\; =\; arg\; \; (H\; (j\; \omega )).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Phi\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; arg\; (H\; (j\; \backslash \; omega)).\; \backslash !\}$

усиление и групповая задержка фильтра Баттерворта третьего порядка с ω c=1

групповая задержка определяется как производная фазы по угловой частоте и является мерой искажения сигнала, вносимого разностью фаз для разных частот. Усиление и задержка для этого фильтра показаны на графике слева. Видно, что нет ряби на кривой усиления ни в полосе пропускания, ни в полосе заграждения.

Журнал абсолютного значения передаточной функции H (s) нанесен в комплексном частотном пространстве на втором графике справа. Функция определяется тремя полюсами в левой половине комплексной частотной плоскости.

График логарифмической плотности передаточной функции H (s) в комплексном частотном пространстве для фильтра Баттерворта третьего порядка с ω c = 1. Три полюса лежат на окружности единичного радиуса в левой полуплоскости.

Они расположены на окружности единичного радиуса, симметричной относительно действительной оси s. Функция усиления будет иметь еще три полюса в правой полуплоскости, чтобы замкнуть круг.

За счет замены каждой катушки индуктивности конденсатором и каждого конденсатора катушкой индуктивности получается фильтр Баттерворта верхних частот.

Полосовой фильтр Баттерворта получается размещением конденсатора последовательно с каждой катушкой индуктивности и катушки индуктивности параллельно с каждым конденсатором для образования резонансных контуров. Значение каждого нового компонента должно быть выбрано так, чтобы оно резонировало со старым компонентом на интересующей частоте.

Полосовой фильтр Баттерворта получается размещением конденсатора параллельно с каждой катушкой индуктивности и катушки индуктивности последовательно с каждым конденсатором для образования резонансных контуров. Значение каждого нового компонента должно быть выбрано так, чтобы оно резонировало со старым компонентом на частоте, которую необходимо отклонить.

График усиления фильтров нижних частот Баттерворта порядков с 1 по 5 с частотой среза $\omega \; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{\; 0\}\; =\; 1\}$. Обратите внимание, что наклон составляет 20n дБ / декаду, где n - порядок фильтра.

Как и все фильтры, типичный прототип представляет собой фильтр нижних частот, который может быть преобразован в фильтр верхних частот, или размещены последовательно с другими для формирования полосовых фильтров и полосовых и их версий более высокого порядка.

Коэффициент усиления $G\; (\omega )\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\backslash \; omega)\}$фильтра нижних частот Баттерворта n-го порядка выражается в терминах передаточной функции H ( s) как

$G\; 2\; (\omega )\; =\; |\; H\; (j\; \omega )\; |\; 2\; знак\; равно\; G\; 0\; 2\; 1\; +\; (j\; \omega \; j\; \omega \; c)\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; G\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega)\; =\; \backslash \; left\; |\; H\; (j\; \backslash \; omega)\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\; \{G\_\; \{0\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{j\; \backslash \; omega\}\; \{j\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2n\}\}\}\}$

где

• n = порядок фильтра
• ωc= частота среза (приблизительно -3 дБ частота)
• $G\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{0\}\}$- усиление по постоянному току (усиление при нулевой частоте)

Видно, что когда n приближается к бесконечности, коэффициент усиления становится прямоугольной функцией, и частоты ниже ω c будут передаваться с коэффициентом усиления $G\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{0\}\}$, а частоты выше ω c будут подавлены. При меньших значениях n обрезание будет менее резким.

Мы хотим определить передаточную функцию H (s), где $s\; =\; \sigma \; +\; j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; \backslash \; sigma\; +\; j\; \backslash \; omega\}$(из Преобразование Лапласа ). Потому что $|\; H\; (s)\; |\; 2\; знак\; равно\; H\; (s)\; H\; (s)\; ¯\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; |\; H\; (s)\; \backslash \; right\; |\; ^\; \{2\}\; =\; H\; (s)\; \{\backslash \; overline\; \{H\; (s)\}\}\}$и, как общее свойство преобразований Лапласа в $s\; =\; j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; j\; \backslash \; omega\}$, $H\; (-\; j\; \omega )\; =\; H\; (j\; \omega )\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (-j\; \backslash \; omega)\; =\; \{\backslash \; overline\; \{H\; (j\; \backslash \; omega)\}\}\}$, если мы выберем H (s) так, что:

$H\; (s)\; H\; (-\; s)\; =\; G\; 0\; 2\; 1\; +\; (-\; s\; 2\; \omega \; c\; 2)\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\; H\; (-s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\{G\_\; \{0\}\}\; ^\; \{2\}\}\; \{1+\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{-\; s\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{n\}\}\},\}$

затем с $s\; =\; j\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; s\; =\; j\; \backslash \; omega\}$, у нас есть частотная характеристика фильтра Баттерворта.

n полюсов этого выражения встречаются на окружности радиуса ω c в равноотстоящих точках и симметрично относительно отрицательной действительной оси. Поэтому для устойчивости передаточная функция H (s) выбирается так, чтобы она содержала только полюсы в отрицательной действительной полуплоскости s. K-й полюс определяется как

$-\; sk\; 2\; \omega \; c\; 2\; =\; (-\; 1)\; 1\; n\; =\; ej\; (2\; k\; -\; 1)\; \pi \; nk\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{s\_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; =\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{j\; (2k\; -1)\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\}\; \backslash \; qquad\; k\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots,\; n\}$

и, следовательно;

$s\; k\; =\; \omega \; c\; e\; j\; (2\; k\; +\; n\; -\; 1)\; \pi \; 2\; n\; k\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; e\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{j\; (2k\; +\; n-1)\; \backslash \; pi\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; qquad\; k\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots,\; n.\; \}$

Передаточная (или системная) функция может быть записана в терминах этих полюсов как

$H\; (s)\; =\; G\; 0\; \prod \; k\; =\; 1\; n\; (s\; -\; sk)\; /\; \omega \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{G\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; (s-s\_\; \{k\})\; /\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}\}.\}$

Где $\prod \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; prod\}$- это произведение оператора последовательности. Знаменатель - многочлен Баттерворта от s.

Нормализованные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут быть записаны в сложной форме, как указано выше, но обычно записываются с действительными коэффициентами путем умножения пар полюсов, которые являются комплексно сопряженными, например $s\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{1\}\}$и $sn\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{n\}\}$. Полиномы нормализованы путем установки $\omega \; c\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; =\; 1\}$. Нормализованные многочлены Баттерворта тогда имеют общий вид

$B\; n\; (s)\; =\; \prod \; k\; =\; 1\; n\; 2\; [s\; 2\; -\; 2\; s\; cos\; \; (2\; k\; +\; n\; -\; 1\; 2\; n\; \pi )\; +\; 1]\; n\; =\; even\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (s)\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [s\; ^\; \{2\}\; -2s\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2k\; +\; n-1\}\; \{2n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; +1\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; n\; =\; \{\backslash \; text\; \{even\}\}\}$

$B\; n\; (s)\; =\; (s\; +\; 1)\; \prod \; k\; =\; 1\; n\; -\; 1\; 2\; [s\; 2\; -\; 2\; s\; cos\; \; (2\; k\; +\; n\; -\; 1\; 2\; n\; \pi )\; +\; 1]\; n\; =\; нечетное.\; \{\backslash \; Displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (s)\; =\; (s\; +\; 1)\; \backslash \; prod\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n-1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [s\; ^\; \{2\}\; -2s\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2k\; +\; n-1\}\; \{2n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash \; right)\; +1\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; n\; =\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}.\}$

До четырех знаков после запятой они являются

n множителями многочлена $B\; n\; (s)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\_\; \{n\}\; (s)\}$ 1 $(s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; +\; 1)\}$ 2 $(s\; 2\; +\; 1,4142\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,4142s\; +\; 1)\}$ 3 $(s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\; \}\; +\; s\; +\; 1)\}$ 4 $(s\; 2\; +\; 0,7654\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,8478\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0,7654s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,8478s\; +\; 1)\}$ 5 $(s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 0,6180\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,6180\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0,6180s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,6180s\; +\; 1)\}$ 6 $(s\; 2\; +\; 0,5176\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,4142\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,9319\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0.5176s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1.4142s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1.9319s\; +\; 1)\}$ 7 $(s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 0.4450\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,2470\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,8019\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0,4450s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,2470s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1.8019s\; +\; 1)\}$ 8 $(s\; 2\; +\; 0.3902\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1.1111\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1.6629\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,9616\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0,3902s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,1111s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,6629s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1.9616s\; +\; 1)\}$ 9 $(s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 0,3473\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1.5321\; s\; +\; 1)\; (\; s\; 2\; +\; 1.879\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0.3473s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1.5321s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,879\; с\; +\; 1)\}$ 10 $(с\; 2\; +\; 0,3129\; с\; +\; 1)\; (с\; 2\; +\; 0,9080\; с\; +\; 1)\; (с\; 2\; +\; 1,4142\; с\; +\; 1)\; (с\; 2\; +\; 1,7820\; s\; +\; 1)\; (s\; 2\; +\; 1,9754\; s\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0,3129s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 0,9080s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,4142s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,7820s\; +\; 1)\; (s\; ^\; \{2\}\; +\; 1,9754s\; +\; 1)\}$

Нормализованные полиномы Баттерворта можно использовать для определения передаточной функции для любых нижних частот частота среза фильтра $\omega \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}$, как показано ниже

$H\; (s)\; =\; G\; 0\; B\; n\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{G\_\; \{0\}\}\; \{B\_\; \{n\}\; (a)\}\}\}$, где $a\; =\; s\; \omega \; c.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; \{\backslash \; frac\; \{s\}\; \{\backslash \; omega\; \_\; \{c\}\}\}.\}$

Также возможно преобразование в другие формы полосы, см. фильтр прототипа.

Максимальная плоскостность

Предположим, что $\omega \; c\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; =\; 1\}$и $G\; 0\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; G\_\; \{0\}\; =\; 1\}$, можно показать, что производная усиления по частоте равна

$d\; G\; d\; \omega \; =\; -\; n\; G\; 3\; \omega \; 2\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dG\}\; \{d\; \backslash \; omega\}\}\; =\; -\; nG\; ^\; \{3\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2n-1\}\}$

который монотонно убывает для всех $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$, поскольку коэффициент усиления G всегда положительный. Следовательно, функция усиления фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. Разложение коэффициента усиления в ряд определяется выражением

$G\; (\omega )\; =\; 1\; -\; 1\; 2\; \omega \; 2\; n\; +\; 3\; 8\; \omega \; 4\; n\; +\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; (\backslash \; omega)\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{2n\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{8\}\}\; \backslash \; omega\; ^\; \{4n\}\; +\; \backslash \; ldots\}$

Другими словами, все производные от усиления до 2n-, но не включая -я производная равна нулю в $\omega \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; 0\}$, что приводит к «максимальной ровности». Если требование монотонности ограничивается только полосой пропускания и в полосе задерживания разрешены пульсации, то можно разработать фильтр того же порядка, например, обратный фильтр Чебышева , который будет более плоским в полосу пропускания, чем у «максимально плоского» Баттерворта.

Спад высоких частот

Снова предполагая $\omega \; c\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; =\; 1\}$, наклон log усиления для больших ω равен

$lim\; \omega \; \to \; \infty \; d\; log\; \; (G)\; d\; log\; \; (\omega )\; =\; -\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; log\; (G)\}\; \{d\; \backslash \; log\; (\backslash \; omega)\}\}\; =\; -\; n.\}$

в децибелах, спад высоких частот, следовательно, составляет 20 н дБ / декаду или 6 н дБ / октаву (используется коэффициент 20, потому что мощность пропорциональна квадрату усиления напряжения; см. правило логарифма 20.)

Существует несколько различных топологий фильтра, доступных для реализации линейного аналогового фильтра. Наиболее часто используемая топология для пассивной реализации - это топология Кауэра, а наиболее часто используемая топология для активной реализации - топология Саллена – Ки.

Топология Кауэра

Фильтр Баттерворта с использованием топологии Кауэра

В топологии Кауэра используются пассивные компоненты (шунтирующие конденсаторы и последовательные индукторы) для реализации линейного аналогового фильтра. Фильтр Баттерворта, имеющий заданную передаточную функцию, может быть реализован с использованием 1-формы Кауэра. K-й элемент задается как

$C\; k\; =\; 2\; sin\; \; [(2\; k\; -\; 1)\; 2\; n\; \pi ]\; k\; =\; odd\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{k\}\; =\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(\; 2k-1)\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; k\; =\; \{\backslash \; text\; \{odd\}\}\}$

$L\; k\; =\; 2\; sin\; \; [(2\; k\; -\; 1)\; 2\; n\; \pi ]\; k\; =\; четное.\; \{\backslash \; displaystyle\; L\_\; \{k\}\; =\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(2k-1)\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; k\; =\; \{\backslash \; text\; \{even\}\}.\}$

При желании фильтр может начинаться с последовательной катушки индуктивности, и в этом случае L k являются k нечетными, а C k - четными. Эти формулы можно с пользой объединить, сделав L k и C k равными g k. То есть g k - это иммитанс , деленный на s.

$g\; k\; =\; 2\; sin\; \; [(2\; k\; -\; 1)\; 2\; n\; \pi ]\; k\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{k\}\; =\; 2\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(2k-1)\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; k\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots,\; n.\}$

Эти формулы применяются к фильтру с двойной оконечной нагрузкой (то есть, импеданс источника и нагрузки равны единице) с ω c = 1. Этот фильтр-прототип можно масштабировать для другие значения импеданса и частоты. Для фильтра с одной оконечной нагрузкой (то есть, который приводится в действие идеальным источником напряжения или тока) значения элементов задаются как

$gj\; =\; ajaj\; -\; 1\; cj\; -\; 1\; gj\; -\; 1\; j\; =\; 2,\; 3,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{j\}\; a\_\; \{j-1\}\}\; \{c\_\; \{j-1\}\; g\_\; \{j-1\}\}\}\; \backslash \; qquad\; j\; =\; 2,3,\; \backslash \; ldots,\; n\}$

где

$g\; 1\; =\; a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{1\}\; =\; a\_\; \{1\}\}$

и

$aj\; =\; sin\; \; \pi \; 2\; [(2\; j\; -\; 1)\; n]\; j\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{j\}\; =\; \backslash \; sin\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{(2j-1)\}\; \{n\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; j\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots,\; n\}$

$cj\; =\; cos\; 2\; \; [\pi \; j\; 2\; n]\; j\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots ,\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{j\}\; =\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; j\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; j\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots,\; n.\}$

Фильтры, управляемые напряжением, должны начинаться с последовательного элемента, а текущие фильтры должны начинаться с шунтирующего элемента. Эти формы полезны при разработке диплексоров и мультиплексоров.

топологии Саллена – Ки

топологии Саллена – Ки

В топологии Саллена – Ки используются активные и пассивные компоненты (неинвертирующие буферы, обычно операционные усилители, резисторы и конденсаторы) для реализации линейного аналогового фильтра. Каждая ступень Саллена – Ки реализует сопряженную пару полюсов; общий фильтр реализуется путем последовательного каскадирования всех ступеней. Если есть реальный полюс (в случае, когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$нечетно), это должно быть реализовано отдельно, обычно в виде RC-цепи, и каскадно с активными этапами.

Для схемы Саллена – Ки второго порядка, показанной справа, передаточная функция задается как

$H\; (s)\; =\; V\; out\; (s)\; V\; in\; (s)\; =\; 1\; 1\; +\; C\; 2\; (\; R\; 1\; +\; R\; 2)\; s\; +\; C\; 1\; C\; 2\; R\; 1\; R\; 2\; s\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{V\_\; \{out\}\; (s)\}\; \{V\_\; \{in\}\; (s)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1\; +\; C\_\; \{2\}\; (R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\})\; s\; +\; C\_\; \{1\}\; C\_\; \{2\}\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; s\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Мы хотим, чтобы знаменатель был одним из квадратичных членов в полиноме Баттерворта. Если предположить, что $\omega \; c\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; \_\; \{c\}\; =\; 1\}$, это будет означать, что

$C\; 1\; C\; 2\; R\; 1\; R\; 2\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{\; 1\}\; C\_\; \{2\}\; R\_\; \{1\}\; R\_\; \{2\}\; =\; 1\; \backslash ,\}$

и

$C\; 2\; (R\; 1\; +\; R\; 2)\; =\; -\; 2\; cos\; \; (2\; k\; +\; n\; -\; 1\; 2\; n\; \pi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{2\}\; (R\_\; \{1\}\; +\; R\_\; \{2\})\; =\; -\; 2\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2k\; +\; n-1\}\; \{2n\}\}\; \backslash \; pi\; \backslash \; right).\}$

Это оставляет два неопределенных значения компонентов, которые можно выбрать по желанию.

Цифровая реализация

Цифровые реализации Баттерворта и других фильтров часто основаны на методе билинейного преобразования или методе согласованного Z-преобразования, два различные методы дискретизации аналогового фильтра. В случае многополюсных фильтров, таких как фильтр Баттерворта, метод согласованного Z-преобразования эквивалентен методу импульсной инвариантности. Для более высоких порядков цифровые фильтры чувствительны к ошибкам квантования, поэтому они часто вычисляются как каскадные биквадратные секции плюс одна секция первого или третьего порядка для нечетных порядков.

Свойства фильтра Баттерворта:

• монотонный амплитудный отклик как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания
• Быстрое спад около частоты среза, которое улучшается с увеличением порядка
• Значительное перерегулирование и звон в переходной характеристике, который ухудшается с увеличением порядка
• Слегка нелинейная фазовая характеристика
• Групповая задержка в значительной степени зависит от частоты

Вот изображение, показывающее коэффициент усиления дискретного времени Баттерворта фильтр рядом с другими распространенными типами фильтров. Все эти фильтры пятого порядка.

Фильтр Баттерворта спадает медленнее вокруг частоты среза, чем фильтр Чебышева или эллиптический фильтр, но без пульсаций.

1. ^ In Wireless Engineer (также называемый Experimental Wireless и Wireless Engineer), vol. 7, 1930, pp. 536–541 - «Теория фильтров-усилителей», С. Баттерворт (PDF )
2. ^Джованни Бьянки и Роберто Соррентино (2007). Электронный фильтр моделирование и дизайн. McGraw-Hill Professional. стр. 17–20. ISBN 978-0-07-149467-0.
3. ^Matthaei et al., стр. 107
4. ^США 1849656, Уильям Р. Беннет, "Transmission Network", опубликовано 15 марта 1932 г.
5. ^Matthaei, pp. 104-107
6. ^Matthaei, pp. 105,974

• Matthaei, George L.;, Лео и Джонс, EMT, СВЧ-фильтры, согласующие импеданс сети и структуры связи, McGraw-Hill, 1964 LCCN 64-7937.