гребенчатый фильтр

Фильтр обработки сигналов

В обработке сигналов, гребенчатый фильтр представляет собой фильтр, реализованный путем добавления версии с задержкой сигнала самому себе, вызывая конструктивную и деструктивную помеху. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из серии регулярно расположенных меток, что создает вид гребенки.

Содержание

• 1 Приложения
• 2 Реализация
  • 2.1. форма
    • 2.1.1 Частотная характеристика
    • 2.1.2 Импульсная характеристика
    • 2.1.3 Интерпретация полюса и нуля
  • 2.2 Форма обратной связи
    • 2.2.1 Частотная характеристика
    • 2.2.2 Импульсная характеристика
    • 2.2.3 Интерпретация полюса и нуля
  • 2.3 Гребенчатые фильтры непрерывного действия
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

Приложения

Расширенный гребенчатый фильтр PAL-II (APCF-II, Motorola MC141627FT)

Гребенчатые фильтры используются во множестве приложений обработки сигналов. К ним относятся:

• фильтры каскадного интегратора-гребенка (CIC), обычно используемые для сглаживания во время операций интерполяции и децимации, которые изменяют частота дискретизации системы с дискретным временем.
• двухмерные и трехмерные гребенчатые фильтры, реализованные аппаратно (а иногда и программно) для PAL и NTSC телевизионные декодеры. Фильтры работают для уменьшения артефактов, таких как сканирование точек.
• обработка аудиосигнала, включая задержку, фленджинг и синтез цифрового волновода. Например, если задержка установлена ​​на несколько миллисекунд, гребенчатый фильтр можно использовать для моделирования эффекта акустической стоячей волны в цилиндрической полости или в вибрирующей строка.
• В астрономии астро-гребенка обещает повысить точность существующих спектрографов почти в сто раз.

В акустике гребенчатая фильтрация может возникают нежелательными способами. Например, когда два громкоговорителя воспроизводят один и тот же сигнал на разных расстояниях от слушателя, на сигнал возникает эффект гребенчатой ​​фильтрации. В любом замкнутом пространстве слушатели слышат смесь прямого и отраженного звука. Поскольку отраженный звук проходит более длинный путь, он представляет собой задержанную версию прямого звука, и создается гребенчатый фильтр, в котором они объединяются в слушателе.

Реализация

гребенчатые фильтры существуют в двух разные формы, прямая связь и обратная связь ; имена относятся к направлению, в котором сигналы задерживаются перед добавлением на вход.

Гребенчатые фильтры могут быть реализованы в дискретном времени или непрерывном времени ; эта статья будет сосредоточена на реализациях с дискретным временем; Свойства гребенчатого фильтра непрерывного времени очень похожи.

Форма с прямой связью

Структура гребенчатого фильтра с прямой связью

Общая структура гребенчатого фильтра с прямой связью показана справа. Его можно описать следующим разностным уравнением :

$y\; [n]\; =\; x\; [n]\; +\; \alpha \; x\; [n\; -\; K]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; [n]\; =\; x\; [n]\; +\; \backslash \; alpha\; x\; [nK\; ]\}$

где $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$- длина задержки (измеряется в выборках), а α - коэффициент масштабирования, применяемый к задержанному сигналу. Если мы возьмем преобразование z обеих сторон уравнения, мы получим:

$Y\; (z)\; =\; (1\; +\; \alpha \; z\; -\; K)\; X\; (z)\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\; (z)\; =\; \backslash \; left\; (1+\; \backslash \; alpha\; z\; ^\; \{-\; K\}\; \backslash \; right)\; X\; (z)\}$

Мы определяем передаточную функцию как:

$H\; (z)\; =\; Y\; (z)\; X\; (Z)\; знак\; равно\; 1\; +\; \alpha \; Z\; -\; К\; знак\; равно\; Z\; К\; +\; \alpha \; Z\; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (z)\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{Y\; (z)\}\; \{X\; (z)\}\}\; =\; 1+\; \backslash \; альфа\; z\; ^\; \{-\; K\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{K\}\; +\; \backslash \; alpha\}\; \{z\; ^\; \{K\}\}\}\}$

Амплитудно-частотная характеристика

Амплитудно-частотная характеристика для различных положительных значений α и K = 1 Прямая связь отклик амплитуды для различных отрицательных значений α и K = 1

Чтобы получить частотную характеристику системы с дискретным временем, выраженную в z-области, мы делаем замену z = e. Следовательно, для нашего гребенчатого фильтра с прямой связью мы получаем:

$H\; (ej\; \Omega )\; =\; 1\; +\; \alpha \; e\; -\; j\; \Omega \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; Omega\; K\}\}$

Используя формулу Эйлера, мы находим, что частотная характеристика также определяется как

$H\; (ej\; \Omega )\; =\; [1\; +\; \alpha \; cos\; \; (\Omega \; К)]\; -\; J\; \alpha \; грех\; \; (\Omega \; К)\; \{\backslash \; Displaystyle\; Н\; \backslash \; влево\; (е\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; bigl\; [\}\; 1+\; \backslash \; альфа\; \backslash \; соз\; (\backslash \; Омега\; К)\; \{\backslash \; bigr]\; \}\; -j\; \backslash \; alpha\; \backslash \; sin\; (\backslash \; Omega\; K)\}$

Часто интерес представляет ответ величины, который игнорирует фазу. Это определяется как:

$|\; H\; (e\; j\; \Omega )\; |\; Знак\; равно\; \Re \; \{H\; (ej\; \Omega )\}\; 2\; +\; \Im \; \{H\; (ej\; \Omega )\}\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; Re\; \backslash \; left\; \backslash \; \{H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; Im\; \backslash \; left\; \backslash \; \{H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; \backslash \; \}\; ^\; \{2\}\}\}\}$

В случае гребенчатого фильтра с прямой связью это:

$|\; H\; (e\; j\; \Omega )\; |\; Знак\; равно\; (1\; +\; \alpha \; 2)\; +\; 2\; \alpha \; соз\; \; (\Omega \; К)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1+\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; K)\}\}\}$

Обратите внимание, что член (1 + α) является постоянным, тогда как член 2α cos (ΩK) изменяется периодически. Следовательно, амплитудная характеристика гребенчатого фильтра является периодической.

Графики справа показывают реакцию величины для различных значений α, демонстрируя эту периодичность. Некоторые важные свойства:

• Отклик периодически снижается до локального минимума (иногда известного как отметка) и периодически повышается до локального максимума (иногда называемого пиком).
• Для положительных значений α первый минимум возникает на половине периода задержки и после этого повторяется при четных кратных частотах задержки:

$f\; =\; 1\; 2\; K,\; 3\; 2\; K,\; 5\; 2\; K\; \cdots \; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2K\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2K\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{5\}\; \{2K\}\}\; \backslash \; cdots\}$.

• Уровни максимумов и минимумов всегда равноудалён от 1.
• Когда α = ± 1, минимумы имеют нулевую амплитуду. В этом случае минимумы иногда называют нулями.
• Максимумы для положительных значений α совпадают с минимумами для отрицательных значений $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, и наоборот.

Импульсная характеристика

Гребенчатый фильтр с прямой связью является одним из простейших фильтров с конечной импульсной характеристикой. Его реакция - это просто начальный импульс со вторым импульсом после задержки.

Интерпретация полюса – нуля

Еще раз посмотрим на передаточную функцию в z-области гребенчатого фильтра с прямой связью:

$H\; (z)\; =\; z\; K\; +\; \alpha \; z\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{K\}\; +\; \backslash \; alpha\}\; \{z\; ^\; \{K\}\}\}\}$

мы видим, что числитель равен нулю всякий раз, когда z = −α. Это имеет K решений, равномерно распределенных по кругу в комплексной плоскости ; это нули передаточной функции. Знаменатель равен нулю при z = 0, что дает K полюсов при z = 0. Это приводит к графику полюс – ноль, подобному показанному ниже.

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра с прямой связью с K = 8 и α = 0,5

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра с прямой связью с K = 8 и α = −0,5

Форма обратной связи

гребенчатый фильтр обратной связи структура

Аналогично, общая структура гребенчатого фильтра обратной связи показана справа. Его можно описать следующим разностным уравнением :

$y\; [n]\; =\; x\; [n]\; +\; \alpha \; y\; [n\; -\; K]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; [n]\; =\; x\; [n]\; +\; \backslash \; alpha\; y\; [nK\; ]\}$

Если мы изменим это уравнение так, чтобы все члены в $y\; \{\backslash \; displaystyle\; y\}$находились в левой части, а затем воспользуемся преобразованием z, мы получим:

$(1\; -\; \alpha \; Z\; -\; К)\; Y\; (Z)\; знак\; равно\; Икс\; (Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево\; (1-\; \backslash \; альфа\; Z\; ^\; \{-\; K\}\; \backslash \; вправо)\; Y\; (z)\; =\; X\; (z)\}$

Таким образом, передаточная функция имеет вид:

$H\; (z)\; =\; Y\; (z)\; X\; (z)\; =\; 1\; 1\; -\; \alpha \; z\; -\; K\; =\; z\; K\; z\; K\; -\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{Y\; (z)\}\; \{X\; (z)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \backslash \; alpha\; z\; ^\; \{-\; K\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{K\}\}\; \{z\; ^\; \{K\}\; -\; \backslash \; alpha\}\}\}$

Частотная характеристика

Отклик величины обратной связи для различных положительных значений α и K = 2 Отклик величины обратной связи для различных отрицательных значений α и K = 2

Если мы сделаем замену z = e в выражение z-области для гребенчатого фильтра обратной связи, мы получаем:

$H\; (ej\; \Omega )\; =\; 1\; 1\; -\; \alpha \; e\; -\; j\; \Omega \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; справа)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; j\; \backslash \; Omega\; K\}\}\}\}$

ответ величины выглядит следующим образом:

$|\; H\; (e\; j\; \Omega )\; |\; Знак\; равно\; 1\; (1\; +\; \alpha \; 2)\; -\; 2\; \alpha \; соз\; \; (\Omega \; К)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; |\; H\; \backslash \; left\; (e\; ^\; \{j\; \backslash \; Omega\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right\; |\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (1+\; \backslash \; alpha\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; -2\; \backslash \; alpha\; \backslash \; cos\; (\backslash \; Omega\; K)\}\}\}\}$

Опять же, ответ периодический, как показывают графики справа. Гребенчатый фильтр обратной связи имеет некоторые общие свойства с формой прямого распространения:

• Отклик периодически снижается до локального минимума и повышается до локального максимума.
• Максимумы для положительных значений α совпадают с минимумами для отрицательные значения $\alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\}$, и наоборот.
• Для положительных значений α первый максимум происходит на 0 и повторяется с четными кратными задержками частота после этого:

$f\; =\; 0,\; 1\; K,\; 2\; K,\; 3\; K\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; 0,\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{K\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{K\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{3\}\; \{K\}\}\; \backslash \; cdots\}$.

Однако есть и некоторые важные различия, потому что отклик величины имеет член в знаменателе :

• Уровни максимумов и минимумов больше не равноудалены от 1. Максимумы имеют амплитуду 1/1 - α.
• Фильтр стабилен, только если | α | строго меньше 1. Как видно из графиков, при | α | увеличивается, амплитуда максимумов растет все быстрее.

Импульсная характеристика

Гребенчатый фильтр обратной связи представляет собой простой тип фильтра с бесконечной импульсной характеристикой. Если он стабилен, ответ просто состоит из повторяющейся серии импульсов, амплитуда которых уменьшается с течением времени.

Интерпретация полюса и нуля

Еще раз посмотрим на передаточную функцию в z-области гребенчатого фильтра обратной связи:

$H\; (z)\; =\; z\; K\; z\; K\; -\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (\; z)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{z\; ^\; \{K\}\}\; \{z\; ^\; \{K\}\; -\; \backslash \; alpha\}\}\}$

На этот раз числитель равен нулю при z = 0, что дает K нулей при z = 0. Знаменатель равен нулю, если z = α. Это имеет K решений, равномерно распределенных по кругу в комплексной плоскости ; это полюса передаточной функции. Это приводит к графику «полюс – ноль», как показано ниже.

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра обратной связи с K = 8 и α = 0,5

График «полюс – ноль» гребенчатого фильтра обратной связи с K = 8 и α = −0,5

гребенчатые фильтры непрерывного времени

Гребенчатые фильтры также могут быть реализованы в непрерывном времени. Форма прямой связи может быть описана следующим уравнением:

$y\; (t)\; =\; x\; (t)\; +\; \alpha \; x\; (t\; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; x\; (t)\; +\; \backslash \; alpha\; x\; (t-\; \backslash \; tau)\}$

где τ - задержка (измеряется в секундах). Он имеет следующую передаточную функцию:

$H\; (s)\; =\; 1\; +\; \alpha \; e\; -\; s\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\; =\; 1\; +\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; s\; \backslash \; tau\}\}$

Форма прямой связи состоит из бесконечного числа нулей, расположенных вдоль оси jω.

Форма обратной связи имеет уравнение:

$y\; (t)\; =\; x\; (t)\; +\; \alpha \; y\; (t\; -\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (t)\; =\; x\; (t)\; +\; \backslash \; alpha\; y\; (\; t-\; \backslash \; tau)\}$

и следующей передаточной функцией:

$H\; (s)\; =\; 1\; 1\; -\; \alpha \; e\; -\; s\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{1-\; \backslash \; alpha\; e\; ^\; \{-\; s\; \backslash \; tau\}\}\}\}$

Форма обратной связи состоит из бесконечного числа полюсов, разнесенных по оси jω.

Реализации непрерывного времени разделяют все свойства соответствующих реализаций дискретного времени.

См. Также

• Интерферометр Фабри – Перо

Литература