Фильтр Гаусса

Форма импульсной характеристики типичного гауссовского фильтра

В электронике и обработка сигналов, гауссовский filter - это фильтр, импульсная характеристика которого является функцией Гаусса (или приближением к ней, поскольку истинный гауссовский отклик физически нереализуем, поскольку он имеет бесконечная поддержка). Гауссовские фильтры обладают свойствами отсутствия перерегулирования на вход ступенчатой ​​функции при минимальном времени нарастания и спада. Такое поведение тесно связано с тем, что фильтр Гаусса имеет минимально возможную групповую задержку . Он считается идеальным фильтром временной области, так же как sinc является идеальным фильтром частотной области. Эти свойства важны в таких областях, как осциллографы и цифровые телекоммуникационные системы.

Математически фильтр Гаусса изменяет входной сигнал на свертку с функцией Гаусса; это преобразование также известно как преобразование Вейерштрасса.

• 1 Определение
• 2 Цифровая реализация
• 3 Приложения
• 4 См. также
• 5 Ссылки

Одномерный фильтр Гаусса имеет импульсную характеристику, задаваемую

$g\; (x)\; =\; a\; \pi \; \cdot \; e\; -\; a\; \cdot \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{\; \backslash \; pi\}\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; a\; \backslash \; cdot\; x\; ^\; \{2\}\}\}$

, а частотная характеристика задается преобразованием Фурье

$g\; ^\; (f)\; =\; e\; -\; \pi \; 2\; f\; 2\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\; (f)\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; f\; ^\; \{2\}\}\; \{a\}\}\}\}$

с $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$обычная частота. Эти уравнения также могут быть выражены с помощью стандартного отклонения в качестве параметра

$g\; (x)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \cdot \; \sigma \; \cdot \; e\; -\; x\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\{\backslash \; sqrt\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

а частотная характеристика определяется выражением

$g\; ^\; (f)\; =\; e\; -\; f\; 2\; 2\; \sigma \; f\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\; (f)\; =\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{2\; \}\}\; \{2\; \backslash \; sigma\; \_\; \{f\}\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

Записав $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$как функцию от $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$с двумя уравнениями для $g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\}$и как функция от $\sigma \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{f\}\}$с двумя уравнениями для $g\; ^\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\; (f)\}$можно показать, что продукт стандартного отклонения и стандартного отклонения в частотной области определяется выражением

$\sigma \; \cdot \; \sigma \; f\; =\; 1\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sigma\; \_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \}\}\}$,

где стандартные отклонения выражены в их физических единицах, например в случае времени и частоты в секундах и герцах соответственно.

В двух измерениях это произведение двух таких гауссианов, по одному на направление:

$g\; (x,\; y)\; =\; 1\; 2\; \pi \; \sigma \; 2\; \cdot \; e\; -\; x\; 2\; +\; y\; 2\; 2\; \sigma \; 2\; \{\; \backslash \; displaystyle\; g\; (x,\; y)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\}\; \{\; 2\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\}\}\}\}$

где x - расстояние от начала координат по горизонтальной оси, y - расстояние от начала координат по вертикальной оси, а σ - стандартное отклонение гауссова распределения.

Функция Гаусса предназначена для $x\; \in \; (-\; \infty ,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; in\; (-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)\}$и теоретически потребует бесконечной длины окна. Однако, поскольку он быстро затухает, часто бывает разумно обрезать окно фильтра и реализовать фильтр непосредственно для узких окон, по сути, используя простую функцию прямоугольного окна. В других случаях усечение может привести к значительным ошибкам. Лучших результатов можно достичь, используя вместо этого другую функцию окна ; подробнее см. реализация масштабного пространства.

Фильтрация включает свертку. Функция фильтра называется ядром интегрального преобразования. Ядро Гаусса непрерывно. Чаще всего дискретным эквивалентом является дискретизированное ядро ​​Гаусса, которое создается точками дискретизации из непрерывного гауссовского ядра. Альтернативный метод - использовать дискретное гауссовское ядро ​​, которое имеет превосходные характеристики для некоторых целей. В отличие от дискретизированного ядра Гаусса, дискретное ядро ​​Гаусса является решением дискретного уравнения диффузии.

Поскольку преобразование Фурье функции Гаусса дает гауссову функцию, сигнал (предпочтительно после разделения в перекрывающиеся оконные блоки) можно преобразовать с помощью быстрого преобразования Фурье, умножить на функцию Гаусса и преобразовать обратно. Это стандартная процедура применения произвольного фильтра с конечной импульсной характеристикой с той лишь разницей, что преобразование Фурье окна фильтра известно явно.

В соответствии с центральной предельной теоремой, гауссиан может быть аппроксимирован несколькими запусками очень простого фильтра, такого как скользящее среднее. Простое скользящее среднее соответствует свертке с постоянным B-сплайном (прямоугольный импульс), и, например, четыре итерации скользящего среднего дают кубический B-сплайн в качестве фильтра. окно, которое довольно хорошо аппроксимирует гауссово.

В дискретном случае стандартные отклонения связаны соотношением

$\sigma \; \cdot \; \sigma \; f\; =\; N\; 2\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sigma\; \_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{N\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\}$

где стандартные отклонения выражены в количестве образцов, а N - общее количество образцов. Заимствуя термины из статистики, стандартное отклонение фильтра можно интерпретировать как меру его размера. Частота среза фильтра Гаусса может быть определена стандартным отклонением в частотной области, что дает

$fc\; =\; \sigma \; f\; =\; 1\; 2\; \pi \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{c\}\; =\; \backslash \; sigma\; \_\; \{f\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\}\}\}$

, где все величины выражены в своих физических единицах. Если $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$измеряется в выборках, частота среза (в физических единицах) может быть рассчитана с помощью

$fc\; =\; F\; s\; 2\; \pi \; \sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{\; c\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\_\; \{s\}\}\; \{2\; \backslash \; pi\; \backslash \; sigma\}\}\}$

где $F\; s\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{s\}\}$- частота дискретизации. Значение отклика фильтра Гаусса на этой частоте среза составляет exp (-0,5) ≈0,607.

Однако чаще всего определяют частоту среза как точку половинной мощности: где характеристика фильтра уменьшается до 0,5 (-3 дБ) в спектре мощности, или 1 / √2 ≈ 0,707 в амплитудном спектре (см., например, фильтр Баттерворта ). Для произвольного значения отсечки 1 / c для отклика фильтра частота отсечки определяется как

$fc\; =\; 2\; ln\; \; (c)\; \cdot \; \sigma \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{c\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\; 2\; \backslash \; ln\; (c)\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sigma\; \_\; \{f\}\}$

Для c = 2 константа перед стандартным отклонением в частотной области в последнем уравнении равна приблизительно 1,1774, что составляет половину полной ширины на половине Максимум (FWHM) (см. функцию Гаусса ). Для c = √2 эта константа приблизительно равна 0,8326. Эти значения довольно близки к 1.

Простое скользящее среднее соответствует равномерному распределению вероятностей и, следовательно, его ширине фильтра размером $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$имеет стандартное отклонение $(n\; 2\; -\; 1)\; /\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{(\{n\}\; ^\; \{2\}\; -1)\; /\; 12\}\}\}$. Таким образом, применение последовательных скользящих средних $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$с размерами $n\; 1,\dots ,\; nm\; \{\backslash \; displaystyle\; \{n\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; \{n\}\; \_\; \{m\}\}$дает стандартное отклонение

$\sigma \; =\; n\; 1\; 2\; +\; \cdots \; +\; нм\; 2\; -\; m\; 12\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\{n\}\; \_\; \{\; 1\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{n\}\; \_\; \{m\}\; ^\; \{2\}\; -m\}\; \{12\}\}\}\}$

(Обратите внимание, что стандартные отклонения не суммируются, но отклонения do.)

Гауссовское ядро ​​требует $6\; \sigma \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 6\; \{\backslash \; sigma\}\; -1\}$значений, например для $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\}\}$из 3 требуется ядро ​​длины 17. Фильтр скользящего среднего из 5 точек будет иметь сигму $2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{2\}\}\}$. Выполнение его трижды даст $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sigma\}\}$2,42. Еще неизвестно, в чем преимущество использования гауссовского, а не плохого приближения.

При применении в двух измерениях эта формула дает гауссову поверхность с максимумом в начале координат, контуры которой представляют собой концентрические окружности с началом координат в центре. Двумерная матрица свертывания предварительно вычисляется из формулы и свертывается с двумерными данными. Каждый элемент в результирующей матрице новое значение устанавливается равным средневзвешенному окрестности этого элемента. Фокальный элемент получает наибольший вес (имеющий наивысшее значение Гаусса), а соседние элементы получают меньший вес по мере увеличения их расстояния до фокального элемента. При обработке изображений каждый элемент в матрице представляет атрибут пикселя, такой как яркость или интенсивность цвета, и общий эффект называется Размытие по Гауссу.

Фильтр Гаусса не является причинным, что означает, что окно фильтра симметрично относительно происхождение во временной области. Это делает фильтр Гаусса физически нереализуемым. Обычно это не имеет значения для приложений, в которых полоса пропускания фильтра намного больше сигнала. В системах реального времени возникает задержка, потому что входящие отсчеты должны заполнить окно фильтра, прежде чем фильтр можно будет применить к сигналу. Хотя никакая задержка не может сделать теоретический фильтр Гаусса причинным (поскольку функция Гаусса везде не равна нулю), функция Гаусса сходится к нулю так быстро, что каузальное приближение может обеспечить любой требуемый допуск с небольшой задержкой, даже с точностью представления с плавающей запятой.

• GSM, поскольку он применяет GMSK модуляцию
• , фильтр Гаусса также используется в GFSK.
• Canny Детектор краев, используемый при обработке изображений.

• фильтр Баттерворта
• Гребенчатый фильтр
• фильтр Чебышева
• Дискретное ядро ​​Гаусса
• Эллиптический фильтр
• Размытие по Гауссу
• Гауссо Пирамида
• Масштаб
• Реализация масштабного пространства

1. ^Фильтрация во временной и частотной областях, Герман Дж. Блинчиков, Анатолий Зверев
2. ^http://www.radiomuseum.org/forumdata /users/4767/file/Tektronix_VerticalAmplifierCircuits_Part1.pdf
3. ^https://kh6htv.files.wordpress.com/2015/11/an-07a-risetime-filters.pdf
4. ^RA Хаддад и А. Акансу, "Класс быстрых гауссовских биномиальных фильтров для обработки речи и изображений ", "Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов", т. 39, pp 723-727, March 1991.
5. ^Шапиро, LG и Стокман, Г.К.: «Компьютерное зрение», стр. 137, 150. Prentence Hall, 2001
6. ^Марк С. Никсон и Альберто С., Агуадо. Извлечение функций и обработка изображений. Academic Press, 2008, стр. 88.
7. ^Линдеберг, Т., «Пространство шкалы для дискретных сигналов», PAMI (12), № 3, март 1990 г., стр. 234-254.