Стабильность BIBO

редактировать

В обработка сигналов, в частности, теория управления, стабильность с ограниченным входом и выходом (BIBO) является формой устойчивости для линейной сигналы и системы, которые принимают входные данные. Если система является BIBO-стабильной, то выход будет ограниченным для каждого ограниченного входа в систему.

Сигнал ограничен, если существует конечное значение B>0 {\ displaystyle B>0}B>0 таким образом, чтобы величина сигнала никогда не превышала B {\ displaystyle B}B , то есть

| y [n] | ≤ B ∀ n ∈ Z {\ displaystyle \ | y [n] | \ leq B \ quad \ forall n \ in \ mathbb {Z}}\ | y [n] | \ leq B \ quad \ forall n \ in \ mathbb {Z} для сигналы с дискретным временем, или
| y (t) | ≤ B ∀ t ∈ R {\ displaystyle \ | y (t) | \ leq B \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R}}\ | y (t) | \ leq B \ quad \ forall t \ in \ mathbb {R} для сигналов с непрерывным временем.

Содержание

  • 1 Условие во временной области для линейных систем, не зависящих от времени
    • 1.1 Необходимое и достаточное условие непрерывного времени
    • 1.2 Достаточное условие дискретного времени
      • 1.2.1 Доказательство достаточности
  • 2 Условие частотной области для линейных систем, не зависящих от времени
    • 2.1 Сигналы непрерывного времени
    • 2.2 Сигналы дискретного времени
  • 3 См. Также
  • 4 Дополнительная литература
  • 5 источников

Условия во временной области включено для линейных систем, не зависящих от времени

Необходимое и достаточное условие непрерывного времени

Для непрерывных систем линейных неизменяемых во времени (LTI) систем, условием стабильности BIBO является то, чтобы импульсный отклик, h (t) {\ displaystyle h (t)}{\ displaystyle h (t)} , был абсолютно интегрируемым, то есть его L норма существует.

∫ - ∞ ∞ | h (t) | dt = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}<\infty }\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) \ right | \, {\ mathord {\ operatorname {d}}} t = \ | h \ | _ {1} <\ infty

Достаточное условие дискретного времени

Для системы LTI с дискретным временем условием стабильности BIBO является то, что импульсная характеристика должна быть абсолютно суммируемый, т.е. его ℓ 1 {\ displaystyle \ ell ^ {1}}\ ell ^ {1} норма существует.

∑ n = - ∞ ∞ | h [n] | = ‖ H ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}<\infty }{\ displaystyle \ \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | час [п] | = \ | час \ | _ {1} <\ infty}

Доказательство достаточности

Для дискретной временной системы LTI с импульсной характеристикой h [n] {\ displaystyle \ h [n]}\ h [n] взаимосвязь между входом x [n] {\ displaystyle \ x [n]}\ x [n] и выходом y [n] {\ displaystyle \ y [n]}\ y [n] равно

y [n] = h [n] * x [n] {\ displaystyle \ y [n] = h [n] * x [n]}\ y [n] = h [n] * x [n]

, где ∗ {\ displaystyle *}*обозначает свертку. Тогда это следует по определению свертки

y [n] = ∑ k = - ∞ ∞ h [k] x [n - k] {\ displaystyle \ y [n] = \ sum _ {k = - \ infty } ^ {\ infty} h [k] x [nk]}\ y [n] = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [k] x [nk]

Пусть ‖ x ‖ ∞ {\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty}}\ | x \ | _ {\ infty} будет максимальным значением из | x [n] | {\ displaystyle \ | x [n] |}\ | x [n] | , т.е. L ∞ {\ displaystyle L _ {\ infty}}L _ {\ infty} -norm.

| y [n] | = | ∑ k = - ∞ ∞ h [n - k] x [k] | {\ displaystyle \ left | y [n] \ right | = \ left | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} h [nk] x [k] \ right |}\ left | y [n] \ right | = \ left | \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty } h [nk] x [k] \ right |
≤ ∑ k = - ∞ ∞ | h [n - k] | | x [k] | {\ displaystyle \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ right | \ left | x [k] \ right |}\ leq \ sum _ {k = - \ infty } ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ right | \ left | x [k] \ right | (по неравенство треугольника )
≤ ∑ k = - ∞ ∞ | h [n - k] | ‖ x ‖ ∞ = ‖ x ‖ ∞ ∑ k = - ∞ ∞ | h [n - k] | = ‖ x ‖ ∞ ∑ К знак равно - ∞ ∞ | час [к] | {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ right | \ | x \ | _ {\ infty} \\ = \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ right | \ \ = \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [k] \ right | \ end {align}}}{\ begin {align} \ leq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ right | \ | x \ | _ {\ infty} \\ = \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [nk] \ right | \\ = \ | x \ | _ {\ infty} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [k] \ right | \ end {align}}

Если час [n] {\ displaystyle h [n]}h [n] абсолютно суммируем, тогда ∑ k = - ∞ ∞ | h [k] | = ‖ h ‖ 1 < ∞ {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}<\infty }\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ left | h [k] \ right |} = \ | h \ | _ {1} <\ infty и

‖ Икс ‖ ∞ ∑ К знак равно - ∞ ∞ | час [К] | = ‖ Икс ‖ ∞ ‖ час ‖ 1 {\ Displaystyle \ | х \ | _ {\ infty} \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [k] \ right | = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1}}\ | x \ | _ {\ infty } \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [k] \ right | = \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1}

Итак, если h [n] {\ displaystyle h [n]}h [n] абсолютно суммируем, а | x [n] | {\ displaystyle \ left | x [n] \ right |}\ left | x [n] \ right | ограничен, тогда | y [n] | {\ displaystyle \ left | y [n] \ right |}\ left | y [n] \ right | ограничен как хорошо, потому что ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 < ∞. {\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}<\infty.}{\ displaystyle \ | x \ | _ {\ infty} \ | h \ | _ {1} <\ infty.}

Доказательство для непрерывного времени следует тем же аргументам.

Условие частотной области для линейных систем, не зависящих от времени

Сигналы непрерывного времени

Для рациональных и систем непрерывного времени, условием стабильности является то, что область сходимости (ROC) преобразования Лапласа включает в себя мнимую ось. Когда система причинно-следственная, ROC - это открытая область справа от вертикальной линии, чья абсцисса является действительной частью «самый большой полюс» или полюс, имеющий наибольшую действительную часть любого полюса в системе. Действительная часть наибольшего полюса, определяющая ROC, называется абсциссой схождения . Следовательно, все полюса системы должны находиться в строгой левой половине s-плоскости для устойчивости BIBO.

Это условие устойчивости может быть получено из указанного выше условия временной области следующим образом:

∫ - ∞ ∞ | h (t) | d t = ∫ - ∞ ∞ | h (t) | | e - j ω t | d t = ∫ - ∞ ∞ | h (t) (1 ⋅ e) - j ω t | d t = ∫ - ∞ ∞ | h (t) (e σ + j ω) - t | d t = ∫ - ∞ ∞ | h (t) e - s t | dt {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) \ right | \, dt = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) \ right | \ left | e ^ {- j \ omega t} \ right | \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h ( t) (1 \ cdot e) ^ {- j \ omega t} \ right | \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) (e ^ { \ sigma + j \ omega}) ^ {- t} \ right | \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) e ^ {- st} \ right | \, dt \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) \ right | \, dt = \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ left | h (t) \ right | \ left | e ^ {- j \ omega t} \ right | \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty } \ left | h (t) (1 \ cdot e) ^ {- j \ omega t} \ right | \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h ( t) (e ^ {\ sigma + j \ omega}) ^ {- t} \ right | \, dt \\ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ left | h (t) e ^ {- st} \ right | \, dt \ end {align}}}

где s = σ + j ω {\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}s = \ sigma + j \ omega и Re ⁡ ( s) = σ = 0. {\ displaystyle \ operatorname {Re} (s) = \ sigma = 0.}{\ displaystyle \ operatorname {Re} (s) = \ sigma = 0. }

Следовательно, область конвергенции должна включать мнимую ось.

Сигналы с дискретным временем

Для рациональной и системы с дискретным временем условием стабильности является то, что область конвергенции (ROC) z-преобразование включает в себя единичный круг. Когда система причинная, ROC - это открытая область вне круга, радиус которого равен величине полюса с наибольшей величиной. Следовательно, все полюса системы должны находиться внутри единичной окружности в z-плоскости для устойчивости BIBO.

Это условие устойчивости может быть получено аналогично выводу непрерывного времени:

∑ n = - ∞ ∞ | h [n] | = ∑ n = - ∞ ∞ | h [n] | | e - j ω n | = ∑ n = - ∞ ∞ | h [n] (1 ⋅ e) - j ω n | = ∑ n = - ∞ ∞ | h [n] (r e j ω) - n | = ∑ n = - ∞ ∞ | h [n] z - n | {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [n] \ right | = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } \ left | h [n] \ right | \ left | e ^ {- j \ omega n} \ right | \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [ n] (1 \ cdot e) ^ {- j \ omega n} \ right | \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [n] (re ^ {j \ omega}) ^ {- n} \ right | \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | h [n] z ^ {- n} \ right | \ end { выровнено}}}{\ begin {выровнено } \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left | h [n] \ right | = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left | h [n] \ right | \ left | e ^ {{- j \ omega n}} \ right | \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left | h [ n] (1 \ cdot e) ^ {{- j \ omega n}} \ right | \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left | h [n] ( re ^ {{j \ omega}}) ^ {{- n}} \ right | \\ = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {\ infty} \ left | h [n] z ^ {{-n} } \ right | \ end {align}}

где z = rej ω {\ displaystyle z = re ^ {j \ omega}}z = re ^ {{j \ omega}} и r = | z | = 1 {\ displaystyle r = | z | = 1}r = | z | = 1 .

Следовательно, область конвергенции должна включать единичный круг.

См. Также

Дополнительная литература

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-11 03:27:44
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте