Цифровой биквадратный фильтр

В обработке сигналов, a цифровой биквадратный фильтр - это рекурсивный линейный фильтр второго порядка, содержащий два полюса и два нуля. «Биквад» - это сокращение от "биквадрат" ic ", который относится к тому факту, что в области Z его передаточная функция представляет собой отношение двух квадратичных функций :

$H\; (z)\; =\; b\; 0\; +\; б\; 1\; z\; -\; 1\; +\; б\; 2\; z\; -\; 2\; a\; 0\; +\; a\; 1\; z\; -\; 1\; +\; a\; 2\; z\; -\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; H\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{\; -1\}\; +\; b\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\; \{a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\}\}$

Коэффициенты часто нормализованы так, что a 0 = 1:

$H\; (z)\; =\; b\; 0\; +\; b\; 1\; z\; -\; 1\; +\; b\; 2\; z\; -\; 2\; 1\; +\; a\; 1\; z\; -\; 1\; +\; a\; 2\; z\; -\; 2\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; H\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{b\_\; \{0\}\; +\; b\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{-\; 1\}\; +\; b\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\; \{1\; +\; a\_\; \{1\}\; z\; ^\; \{-1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; z\; ^\; \{-\; 2\}\}\}\}$

БИХ-фильтры высокого порядка могут быть очень чувствительны к квантованию своих коэффициентов и могут легко стать нестабильным. Это намного меньше проблем с фильтрами первого и второго порядка; поэтому фильтры более высокого порядка обычно реализуются как последовательно включенные биквадратные секции (и фильтр первого порядка, если необходимо). Два полюса биквадратного фильтра должны находиться внутри единичного круга, чтобы он был устойчивым. В общем, это верно для всех дискретных фильтров, т.е. все полюса должны находиться внутри единичного круга в Z-области, чтобы фильтр был устойчивым.

• 1 Реализация
  • 1.1 Прямая форма 1
  • 1.2 Прямая форма 2
  • 1.3 Транспонированная прямая форма
  • 1.4 Транспонированная прямая форма 1
  • 1.5 Транспонированная прямая форма 2
  • 1.6 Шум квантования
• 2 См. Также
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Прямая форма 1

Самой простой реализацией является прямая форма 1, которая имеет следующее разностное уравнение :

$y\; [n]\; =\; 1\; a\; 0\; (b\; 0\; x\; [n]\; +\; b\; 1\; x\; [n\; -\; 1]\; +\; b\; 2\; x\; [n\; -\; 2]\; -\; a\; 1\; y\; [n\; -\; 1]\; -\; a\; 2\; y\; [n\; -\; 2])\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; y\; [n]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{0\}\}\}\; \backslash \; left\; (b\_\; \{0\}\; x\; [n]\; +\; b\_\; \{1\}\; x\; [n-1]\; +\; b\_\; \{2\}\; x\; [n-2]\; -a\_\; \{1\}\; y\; [n-1]\; -a\_\; \{2\}\; y\; [n-2]\; \backslash \; right)\}$

или, если нормализовано :

$y\; [n]\; =\; b\; 0\; x\; [n]\; +\; b\; 1\; x\; [n\; -\; 1]\; +\; b\; 2\; x\; [n\; -\; 2]\; -\; a\; 1\; y\; [n\; -\; 1]\; -\; a\; 2\; y\; [n\; -\; 2]\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; y\; [n]\; =\; b\_\; \{0\}\; x\; [n]\; +\; b\_\; \{1\}\; x\; [n-1]\; +\; b\_\; \{2\}\; x\; [n-2]\; -a\_\; \{1\}\; y\; [n-1\; ]\; -a\_\; \{2\}\; y\; [n-2]\}$

Здесь $b\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{0\}\}$, $b\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{1\}\}$и $коэффициенты\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{2\}\}$определяют нули, а $a\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{1\}\}$, $a\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; a\_\; \{2\}\}$определяет положение полюсов.

Блок-схема биквадратного фильтра в прямой форме 1:

Прямая форма 2

Для реализации прямой формы 1 требуется четыре регистра задержки. Эквивалентная схема - это реализация прямой формы 2, для которой требуются только два регистра задержки:

Реализация прямой формы 2 называется канонической формой, потому что она использует минимальное количество задержек, сумматоров и умножителей, что дает ту же передаточную функцию. как прямая реализация формы 1. разностные уравнения для прямой формы 2:

$y\; [n]\; =\; b\; 0\; w\; [n]\; +\; b\; 1\; w\; [n\; -\; 1]\; +\; b\; 2\; w\; [n\; -\; 2],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; y\; [n]\; =\; b\_\; \{0\}\; w\; [n]\; +\; b\_\; \{1\}\; w\; [n-1]\; +\; b\_\; \{2\}\; w\; [n-2],\}$

где

$w\; [n]\; =\; x\; [n]\; -\; a\; 1\; w\; [n\; -\; 1]\; -\; a\; 2\; w\; [n\; -\; 2].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; w\; [n]\; =\; x\; [n]\; -a\_\; \{1\}\; w\; [n-1]\; -a\_\; \{2\}\; w\; [n-2].\}$

транспонированные прямые формы

каждая из двух прямых форм можно транспонировать путем обращения потокового графа без изменения передаточной функции. Точки филиалов заменены на летние, а лето - на точки ветвлений. Они предоставляют модифицированные реализации, которые выполняют ту же функцию передачи, которая может быть математически значимой в реальной реализации, где точность может быть потеряна при хранении состояний.

разностные уравнения для транспонированной прямой формы 2:

$y\; [n]\; =\; b\; 0\; x\; [n]\; +\; s\; 1\; [n\; -\; 1],\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; y\; [n]\; =\; b\_\; \{0\}\; x\; [n]\; +\; s\_\; \{1\}\; [n-1],\}$

где

$s\; 1\; [n]\; =\; s\; 2\; [n\; -\; 1]\; +\; b\; 1\; x\; [n\; ]\; -\; a\; 1\; y\; [n]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; s\_\; \{1\}\; [n]\; =\; s\_\; \{2\}\; [n-1]\; +\; b\_\; \{1\}\; x\; [n]\; -a\_\; \{1\}\; y\; [n]\}$

и

$s\; 2\; [n]\; =\; b\; 2\; x\; [n]\; -\; a\; 2\; y\; [n].\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; s\_\; \{2\}\; [n]\; =\; b\_\; \{2\}\; x\; [n]\; -a\_\; \{2\}\; y\; [n].\}$

Транспонированная прямая форма 1

Прямая форма 1 транспонируется в

Транспонированная прямая форма 2

Прямая форма 2 переносится в

шум квантования

, когда выборка из n бит умножается на коэффициент m бит, произведение имеет n + m бит. Эти продукты обычно накапливаются в регистре DSP, для добавления пяти продуктов может потребоваться 3 бита переполнения; этот регистр часто бывает достаточно большим, чтобы содержать n + m + 3 бита. Z реализуется путем сохранения значения для одного времени выборки; в этом регистре хранения обычно n битов, регистр накопителя округляется до n битов, и это вносит шум квантования.

В конфигурации прямой формы 1 имеется единственная функция квантования / округления .

В конфигурации прямой формы 2 есть функция квантования / округления для промежуточного значения. В каскаде значение может не нуждаться в округлении между этапами, но для окончательного вывода может потребоваться округление .

DSP с фиксированной точкой обычно предпочитает непереносимые формы и имеет аккумулятор с большим количеством битов, и округляется при сохранении в основном объем памяти. DSP с плавающей запятой обычно предпочитает транспонированную форму, каждое умножение и потенциально каждое сложение округляются; сложения являются результатом более высокой точности, когда оба операнда имеют одинаковую величину.

• Биквад-фильтр
• Цифровой фильтр

• Формулы рецептов для коэффициентов биквад-фильтра звукового эквалайзера
• Биквад-фильтр
• JOS Раздел BiQuad
• https://ccrma.stanford.edu/~jos/fp/Transposed_Direct_Forms.html
• WikiBook по цифровой обработке сигналов
• Согласованные цифровые фильтры второго порядка