Импульсная инвариантность

редактировать

Импульсная инвариантность - это метод разработки фильтров с дискретным временем бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) из фильтров непрерывного времени, в которых импульсный отклик системы непрерывного времени дискретизируется t o произвести импульсную характеристику системы с дискретным временем. Частотная характеристика системы с дискретным временем будет суммой сдвинутых копий частотной характеристики системы с непрерывным временем; если система с непрерывным временем приблизительно ограничена полосой частот до частоты ниже частоты Найквиста выборки, то частотная характеристика системы с дискретным временем будет приблизительно равна ей для частот ниже частоты Найквиста. частота.

Содержание

1 Обсуждение
- 1.1 Сравнение с билинейным преобразованием
- 1.2 Влияние на полюса в системной функции
- 1.3 Полюса и нули
- 1.4 Стабильность и причинно-следственная связь
- 1.5 Исправленная формула
2 См. Также
3 Ссылки
- 3.1 Другие источники
4 Внешние ссылки

Обсуждение

Импульсная характеристика системы непрерывного времени, $hc (t) {\ displaystyle h_ {c} (t)}$ ${\ displaystyle h_ {c} (t)}$ , производится выборка с периодом выборки $T {\ displaystyle T}$ $T$ для получения импульсной характеристики системы с дискретным временем, $h [n ] {\ displaystyle h [n]}$ $h [n]$ .

h [n] = T hc (n T) {\ displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT) \,}

{\ displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT) \, }

Таким образом, частотные характеристики две системы связаны соотношением

H (ej ω) = 1 T ∑ K = - ∞ ∞ H c (j ω T + j 2 π T k) {\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {H_ {c} \ left (j {\ frac {\ omega} {T}} + j {\ frac {2 {\ pi}} {T}} k \ right)} \,}

{\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {H_ {c} \ left (j {\ frac {\ omega} { T}} + j {\ frac {2 {\ pi}} {T}} k \ right)} \,}

Если непрерывный временной фильтр приблизительно ограничен полосой (т.е. $H c (j Ω) < δ {\displaystyle H_{c}(j\Omega)<\delta }$ ${\ displaystyle H_ {c} (j \ Omega) <\ delta}$ когда $| Ω | ≥ π / T {\ displaystyle | \ Omega | \ geq \ pi / T}$ ${\ displaystyle | \ Omega | \ geq \ pi / T}$ ), то частотная характеристика системы с дискретным временем будет приблизительно равна частотной характеристике системы с непрерывным временем для частот ниже π радиан на выборку. (ниже частоты Найквиста 1 / (2T) Гц):

H (ej ω) = H c (j ω / T) {\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = H_ {c} (j \ omega / T) \,}

{\ displaystyle H (e ^ {j \ omega}) = H_ {c} (j \ omega / T) \,}

для

| ω | ≤ π {\ displaystyle | \ omega | \ leq \ pi \,}

{\ displaystyle | \ omega | \ leq \ pi \,}

Сравнение с билинейным преобразованием

Обратите внимание, что наложение будет иметь место, в том числе наложение ниже частоты Найквиста до такой степени, что непрерывное время ответ фильтра отличен от нуля выше этой частоты. билинейное преобразование является альтернативой импульсной инвариантности, в которой используется другое отображение, которое отображает частотную характеристику системы непрерывного времени, вплоть до бесконечной частоты, в диапазон частот вплоть до частоты Найквиста в дискретном времени. случай, в отличие от отображения частот линейно с круговым перекрытием, как это делает импульсная инвариантность.

Влияние на полюса в системной функции

Если непрерывные полюса в $s = sk {\ displaystyle s = s_ {k}}$ ${\ displaystyle s = s_ {k}}$ , системная функция может быть записано в дробном расширении как

H c (s) = ∑ k = 1 NA ks - sk {\ displaystyle H_ {c} (s) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {A_ {k}} {s-s_ {k}}} \,}

{\ displaystyle H_ {c} (s) = \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {A_ {k}} {s -s_ {k}}} \,}

Таким образом, с использованием обратного преобразования Лапласа импульсная характеристика равна

hc (t) = {∑ k = 1 NA keskt, t ≥ 0 0, иначе {\ displaystyle h_ {c} (t) = {\ begin {cases} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} t}}, t \ geq 0 \\ 0, {\ t_dv {иначе}} \ end {cases}}}

{\ displaystyle h_ {c} (t) = {\ begin {cases} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} t }}, t \ geq 0 \\ 0, {\ t_dv {иначе}} \ end {cases}}}

Тогда импульсная характеристика соответствующей системы с дискретным временем определяется как

h [n] = T hc (N T) {\ displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT) \,}

{\ displaystyle h [n] = Th_ {c} (nT) \, }

h [n] = T ∑ k = 1 NA keskn T u [n] {\ displaystyle h [n] = T \ sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} nT} u [n]} \,}

{\ displaystyle h [n] = T \ sum _ {k = 1} ^ {N} {A_ {k} e ^ {s_ {k} nT} u [n]} \,}

Выполнение z-преобразования импульсной характеристики с дискретным временем производит следующую системную функцию с дискретным временем

H (z) = T ∑ k = 1 NA k 1 - esk T z - 1 {\ отображает tyle H (z) = T \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {A_ {k}} {1-e ^ {s_ {k} T} z ^ {- 1}}} \, }

{\ displaystyle H (z) = T \ sum _ {k = 1} ^ {N} { \ frac {A_ {k}} {1-e ^ {s_ {k} T} z ^ {- 1}}} \,}

Таким образом, полюса системной функции с непрерывным временем переводятся в полюса в точке z = e. Нули, если они есть, не так просто отображаются.

Полюса и нули

Если у системной функции есть нули, а также полюсы, они могут отображаться таким же образом, но результат больше не является результатом импульсной инвариантности: импульсная характеристика в дискретном времени не равна просто выборкам импульсной характеристики в непрерывном времени. Этот метод известен как метод согласованного Z-преобразования или отображение полюса-ноль.

Стабильность и причинность

Поскольку полюса в системе непрерывного времени при s = s k преобразуются в полюсы в системе дискретного времени при z = exp (s k T), полюса в левой половине s-плоскости отображаются внутри единичной окружности на z-плоскости; поэтому, если фильтр непрерывного времени является причинным и стабильным, то фильтр дискретного времени также будет причинным и стабильным.

Исправленная формула

Когда причинно-следственная импульсная характеристика в непрерывном времени имеет разрыв при $t = 0 {\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , приведенные выше выражения не соответствует. Это связано с тем, что $hc (0) {\ displaystyle h_ {c} (0)}$ ${\ displaystyle h_ {c} (0)}$ имеет разные правые и левые пределы и на самом деле должно вносить только их среднее значение, половину его правого значения $hc (0 +) {\ displaystyle h_ {c} (0 _ {+})}$ ${\ displaystyle h_ {c} (0 _ {+})}$ , to $h [0] {\ displaystyle h [0]}$ ${\ displaystyle h [0]}$ .