В обработка сигналов, в частности, теория управления, стабильность с ограниченным входом и выходом (BIBO) является формой устойчивости для линейной сигналы и системы, которые принимают входные данные. Если система является BIBO-стабильной, то выход будет ограниченным для каждого ограниченного входа в систему.
Сигнал ограничен, если существует конечное значение таким образом, чтобы величина сигнала никогда не превышала , то есть
- для сигналы с дискретным временем, или
- для сигналов с непрерывным временем.
Содержание
- 1 Условие во временной области для линейных систем, не зависящих от времени
- 1.1 Необходимое и достаточное условие непрерывного времени
- 1.2 Достаточное условие дискретного времени
- 1.2.1 Доказательство достаточности
- 2 Условие частотной области для линейных систем, не зависящих от времени
- 2.1 Сигналы непрерывного времени
- 2.2 Сигналы дискретного времени
- 3 См. Также
- 4 Дополнительная литература
- 5 источников
Условия во временной области включено для линейных систем, не зависящих от времени
Необходимое и достаточное условие непрерывного времени
Для непрерывных систем линейных неизменяемых во времени (LTI) систем, условием стабильности BIBO является то, чтобы импульсный отклик, , был абсолютно интегрируемым, то есть его L норма существует.
Достаточное условие дискретного времени
Для системы LTI с дискретным временем условием стабильности BIBO является то, что импульсная характеристика должна быть абсолютно суммируемый, т.е. его норма существует.
Доказательство достаточности
Для дискретной временной системы LTI с импульсной характеристикой взаимосвязь между входом и выходом равно
, где обозначает свертку. Тогда это следует по определению свертки
Пусть будет максимальным значением из , т.е. -norm.
- (по неравенство треугольника )
Если абсолютно суммируем, тогда и
Итак, если абсолютно суммируем, а ограничен, тогда ограничен как хорошо, потому что
Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.
Условие частотной области для линейных систем, не зависящих от времени
Сигналы непрерывного времени
Для рациональных и систем непрерывного времени, условием стабильности является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает в себя мнимую ось. Когда система причинно-следственная, ROC - это открытая область справа от вертикальной линии, чья абсцисса является действительной частью «самый большой полюс» или полюс, имеющий наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть наибольшего полюса, определяющая ROC, называется абсциссой схождения . Следовательно, все полюса системы должны находиться в строгой левой половине s-плоскости для устойчивости BIBO.
Это условие устойчивости может быть получено из указанного выше условия временной области следующим образом:
где и
Следовательно, область конвергенции должна включать мнимую ось.
Сигналы с дискретным временем
Для рациональной и системы с дискретным временем условием стабильности является то, что область конвергенции (ROC) z-преобразование включает в себя единичный круг. Когда система причинная, ROC - это открытая область вне круга, радиус которого равен величине полюса с наибольшей величиной. Следовательно, все полюса системы должны находиться внутри единичной окружности в z-плоскости для устойчивости BIBO.
Это условие устойчивости может быть получено аналогично выводу непрерывного времени:
где и .
Следовательно, область конвергенции должна включать единичный круг.
См. Также
Дополнительная литература
Ссылки