RC-цепь

редактировать

Электрическая цепь, состоящая из резисторов и конденсаторов

A цепь резистор-конденсатор (RC-цепь ), или RC-фильтр или RC-сеть, представляет собой электрическую цепь, состоящую из резисторов и конденсаторов. Он может управляться источником напряжения или тока, и они будут давать разные ответы. RC-цепь первого порядка состоит из одного резистора и одного конденсатора и представляет собой простейший тип RC-цепи.

RC-цепи могут использоваться для фильтрации сигнала путем блокировки определенных частот и пропускания других. Двумя наиболее распространенными RC-фильтрами являются фильтры высоких частот и фильтры низких частот ; полосовые фильтры и полосовые фильтры обычно требуют фильтров RLC, хотя грубые фильтры можно сделать с помощью RC-фильтров.

Содержание

1 Введение
2 Естественный отклик
3 Комплексное сопротивление
- 3.1 Синусоидальное установившееся состояние
4 Последовательная цепь
- 4.1 Передаточные функции
  - 4.1.1 Полюса и нули
- 4.2 Усиление и фаза
- 4.3 Ток
- 4.4 Импульсная характеристика
- 4.5 Соображения в частотной области
- 4.6 Соображения во временной области
  - 4.6.1 Интегратор
  - 4.6.2 Дифференциатор
5 Параллельная схема
6 Синтез
7 См. Также
8 Ссылки
9 Библиография

Введение

Существует три основных, линейных пассивных сосредоточенных компоненты аналоговой схемы : резистор (R), конденсатор (C) и катушка индуктивности (L). Они могут быть объединены в RC-цепи, RL-цепи, LC-цепи и RLC-цепи, причем акронимы указывают, какие компоненты используются. Эти схемы, среди них, демонстрируют большое количество важных типов поведения, которые являются фундаментальными для большей части аналоговой электроники. В частности, они могут действовать как пассивные фильтры. В этой статье рассматривается RC-цепь как в серии, так и в параллельной формах, как показано на схемах ниже.

Естественный отклик

RC-цепь

Простейшая RC-цепь состоит из резистора и заряженного конденсатора, соединенных друг с другом в один контур без внешнего источника напряжения. Как только цепь замыкается, конденсатор начинает разряжать накопленную энергию через резистор. Напряжение на конденсаторе, зависящее от времени, можно найти, используя закон Кирхгофа. Ток через резистор должен быть равен по величине (но противоположному по знаку) производной по времени накопленного заряда конденсатора. Это приводит к линейному дифференциальному уравнению

C d V dt + VR = 0, {\ displaystyle C {\ frac {dV} {dt}} + {\ frac {V} {R}} = 0 \,,}

{\ displaystyle C {\ frac {dV} {dt}} + {\ frac {V} {R}} = 0 \,,}

где C - емкость конденсатора.

Решение этого уравнения относительно V дает формулу для экспоненциального затухания :

V (t) = V 0 e - t RC, {\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ { - {\ frac {t} {RC}}} \,,}

{\ displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \,,}

где V 0 - напряжение конденсатора в момент времени t = 0.

Время, необходимое для напряжения падение до V 0 / e называется постоянной времени RC и выражается как

τ = RC. {\ displaystyle \ tau = RC \,.}

{\ displaystyle \ tau = RC \,.}

В этой формуле τ измеряется в секундах, R - в омах, а C - в фарадах.

Комплексный импеданс

Комплексный импеданс, Z C (в Ом ) конденсатора с емкостью C (в фарады ) равно

ZC = 1 s C {\ displaystyle Z_ {C} = {\ frac {1} {sC}}}

Z_C = \ frac {1} {sC}

комплексная частота s равна, в общем, a комплексное число,

s = σ + j ω, {\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega \,,}

{\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega \,,}

, где

j представляет мнимую единицу : j = −1,
σ - константа экспоненциального убывания (в неперсах в секунду), а
ω - синусоидальный угловая частота (в радианах в секунду ).

Устойчивое синусоидальное состояние

Устойчивое синусоидальное состояние - это особый случай, когда входное напряжение состоит из чистая синусоида (без экспоненциального затухания). В результате $σ = 0 {\ displaystyle \ sigma = 0}$ $\ sigma = 0$ , а сопротивление становится

ZC = - j ω C. {\ displaystyle Z_ {C} = - {\ frac {j} {\ omega C}} \,.}

{\ displaystyle Z_ {C} = - {\ frac {j} {\ omega C}} \,.}

Последовательная схема

Последовательная RC-цепь

При просмотре схемы как об. делителя, напряжение на конденсаторе составляет:

VC (s) = 1 C s R + 1 C s V in (s) = 1 1 + RC s V in (s) {\ Displaystyle V_ {C} (s) = {\ frac {\ frac {1} {Cs}} {R + {\ frac {1} {Cs}}}} V _ {\ mathrm {in}} (s) = {\ frac {1} {1 + RCs}} V _ {\ mathrm {in}} (s)}

{\ displaystyle V_ {C} (s) = {\ frac {\ frac {1} {Cs}} {R + {\ frac {1} {Cs }}}} V _ {\ mathrm {in}} (s) = {\ frac {1} {1 + RCs}} V _ {\ mathrm {in}} (s)}

и напряжение на резисторе:

VR (s) = RR + 1 C s V дюйм (с) = RC s 1 + RC s V дюйм (с). {\ Displaystyle V_ {R} (s) = {\ frac {R} {R + {\ frac {1} {Cs}}}} V _ {\ mathrm {in}} (s) = {\ frac {RCs} { 1 + RCs}} V _ {\ mathrm {in}} (s) \,.}

{\ displaystyle V_ {R} (s) = {\ frac {R} {R + {\ frac {1} {Cs}}}} V _ {\ mathrm {in}} (s) = {\ frac {RCs} {1 + RCs}} V _ {\ mathrm {in}} (s) \,.}

Передаточные функции

Передаточная функция от входного напряжения к напряжению на конденсаторе равно

HC (s) = VC (s) V in (s) = 1 1 + RC s. {\ Displaystyle H_ {C} (s) = {\ frac {V_ {C} (s)} {V _ {\ mathrm {in}} (s)}} = {\ frac {1} {1 + RCs}} \,.}

{\ displaystyle H_ {C} (s) = {\ frac {V_ {C} (s)} {V _ {\ mathrm {in}} (s)}} = {\ frac {1} {1 + RCs}} \,.}

Аналогично, передаточная функция от входа к напряжению на резисторе составляет

HR (s) = VR (s) V in (s) = RC s 1 + RC s. {\ Displaystyle H_ {R} (s) = {\ frac {V_ {R} (s)} {V _ {\ rm {in}} (s)}} = {\ frac {RCs} {1 + RCs}} \,.}

{\ displaystyle H_ {R} (s) = {\ frac {V_ {R} (s)} {V _ {\ rm {in}} (s)}} = {\ frac {RCs} {1 + RCs}} \,.}

Полюса и нули

Обе передаточные функции имеют один полюс, расположенный в

s = - 1 RC. {\ displaystyle s = - {\ frac {1} {RC}} \,.}

{\ displaystyle s = - {\ frac {1} {RC}} \,.}

Кроме того, передаточная функция для напряжения на резисторе имеет ноль, расположенный в origin.

Усиление и фаза

Величина усиления по двум компонентам равна

GC = | H C (j ω) | = | V C (j ω) V i n (j ω) | Знак равно 1 1 + (ω RC) 2 {\ displaystyle G_ {C} = {\ big |} H_ {C} (j \ omega) {\ big |} = \ left | {\ frac {V_ {C} (j \ omega)} {V _ {\ mathrm {in}} (j \ omega)}} \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ left (\ omega RC \ right) ^ {2}} }}}

{\ displaystyle G_ {C} = {\ big |} H_ {C} (j \ omega) {\ big |} = \ left | {\ frac {V_ {C} } (j \ omega)} {V _ {\ mathrm {in}} (j \ omega)}} \ right | = {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ left (\ omega RC \ right) ^ { 2}}}}}

GR = | H R (j ω) | = | V R (j ω) V i n (j ω) | знак равно ω RC 1 + (ω RC) 2, {\ displaystyle G_ {R} = {\ big |} H_ {R} (j \ omega) {\ big |} = \ left | {\ frac {V_ {R} (j \ omega)} {V _ {\ mathrm {in}} (j \ omega)}} \ right | = {\ frac {\ omega RC} {\ sqrt {1+ \ left (\ omega RC \ right) ^ {2}}}} \,,}

{\ displaystyle G_ {R} = {\ big |} H_ {R} (j \ omega) {\ big |} = \ left | {\ frac {V_ {R} (j \ omega)} {V _ {\ mathrm {in}} (j \ omega)}} \ right | = {\ frac {\ omega RC} {\ sqrt {1+ \ left (\ omega RC \ right) ^ {2}}}} \,,}

, а фазовые углы равны

ϕ C = ∠ HC (j ω) = tan - 1 ⁡ (- ω RC) {\ displaystyle \ phi _ {C} = \ angle H_ {C} (j \ omega) = \ tan ^ {- 1} \ left (- \ omega RC \ right)}

{\ displaystyle \ phi _ {C} = \ angle H_ {C} (j \ omega) = \ tan ^ {- 1} \ left (- \ omega RC \ right)}

ϕ R = ∠ HR (j ω) = tan - 1 ⁡ (1 ω RC). {\ displaystyle \ phi _ {R} = \ angle H_ {R} (j \ omega) = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {\ omega RC}} \ right) \,. }

{\ displaystyle \ phi _ {R} = \ angle H_ {R} (j \ omega) = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {\ omega RC}} \ right) \,.}

Эти выражения вместе могут быть заменены на обычное выражение для вектора, представляющего выходные данные:

VC = GCV inej ϕ CVR = GRV inej ϕ R. {\ displaystyle {\ begin {align} V_ {C} = G_ {C} V _ {\ mathrm {in}} e ^ {j \ phi _ {C}} \\ V_ {R} = G_ {R} V _ {\ mathrm {in}} e ^ {j \ phi _ {R}} \,. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {C} = G_ {C} V _ {\ mathrm {in}} e ^ {j \ phi _ {C}} \\ V_ {R} = G_ {R} V _ {\ mathrm {in}} e ^ {j \ phi _ {R}} \,. \ End {align}}}

Ток

Ток в цепи везде одинаковый, так как цепь включена последовательно:

I (s) = V in (s) R + 1 C s = C s 1 + RC s V in (s). {\ displaystyle I (s) = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}} (s)} {R + {\ frac {1} {Cs}}}} = {\ frac {Cs} {1 + RCs} } V _ {\ mathrm {in}} (s) \,.}

{\ displaystyle I (s) = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}} (s)} {R + {\ frac {1 } {Cs}}}} = {\ frac {Cs} {1 + RCs}} V _ {\ mathrm {in}} (s) \,.}

Импульсная характеристика

Импульсная характеристика для каждого напряжения является обратной преобразованием Лапласа соответствующей передаточной функции. Он представляет собой реакцию схемы на входное напряжение, состоящее из импульса или дельта-функции Дирака.

Импульсная характеристика для напряжения конденсатора

h C (t) = 1 RC e - t RC u ( t) знак равно 1 τ е - T τ U (t), {\ displaystyle h_ {C} (t) = {\ frac {1} {RC}} e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} u (t) = {\ frac {1} {\ tau}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} u (t) \,,}

{\ displaystyle h_ {C } (t) = {\ frac {1} {RC}} e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} u (t) = {\ frac {1} {\ tau}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} u (t) \,,}

где u (t) - ступенчатая функция Хевисайда и τ = RC - постоянная времени .

Аналогично, импульсная характеристика для напряжения резистора составляет

h R (t) = δ (t) - 1 RC e - T RC U (T) знак равно δ (T) - 1 τ е - T τ U (T), {\ displaystyle h_ {R} (t) = \ delta (t) - {\ frac {1} {RC} } e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} u (t) = \ delta (t) - {\ frac {1} {\ tau}} e ^ {- {\ frac {t} {\ tau}}} u (t) \,,}

{\ displaystyle h_ {R} (t) = \ delta (t) - {\ fra c {1} {RC}} e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} u (t) = \ delta (t) - {\ frac {1} {\ tau}} e ^ {- { \ гидроразрыва {t} {\ tau}}} и (t) \,,}

где δ (t) - дельта-функция Дирака

Соображения в частотной области

Это частотная область выражения. Их анализ покажет, какие частоты схемы (или фильтры) пропускают, а какие отклоняют. Этот анализ основан на рассмотрении того, что происходит с этим усилением, когда частота становится очень большой и очень маленькой.

При ω → ∞:

G C → 0 и G R → 1. {\ displaystyle G_ {C} \ to 0 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad G_ {R} \ to 1 \,.}

{\ displaystyle G_ {C} \ to 0 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad G_ {R} \ to 1 \,.}

При ω → 0:

GC → 1 и GR → 0. {\ displaystyle G_ {C} \ to 1 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad G_ {R} \ to 0 \,.}

{\ displaystyle G_ {C} \ to 1 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad G_ {R} \ к 0 \,.}

Это показывает, что, если выходной сигнал проходит через конденсатор, высокие частоты ослабляются (замыкаются на землю), а низкие частоты пропускаются. Таким образом, схема ведет себя как фильтр нижних частот . Однако, если выходной сигнал поступает через резистор, высокие частоты пропускаются, а низкие частоты ослабляются (поскольку конденсатор блокирует сигнал, когда его частота приближается к 0). В этой конфигурации схема ведет себя как фильтр верхних частот.

. Диапазон частот, который пропускает фильтр, называется его полосой пропускания. Точка, в которой фильтр ослабляет сигнал до половины его нефильтрованной мощности, называется его частотой среза. Для этого требуется, чтобы коэффициент усиления схемы был уменьшен до

GC = GR = 1 2 {\ displaystyle G_ {C} = G_ {R} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}

{\ displaystyle G_ {C} = G_ {R} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}}}

Решение вышеуказанного уравнения дает

ω c = 1 RC или fc = 1 2 π RC {\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {RC}} \ quad {\ t_dv {или}} \ quad f _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {2 \ pi RC}}}

{\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {RC}} \ quad {\ t_dv {или}} \ quad f _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {2 \ pi RC}}}

- частота, которую фильтр будет ослаблять до половины своей исходной мощности.

Очевидно, что фазы также зависят от частоты, хотя в целом этот эффект менее интересен, чем вариации усиления.

При ω → 0:

ϕ C → 0 и ϕ R → 90 ∘ = π 2 радиан. {\ displaystyle \ phi _ {C} \ to 0 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad \ phi _ {R} \ to 90 ^ {\ circ} = {\ frac {\ pi} {2}} { \ t_dv {радианы}} \,.}

{\ displaystyle \ phi _ { C} \ to 0 \ quad {\ t_dv {and}} \ quad \ phi _ {R} \ to 90 ^ {\ circ} = { \ гидроразрыва {\ пи} {2}} {\ t_dv {радианы}} \,.}

При ω → ∞:

ϕ C → - 90 ∘ = - π 2 радиана и ϕ R → 0. {\ displaystyle \ phi _ {C} \ to -90 ^ {\ circ} = - {\ frac {\ pi} {2}} {\ t_dv {radians}} \ quad {\ t_dv {and}} \ quad \ phi _ {R} \ to 0 \,.}

{\ displaystyle \ phi _ {C} \ to -90 ^ {\ circ} = - {\ frac {\ pi} {2}} { \ t_dv {радианы}} \ quad {\ t_dv {и}} \ quad \ phi _ {R} \ to 0 \,.}

Итак, при DC (0 Hz ) напряжение конденсатора находится в фазе с напряжением сигнала, в то время как напряжение резистора ведет это на 90 °. При увеличении частоты напряжение на конденсаторе запаздывает на 90 ° относительно сигнала, а напряжение на резисторе становится синфазным с сигналом.

Соображения во временной области

Этот раздел основан на знании e, натуральной логарифмической константы.

Самый простой способ вывести поведение во временной области - использовать преобразования Лапласа выражений для V C и V R, приведенных выше. Это эффективно преобразует jω → s. Предполагая, что входной шаг (т.е. V в = 0 перед t = 0, а затем V в = V после):

V in (s) = V 1 с VC (s) = V ⋅ 1 1 + s RC ⋅ 1 s VR (s) = V ⋅ s RC 1 + s RC ⋅ 1 с. {\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ mathrm {in}} (s) = V \ cdot {\ frac {1} {s}} \\ V_ {C} (s) = V \ cdot { \ frac {1} {1 + sRC}} \ cdot {\ frac {1} {s}} \\ V_ {R} (s) = V \ cdot {\ frac {sRC} {1 + sRC}} \ cdot {\ frac {1} {s}} \,. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V _ {\ mathrm {in}} (s) = V \ cdot {\ frac { 1} {s}} \\ V_ {C} (s) = V \ cdot {\ frac {1} {1 + sRC}} \ cdot {\ frac {1} {s}} \\ V_ {R} (s) = V \ cdot {\ frac {sRC} {1 + sRC}} \ cdot {\ frac {1} {s}} \,. \ end {align}}}

Отклик на скачок напряжения конденсатора.

Отклик на скачок напряжения на резисторе.

Частичные дроби разложения и обратное преобразование Лапласа дает:

VC (t) = V (1 - e - t RC) VR (t) = V e - t RC. {\ displaystyle {\ begin {align} V_ {C} (t) = V \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right) \\ V_ {R} (t) = Ve ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \,. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {C} (t) = V \ left (1-e ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \ right) \\ V_ {R} (t) = Ve ^ {- {\ frac {t} {RC}}} \,. \ end {align}}}

Эти уравнения предназначены для расчета напряжения на конденсаторе и резисторе соответственно, пока конденсатор зарядка ; для разряда уравнения обратные. Эти уравнения можно переписать в терминах заряда и тока, используя соотношения C = Q / V и V = IR (см. закон Ома ).

Таким образом, напряжение на конденсаторе с течением времени стремится к V, в то время как напряжение на резисторе стремится к 0, как показано на рисунках. Это соответствует интуитивному выводу, что конденсатор со временем будет заряжаться от напряжения питания и в конечном итоге будет полностью заряжен.

Эти уравнения показывают, что последовательная RC-цепь имеет постоянную времени , обычно обозначаемую τ = RC, которая является временем, за которое напряжение на компоненте либо повышается (на конденсаторе), либо падает. (через резистор) с точностью до 1 / е от его окончательного значения. То есть τ - это время, за которое V C достигает V (1 - 1 / e) и V R достигает V (1 / e).

Скорость изменения является дробной 1–1 / е на τ. Таким образом, при переходе от t = Nτ к t = (N + 1) τ напряжение переместится примерно на 63,2% пути от своего уровня в t = Nτ к своему конечному значению. Таким образом, конденсатор будет заряжен примерно до 63,2% после τ и практически полностью заряжен (99,3%) примерно через 5τ. Когда источник напряжения заменяется коротким замыканием при полностью заряженном конденсаторе, напряжение на конденсаторе экспоненциально падает с t от V до 0. Конденсатор разряжается примерно до 36,8% после τ и по существу полностью разряжается (0,7%) примерно через 5т. Обратите внимание, что ток I в цепи ведет себя так же, как напряжение на резисторе, в соответствии с законом Ома.

. Эти результаты также могут быть получены путем решения дифференциальных уравнений, описывающих схему:

V вход - VCR = C d VC dt VR = V вход - VC. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {V _ {\ mathrm {in}} -V_ {C}} {R}} = C {\ frac {dV_ {C}} {dt}} \\ V_ {R} = V _ {\ mathrm {in}} -V_ {C} \,. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {V _ {\ mathrm {in}} -V_ {C}} {R}} = C {\ frac {dV_ {C}} {dt}} \\ V_ {R} = V _ {\ mathrm {in} } -V_ {C} \,. \ End {align}}}

Первое уравнение решается с использованием интегрирующего множителя, а второго легко следует; решения точно такие же, как полученные с помощью преобразований Лапласа.

Интегратор

Рассмотрим выходной сигнал через конденсатор на высокой частоте, то есть

ω ≫ 1 R C. {\ displaystyle \ omega \ gg {\ frac {1} {RC}} \,.}

{\ displaystyle \ omega \ gg {\ frac {1} {RC}} \,.}

Это означает, что у конденсатора недостаточно времени для зарядки, поэтому его напряжение очень мало. Таким образом, входное напряжение приблизительно равно напряжению на резисторе. Чтобы увидеть это, рассмотрим выражение для $I {\ displaystyle I}$ $I$ , данное выше:

I = V in R + 1 j ω C, {\ displaystyle I = {\ frac {V_ {\ mathrm {in}}} {R + {\ frac {1} {j \ omega C}}}} \,,}

{\ displaystyle I = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {R + {\ frac {1} {j \ omega C}}}} \,,}

, но обратите внимание, что описанное частотное условие означает, что

ω C ≫ 1 R, {\ displaystyle \ omega C \ gg {\ frac {1} {R}} \,,}

{\ displaystyle \ омега C \ gg {\ frac {1} {R}} \,,}

поэтому

I ≈ V в R {\ displaystyle I \ приблизительно {\ frac {V _ {\ mathrm {in }}} {R}}}

{\ displaystyle I \ приблизительно {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {R}}}

что просто закон Ома.

Итак,

VC = 1 C ∫ 0 t I dt, {\ displaystyle V_ {C} = {\ frac {1 } {C}} \ int _ {0} ^ {t} I \, dt \,,}

{\ displaystyle V_ {C} = {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} I \, dt \,,}

поэтому

VC ≈ 1 RC ∫ 0 t V indt, {\ displaystyle V_ {C} \ приблизительно { \ frac {1} {RC}} \ int _ {0} ^ {t} V _ {\ mathrm {in}} \, dt \,,}

{\ displaystyle V_ {C} \ приблизительно {\ frac {1} {RC}} \ int _ {0} ^ {t} V_ { \ mathrm {in}} \, dt \,,}

который является интегратором через конденсатор.

Дифференциатор

Рассмотрим выходной сигнал через резистор на низкой частоте, т.е.

ω ≪ 1 R C. {\ displaystyle \ omega \ ll {\ frac {1} {RC}} \,.}

{\ displaystyle \ omega \ ll {\ frac {1} {RC}} \,.}

Это означает, что конденсатор успевает зарядиться до тех пор, пока его напряжение не станет почти равным напряжению источника. Рассматривая выражение для I снова, когда

R ≪ 1 ω C, {\ displaystyle R \ ll {\ frac {1} {\ omega C}} \,,}

{\ displaystyle R \ ll {\ frac {1} {\ омега C}} \,,}

, поэтому

I ≈ V in 1 j ω CV в ≈ I j ω C = VC. {\ displaystyle {\ begin {align} I \ приблизительно {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {\ frac {1} {j \ omega C}}} \\ V _ {\ mathrm {in}} \ приблизительно {\ frac {I} {j \ omega C}} = V_ {C} \,. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I \ ок. {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {\ frac {1} {j \ omega C}}} \\ V _ {\ mathrm {in}} \ приблизительно {\ frac {I} {j \ omega C}} = V_ {C} \,. \ End {align}}}

Теперь

VR = IR = C d VC dt RVR ≈ RC d V indt, {\ displaystyle {\ begin {align} V_ {R} = IR = C {\ frac {dV_ {C}} {dt}} R \\ V_ {R} \ приблизительно RC {\ frac {dV_ {in}} {dt}} \,, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ начало {выровнено} V_ {R} = IR = C {\ frac {dV_ {C}} {dt}} R \\ V_ {R} \ приблизительно RC {\ frac {dV_ {in}} {dt}} \,, \ конец {выровнено}}}

, который является дифференцирующим устройством на резисторе.

Более точное интегрирование и дифференцирование может быть достигнуто путем размещения соответствующих резисторов и конденсаторов на входе и обратной связи контура рабочего усилители (см. интегратор операционного усилителя и дифференциатор операционного усилителя ).

Параллельная цепь

Параллельная RC-цепь

Параллельная RC-цепь обычно менее интересна, чем последовательная цепь. Это в значительной степени связано с тем, что выходное напряжение V out равно входному напряжению V в - в результате эта схема не действует как фильтр входного сигнала, если только не подается источник тока.

С комплексным импедансом:

IR = V в RIC = j ω CV в дюймах. {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {R} = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {R}} \\ I_ {C} = j \ omega CV _ {\ mathrm {in} } \,. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {R} = {\ frac {V _ {\ mathrm {in} }} {R}} \\ I_ {C} = j \ omega CV _ {\ mathrm {in}} \,. \ end {align}}}

Это показывает, что ток конденсатора сдвинут по фазе на 90 ° по фазе с током резистора (и источника). В качестве альтернативы могут использоваться определяющие дифференциальные уравнения:

I R = V i n R I C = C d V i n d t. {\ displaystyle {\ begin {align} I_ {R} = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {R}} \\ I_ {C} = C {\ frac {dV _ {\ mathrm { in}}} {dt}} \,. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I_ {R} = {\ frac {V _ {\ mathrm {in}}} {R}} \\ I_ {C} = C {\ frac {dV _ {\ mathrm {in}}} {dt}} \,. \ end {align}}}

При питании от источника тока передаточная функция параллельной RC-цепи составляет:

V out I in = R 1 + s RC. {\ displaystyle {\ frac {V _ {\ mathrm {out}}} {I _ {\ mathrm {in}}}} = {\ frac {R} {1 + sRC}} \,.}

{\ displaystyle {\ frac {V _ {\ mathrm {out}}} {I _ {\ mathrm {in}}}} = {\ frac {R} {1 + sRC}} \,.}

Синтез

Иногда требуется синтезировать RC-схему из заданной рациональной функции в s. Для возможности синтеза в пассивных элементах функция должна быть положительно-действительной функцией. Для синтеза в виде RC-цепи все критические частоты (полюса и нули ) должны быть на отрицательной действительной оси и чередоваться между полюсами и нулями с равным количеством каждого из них. Кроме того, критическая частота, ближайшая к началу координат, должна быть полюсом, если предположить, что рациональная функция представляет собой импеданс, а не полную проводимость.

Синтез может быть осуществлен с помощью модификации синтеза Фостера или синтеза Кауэра, используемых для синтеза LC-схем. В случае синтеза Кауэра получится релейная схема из резисторов и конденсаторов.

См. Также

Ссылки

Библиография

Bakshi, UA; Бакши, А.В., Анализ схем - II, Технические публикации, 2009 г. ISBN 9788184315974.
Горовиц, Пол; Hill, Winfield, The Art of Electronics (3-е издание), Cambridge University Press, 2015 ISBN 0521809266.