Оптическая передаточная функция

Функция, которая определяет, как различные пространственные частоты обрабатываются оптической системой Иллюстрация оптической передаточной функции (OTF) и его отношение к качеству изображения. Оптическая передаточная функция хорошо сфокусированной (а) и расфокусированной оптической системы визуализации без аберраций (г). Поскольку оптическая передаточная функция этих систем является действительной и неотрицательной, оптическая передаточная функция по определению равна передаточной функции модуляции (ФПМ). Изображения точечного источника и лучевой цели показаны на (b, e) и (c, f), соответственно. Обратите внимание, что масштаб точечных исходных изображений (b, e) в четыре раза меньше, чем целевых изображений со спицами.

оптическая передаточная функция (OTF ) оптической системы например, камера, микроскоп, человеческий глаз или проектор, определяют, как система обрабатывает различные пространственные частоты. Он используется инженерами-оптиками для описания того, как оптика проецирует свет от объекта или сцены на фотопленку, массив детекторов, retina, экран или просто следующий элемент в оптическом цепь передачи. Вариант, передаточная функция модуляции (MTF ), не учитывает фазовые эффекты, но во многих ситуациях эквивалентен OTF.

Либо передаточная функция определяет реакцию на периодический синусоидальный паттерн, проходящий через систему линз, в зависимости от его пространственной частоты или периода и его ориентации.. Формально OTF определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки (PSF, то есть импульсная характеристика оптики, изображение точечный источник). Как преобразование Фурье, OTF является комплексным; но он будет действительным в обычном случае PSF, симметричной относительно своего центра. MTF формально определяется как величина (абсолютное значение) сложной OTF.

На изображении справа показаны функции оптического переноса для двух разных оптических систем на панелях (a) и (d). Первый соответствует идеальной дифракционно ограниченной системе формирования изображения с круглым зрачком. Его передаточная функция приблизительно постепенно уменьшается с пространственной частотой до тех пор, пока не достигнет дифракционного предела , в данном случае при 500 циклах на миллиметр или периоде 2 мкм. Поскольку эта система формирования изображений фиксирует периодические особенности, такие как этот период, можно сказать, что ее разрешение составляет 2 мкм. Панель (d) показывает оптическую систему, которая не в фокусе. Это приводит к резкому снижению контрастности по сравнению с системой формирования изображений с дифракционным ограничением. Видно, что контраст равен нулю около 250 циклов / мм или периодов 4 мкм. Это объясняет, почему изображения для системы не в фокусе (e, f) более размыты, чем изображения для системы с дифракционным ограничением (b, c). Обратите внимание, что хотя расфокусированная система имеет очень низкий контраст на пространственных частотах около 250 циклов / мм, контраст на пространственных частотах около дифракционного предела 500 циклов / мм ограничен дифракцией. Внимательное рассмотрение изображения на панели (f) показывает, что структура спиц относительно резкая для больших плотностей спиц около центра мишени со спицами.

• 1 Определение и связанные концепции
• 2 Примеры
  • 2.1 OTF идеальной системы линз
  • 2.2 OTF несовершенной системы линз
  • 2.3 OTF оптической системы с не вращательной симметричной аберрацией
  • 2.4 Практический пример - видеосистема высокой четкости
• 3 Трехмерная оптическая передаточная функция
• 4 Расчет
  • 4.1 Пример
    • 4.1.1 Идеальная система линз с круглой апертурой
      • 4.1.1.1 Автокорреляция функции зрачка
  • 4.2 Числовая оценка
  • 4.3 Векторная передаточная функция
• 5 Измерение
  • 5.1 Начиная с функции рассеяния точки
  • 5.2 Использование расширенных тестовых объектов для пространственно-инвариантной оптики
    • 5.2.1 Функция рассеяния линии
    • 5.2.2 Функция распределения кромок
    • 5.2.3 Использование сетки из черных и белых линий
• 6 факторов, влияющих на MTF в типичной камере системы
  • 6.1 Передискретизация и понижающее преобразование для поддержания оптической передаточной функции
  • 6.2 Тенденция к широкоформатным зеркальным фотокамерам и улучшенный потенциал MTF
• 7 Цифровая инверсия оптической передаточной функции
• 8 Ограничения
• 9 См. также
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Поскольку оптическая передаточная функция (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки (PSF), она вообще говоря, комплексная функция от пространственной частоты. Проекция определенного периодического рисунка представлена ​​комплексным числом с абсолютным значением и комплексным аргументом, пропорциональным относительному контрасту и перемещению проецируемой проекции, соответственно.

Различные тесно связанные характеристики оптической системы, демонстрирующие кому, типичную аберрацию, которая возникает вне оси. (а) Функция рассеяния точки (PSF) - это изображение точечного источника. (b) Изображение линии называется функцией растяжения линии, в данном случае вертикальной линией. Функция растяжения линии прямо пропорциональна вертикальной интеграции растянутого изображения. Функция оптической передачи (OTF) определяется как преобразование Фурье функции рассеяния точки и, таким образом, обычно является двумерной комплексной функцией. Обычно показан только одномерный срез (c), соответствующий преобразованию Фурье функции линейного расширения. Толстая зеленая линия указывает действительную часть функции, а тонкая красная линия - мнимую часть. Часто отображается только абсолютное значение комплексной функции, это позволяет визуализировать двумерную функцию (d); однако чаще показана только одномерная функция (e). Последняя обычно нормализуется на нулевой пространственной частоте и называется передаточной функцией модуляции (ФПМ). Для полноты картины комплексный аргумент иногда предоставляется как функция передачи фазы (PhTF), показанная на панели (f).

Размеры	Пространственная функция	Преобразование Фурье
1D	Функция линейного расширения. (производная от функции расширения границ)	Одномерный участок двумерной оптической передаточной функции
2D	Функция рассеяния точки	(2D) Оптическая передаточная функция
3D	3D-функция разброса точки	3D-функция оптической передачи

Часто снижение контрастности представляет наибольший интерес и перевод шаблона можно игнорировать. Относительный контраст задается абсолютным значением оптической передаточной функции, функции, обычно называемой передаточной функцией модуляции (MTF ). Его значения показывают, какая часть контраста объекта зафиксирована на изображении как функция пространственной частоты. MTF имеет тенденцию к уменьшению с увеличением пространственной частоты от 1 до 0 (на дифракционном пределе); однако функция часто не является монотонной. С другой стороны, когда также важна трансляция шаблона, комплексный аргумент оптической передаточной функции может быть изображен как вторая действительная функция, обычно называемая фазовой передаточной функцией (PhTF ). Комплексную оптическую передаточную функцию можно рассматривать как комбинацию этих двух действительных функций:

$OTF\; (\nu )\; =\; MTF\; (\nu )\; ei\; P\; h\; TF\; (\nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{OTF\}\; (\backslash \; nu)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{MTF\}\; (\backslash \; nu)\; e\; ^\; \{i\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{PhTF\}\; (\backslash \; nu)\}\}$

где

$MTF\; (\nu )\; =\; |\; O\; T\; F\; (\nu )\; |,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{MTF\}\; (\backslash \; nu)\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; vert\; \backslash \; mathrm\; \{OTF\}\; (\backslash \; nu)\; \backslash \; right\; \backslash \; vert,\}$

$P\; h\; TF\; (\nu )\; =\; arg\; (OTF\; (\nu )),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{PhTF\}\; (\backslash \; nu)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{arg\}\; (\backslash \; mathrm\; \{OTF\}\; (\backslash \; nu)),\}$

и $arg\; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{arg\; \}\; (\backslash \; cdot)\}$представляет функцию комплексного аргумента, а $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$представляет собой пространственную частоту периодического шаблона. В общем, $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- это вектор с пространственной частотой для каждого измерения, то есть он также указывает направление периодического узора.

Импульсный отклик хорошо сфокусированной оптической системы представляет собой трехмерное распределение интенсивности с максимумом в фокальной плоскости и, таким образом, может быть измерено путем записи набора изображений при смещении детектора в осевом направлении. Следовательно, трехмерная оптическая передаточная функция может быть определена как трехмерное преобразование Фурье импульсной характеристики. Хотя обычно используется только одномерный, а иногда и двухмерный разрез, трехмерная оптическая передаточная функция может улучшить понимание микроскопов, таких как микроскоп со структурированным освещением.

Верно определению передаточной функции, $OTF\; (0)\; =\; MTF\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{OTF\}\; (0)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{MTF\}\; (\; 0)\}$должен указывать долю света, которая была обнаружена от объекта точечного источника. Однако, как правило, наиболее важен контраст по отношению к общему количеству обнаруженного света. Таким образом, общепринятой практикой является нормализация оптической передаточной функции на обнаруженную интенсивность, поэтому $MTF\; (0)\; \equiv \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathrm\; \{MTF\}\; (0)\; \backslash \; Equiv\; 1\}$.

Обычно оптическая передаточная функция зависит от таких факторов, как спектр и поляризация излучаемого света и положение точечного источника. Например. контраст и разрешение изображения обычно оптимальны в центре изображения и ухудшаются к краям поля зрения. Когда происходит значительное изменение, оптическая передаточная функция может быть рассчитана для набора репрезентативных положений или цветов.

Иногда более практично определять передаточные функции на основе двоичного рисунка черно-белых полос. Передаточная функция для черно-белого периодического узора равной ширины называется функцией передачи контраста (CTF) .

OTF идеальной системы линз

Идеальная система линз обеспечит высококонтрастную проекцию без смещения периодического рисунка, поэтому оптическая передаточная функция идентична передаточной функции модуляции. Обычно контраст будет постепенно уменьшаться до нуля в точке, определяемой разрешением оптики. Например, используемая совершенная неаберрированная, f / 4 система оптического изображения на длине волны видимого диапазона 500 нм будет иметь оптическую передаточную функцию, изображенную на рисунке справа..

Одномерная оптическая передаточная функция системы формирования изображения с дифракционным ограничением идентична ее передаточной функции модуляции. Спектральная цель, отображаемая системой формирования изображения с ограничением дифракции. Передаточная функция и пример изображения идеального оптического изображения -безаберрационная (ограниченная дифракцией) система формирования изображения.

Из графика видно, что контраст постепенно уменьшается и достигает нуля при пространственной частоте 500 циклов на миллиметр, другими словами, оптическое разрешение проекции изображения составляет 1/500 миллиметра или 2 микрометра. Соответственно, для этого конкретного устройства формирования изображения спицы становятся все более и более размытыми по направлению к центру, пока они не сливаются в серый неразрешенный диск. Обратите внимание, что иногда оптическая передаточная функция задается в единицах измерения объекта или пространства образца, угла наблюдения, ширины пленки или нормирована на теоретический максимум. Преобразование между ними обычно происходит путем умножения или деления. Например. микроскоп обычно увеличивает все в 10–100 раз, а зеркальная камера, как правило, уменьшает увеличение объектов на расстоянии 5 метров от 100 до 200 раз.

Разрешение цифрового устройства формирования изображений не только ограничено по оптике, но также по количеству пикселей, в частности по расстоянию между ними. Как поясняется в теореме выборки Найквиста – Шеннона, для соответствия оптическому разрешению в данном примере пиксели каждого цветового канала должны быть разделены на 1 микрометр, половину периода 500 циклов на миллиметр. Большее количество пикселей на датчике того же размера не позволит получить более мелкие детали. С другой стороны, когда расстояние между пикселями больше 1 микрометра, разрешение будет ограничено расстоянием между пикселями; кроме того, наложение может привести к дальнейшему снижению точности изображения.

OTF несовершенной системы линз

Несовершенная, аберрированная система формирования изображения может обладать оптической передаточной функцией, изображенной на следующем рисунке.

Реальная часть оптической передаточной функции аберрированной, несовершенной системы формирования изображения. Модуляционная передаточная функция аберрированной, несовершенной системы визуализации. Изображение спицы-мишени, полученное аберрированным оптическим Передаточная функция и пример изображения оптической системы формирования изображения f / 4 на 500 нм со сферической аберрацией со стандартным коэффициентом Цернике 0,25.

В идеальной системе линз контраст достигает нуля при пространственной частоте 500 циклов на миллиметр. Однако на более низких пространственных частотах контраст значительно ниже, чем у совершенной системы в предыдущем примере. Фактически, контраст становится равным нулю в нескольких случаях даже для пространственных частот ниже 500 циклов на миллиметр. Это объясняет серые круглые полосы на изображении спиц, показанном на приведенном выше рисунке. Между серыми полосами спицы, кажется, меняют цвет с черного на белый и наоборот, это называется инверсией контраста, напрямую связано с изменением знака в реальной части оптической передаточной функции и представляет собой сдвиг на полпериода для некоторых периодических моделей.

Хотя можно утверждать, что разрешение как идеальной, так и несовершенной системы составляет 2 мкм, или 500 LP / мм, очевидно, что изображения в последнем примере менее резкие. Определение разрешения, которое больше соответствует воспринимаемому качеству, вместо этого будет использовать пространственную частоту, на которой происходит первый ноль, 10 мкм или 100 LP / мм. Определения разрешения даже для идеальных систем визуализации сильно различаются. Более полную однозначную картину дает оптическая передаточная функция.

OTF оптической системы с не вращательной симметричной аберрацией

При просмотре через оптическую систему с трилистической аберрацией изображение точечного объекта будет выглядеть как трехконечная звезда (a). Поскольку функция рассеяния точки не является вращательно-симметричной, только двумерная оптическая передаточная функция может хорошо ее описать (b). Высота графика поверхности указывает абсолютное значение, а оттенок указывает сложный аргумент функции. Спица-мишень, отображаемая таким устройством формирования изображения, показана при моделировании в (c).

Оптические системы, и в частности оптические аберрации, не всегда осесимметричны. Таким образом, периодические узоры с разной ориентацией могут отображаться с разным контрастом, даже если их периодичность одинакова. Таким образом, оптическая передаточная функция или передаточные функции модуляции являются двумерными функциями. На следующих рисунках показан двумерный эквивалент идеальной и несовершенной систем, обсужденных ранее, для оптической системы с трилистником, неосимметричной аберрацией.

Функции оптической передачи не всегда имеют действительное значение. Шаблоны периода могут быть сдвинуты на любую величину, в зависимости от аберрации в системе. Обычно это происходит с неосимметричными аберрациями. Оттенок цветов участков поверхности на рисунке выше указывает фазу. Можно видеть, что в то время как для вращательно-симметричных аберраций фаза равна 0 или π и, таким образом, передаточная функция является действительной, для не вращательно-симметричной аберрации передаточная функция имеет мнимую составляющую, и фаза изменяется непрерывно.

Практический пример - видеосистема высокой четкости

Хотя оптическое разрешение, обычно используемое в отношении систем камер, описывает только количество пикселей в изображении, и следовательно, возможность показать мелкие детали, передаточная функция описывает способность соседних пикселей изменяться с черного на белый в ответ на шаблоны с изменяющейся пространственной частотой и, следовательно, фактическую способность отображать мелкие детали, будь то с полным или пониженным контрастом. Изображение, воспроизводимое с помощью функции оптической передачи, которая «скатывается» на высоких пространственных частотах, будет казаться «размытым» на повседневном языке.

На примере современной видеосистемы высокой четкости (HD) с разрешением 1920 на 1080 пикселей, теорема Найквиста утверждает, что в идеальной системе должно быть возможно полностью разрешить (с истинными переходами от черного к белому) в общей сложности объединено 1920 черных и белых чередующихся линий, иначе называемых пространственной частотой 1920/2 = 960 пар строк на ширину изображения или 960 циклов на ширину изображения (определения в терминах также возможны циклы на единицу угла или на мм, но обычно они менее четкие при работе с камерами и более подходят для телескопов и т. д.). На практике это далеко не так, и пространственные частоты, приближающиеся к частоте Найквиста, обычно будут воспроизводиться с уменьшающейся амплитудой, так что мелкие детали, хотя их можно увидеть, значительно уменьшаются по контрасту. Это приводит к интересному наблюдению, что, например, телевизионное изображение стандартной четкости, полученное с пленочного сканера, который использует передискретизацию, как описано ниже, может выглядеть резче, чем изображение высокой четкости, снятое камерой с плохая передаточная функция модуляции. Эти два изображения демонстрируют интересную разницу, которую часто упускают из виду: первая имеет полный контраст деталей до определенного момента, но затем не имеет действительно мелких деталей, в то время как вторая действительно содержит более мелкие детали, но с таким уменьшенным контрастом, что в целом выглядит хуже.

Трехмерная функция рассеяния точки (a, c) и соответствующие функции передачи модуляции (b, d) широкоугольного микроскопа (a, b) и конфокальный микроскоп (в, г). В обоих случаях числовая апертура объектива составляет 1,49, а показатель преломления среды 1,52. Предполагается, что длина волны излучаемого света составляет 600 нм, а в случае конфокального микроскопа длина волны возбуждающего света составляет 500 нм с круговой поляризацией. Раздел вырезается для визуализации внутреннего распределения интенсивности. Цвета, показанные на логарифмической цветовой шкале, указывают на освещенность (a, c) и спектральную плотность (b, d), нормированные на максимальное значение.

Хотя обычно изображение рассматривается как плоское или двухмерное, Система визуализации создаст трехмерное распределение интенсивности в пространстве изображения, которое в принципе можно измерить. например Двумерный датчик можно преобразовать в трехмерное распределение интенсивности. Изображение точечного источника также представляет собой трехмерное (3D) распределение интенсивности, которое может быть представлено функцией трехмерного рассеяния точки. В качестве примера на рисунке справа показана трехмерная функция рассеяния точки в пространстве объекта широкоугольного микроскопа (а) наряду с функцией конфокального микроскопа (с). Хотя используется тот же объектив микроскопа с числовой апертурой 1,49, ясно, что функция рассеяния конфокальной точки более компактна как по боковым размерам (x, y), так и по осевым размерам (z). Можно было бы справедливо заключить, что разрешение конфокального микроскопа превосходит разрешение широкоугольного микроскопа во всех трех измерениях.

Трехмерная оптическая передаточная функция может быть вычислена как трехмерное преобразование Фурье трехмерной функции рассеяния точки. Его величина с цветовой кодировкой показана на панелях (b) и (d), что соответствует функциям распределения точки, показанным на панелях (a) и (c), соответственно. Передаточная функция широкопольного микроскопа имеет опору , которая вдвое меньше, чем у конфокального микроскопа во всех трех измерениях, что подтверждает ранее отмеченное более низкое разрешение широкопольного микроскопа. Обратите внимание, что по оси z для x = y = 0 передаточная функция равна нулю везде, кроме начала координат. Отсутствие конуса - хорошо известная проблема, препятствующая созданию оптических срезов при использовании широкопольного микроскопа.

Двумерная оптическая передаточная функция в фокальной плоскости может быть вычислена путем интегрирования трехмерной оптической передаточной функции вдоль ось z. Хотя трехмерная передаточная функция широкоугольного микроскопа (b) равна нулю по оси z для z 0; ее интеграл, двумерная оптическая передача, достигает максимума при x = y = 0. Это возможно только потому, что трехмерная оптическая передаточная функция расходится в начале координат x = y = z = 0. Значения функции вдоль оси z оси Трехмерная оптическая передаточная функция соответствует дельта-функции Дирака.

Большинство программ оптического проектирования имеет функции для вычисления оптической передаточной функции или функции передачи модуляции конструкции линзы. Идеальные системы, такие как в примерах здесь, легко вычисляются численно с использованием программного обеспечения, такого как Julia, GNU Octave или Matlab, а в некоторых конкретных случаях даже аналитически. Оптическая передаточная функция может быть вычислена с помощью двух подходов:

1. как преобразование Фурье некогерентной функции рассеяния точки или
2. как автокорреляция функции зрачка оптической системы

Математически оба подхода эквивалентны. Числовые вычисления обычно наиболее эффективно выполняются с помощью преобразования Фурье; тем не менее, аналитический расчет может быть более управляемым с использованием подхода автокорреляции.

Пример

Идеальная система линз с круговой апертурой

Автокорреляция функции зрачка

Поскольку оптическая передаточная функция - это преобразование Фурье функции рассеяния точки, а функция рассеяния точки представляет собой абсолютный квадрат функции зрачка с обратным преобразованием Фурье, оптическая передаточная функция также может быть вычислена непосредственно из функция зрачка. Из теоремы свертки можно видеть, что оптическая передаточная функция фактически является автокорреляцией функции зрачка.

Функция зрачка идеальной оптической системы с Круглая апертура представляет собой диск единичного радиуса. Таким образом, оптическую передаточную функцию такой системы можно вычислить геометрически по площади пересечения двух идентичных дисков на расстоянии $2\; \nu \; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; nu\}$, где $\nu \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$- пространственная частота, нормализованная по самой высокой передаваемой частоте. Обычно оптическая передаточная функция нормализуется до максимального значения, равного единице для $\nu \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\; =\; 0\}$, поэтому результирующую площадь следует разделить на $\pi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\}$.

Площадь пересечения можно вычислить как сумму площадей двух одинаковых круговых сегментов : $\theta \; /\; 2\; -\; sin\; \; (\theta )\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; /\; 2-\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; /\; 2\}$, где $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$- угол сегмента круга. Подставляя $|\; \nu \; |\; =\; соз\; \; (\theta \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; nu\; |\; =\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\}$и используя равенства $sin\; \; (\theta )\; /\; 2\; =\; sin\; \; (\; \theta \; /\; 2)\; соз\; \; (\theta \; /\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta)\; /\; 2\; =\; \backslash \; sin\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\; \backslash \; cos\; (\backslash \; theta\; /\; 2)\}$и $1\; знак\; равно\; \nu \; 2\; +\; грех\; \; (arccos\; \; (|\; \nu \; |))\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; =\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; (\backslash \; arccos\; (|\; \backslash \; nu\; |))\; ^\; \{2\}\}$, уравнение для площади можно переписать как $arccos\; \; (|\; \nu \; |)\; -\; |\; \nu \; |\; 1\; -\; \nu \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; arccos\; (|\; \backslash \; nu\; |)\; -\; |\; \backslash \; nu\; |\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\}\}\}$. Следовательно, нормализованная оптическая передаточная функция определяется как:

$OTF\; \; (\nu )\; =\; 2\; \pi \; (arccos\; \; (|\; \nu \; |)\; -\; |\; \nu \; |\; 1\; -\; \nu \; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{OTF\}\; (\backslash \; nu)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; arccos\; (|\; \backslash \; nu\; |)\; -\; |\; \backslash \; nu\; |\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{\; 2\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Более подробное обсуждение можно найти в и.

Численная оценка

Одномерная оптическая передаточная функция может быть рассчитана как дискретное преобразование Фурье функции рассеяния линии. Эти данные графически сопоставлены с данными пространственной частоты. В этом случае полином шестого порядка подбирается к кривой MTF в зависимости от пространственной частоты, чтобы показать тенденцию. Частота среза 50% определяется для получения соответствующей пространственной частоты. Таким образом, приблизительное положение наилучшего фокуса тестируемого блока определяется из этих данных.

Данные MTF в зависимости от пространственной частоты нормализованы путем подгонки к ним полинома шестого порядка, создавая плавную кривую. Определяется 50% частота среза и определяется соответствующая пространственная частота, что дает приблизительное положение лучший фокус .

Преобразование Фурье функции рассеяния линии (LSF) не может быть определяется аналитически по следующим уравнениям:

$MTF\; =\; F\; [LSF]\; MTF\; =\; \int \; f\; (x)\; e\; -\; i\; 2\; \pi \; xsdx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{MTF\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; operatorname\; \{LSF\}\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; operatorname\; \{MTF\}\; =\; \backslash \; int\; f\; (x)\; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; xs\}\; \backslash ,\; dx\}$

Следовательно, преобразование Фурье численно аппроксимируется с использованием дискретное преобразование Фурье $DFT\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{DFT\}\}\}$.

$MTF\; =\; DFT\; [LSF]\; =\; Y\; k\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; N\; -\; 1\; yne\; -\; ik\; 2\; \pi \; N\; nk\; \in \; [0,\; N\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{MTF\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{DFT\}\}\; [\backslash \; operatorname\; \{LSF\}]\; =\; Y\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; y\_\; \{n\}\; e\; ^\; \{-\; ik\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\}\; n\}\; \backslash \; qquad\; k\; \backslash \; in\; [0,\; N-1]\}$

где

• $Y\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; Y\_\; \{k\}\; \backslash ,\; \}$= $k\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$значение MTF
• $N\; \{\backslash \; display\; стиль\; N\; \backslash ,\}$= количество точек данных
• $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash ,\}$= index
• $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; \backslash ,\}$= $k\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\}$член данных LSF
• $yn\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{n\}\; \backslash ,\}$= $n\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; ^\; \{\; \backslash \; text\; \{th\}\}\; \backslash ,\}$позиция в пикселях
• $i\; =\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{-1\}\}\}$

$e\; \pm \; ia\; =\; cos\; \; (a)\; \pm \; я\; грех\; \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; e\; ^\; \{\backslash \; pm\; ia\}\; =\; \backslash \; cos\; (a)\; \backslash ,\; \backslash \; pm\; \backslash ,\; i\; \backslash \; sin\; (a)\}$

$MTF\; =\; DFT\; [LSF]\; =\; Y\; k\; =\; \sum \; n\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; yn\; [соз\; \; (к\; 2\; \pi \; N\; n)\; -\; я\; грех\; \; (k\; 2\; \pi \; N\; n)]\; k\; \in \; [0,\; N\; -\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{MTF\}\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{DFT\}\}\; [\backslash \; operatorname\; \{LSF\}]\; =\; Y\_\; \{k\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{N-1\}\; y\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (k\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\}\; n\; \backslash \; right)\; -i\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (k\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; pi\}\; \{N\}\}\; n\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; \backslash \; qquad\; k\; \backslash \; in\; [0,\; N-1]\}$

Затем MTF строится в зависимости от пространственной частоты, и все соответствующие данные, относящиеся к этому тесту, могут быть определены по этому графику.

Векторная передаточная функция

При высоких числовых апертурах, например, в микроскопии, важно учитывать векторную природу полей, переносящих свет. Разложив волны на три независимых компонента, соответствующих декартовым осям, можно вычислить функцию рассеяния точки для каждого компонента и объединить ее в векторную функцию рассеяния точки. Точно так же можно определить векторную оптическую передаточную функцию, как показано на () и ().

Оптическая передаточная функция не только полезна для проектирования оптических систем, но также полезна для характеристики производимых систем.

Исходя из функции рассеяния точки

Оптическая передаточная функция определяется как преобразование Фурье импульсной характеристики оптической системы, а также вызвал функцию рассеяния точки. Таким образом, оптическую передаточную функцию легко получить, сначала получая изображение точечного источника, и применяя двумерное дискретное преобразование Фурье к дискретизированному изображению. Таким точечным источником может быть, например, яркий свет за экраном с точечным отверстием, флуоресцентная или металлическая микросфера или просто точка, нарисованная на экране. Расчет оптической передаточной функции с помощью функции рассеяния точки является универсальным, поскольку он может полностью охарактеризовать оптику с пространственными изменяющимися и хроматическими аберрациями, повторяя процедуру для различных положений и спектров длин волн точечного источника.

Использование расширенных тестовых объектов для пространственно-инвариантной оптики

Когда можно предположить, что аберрации являются пространственно-инвариантными, можно использовать альтернативные шаблоны для определения оптической передаточной функции, например линий и краев. Соответствующие передаточные функции называются функцией расширения строки и функцией расширения границы соответственно. Такие протяженные объекты освещают большее количество пикселей изображения и могут повысить точность измерения за счет большего отношения сигнал / шум. Оптическая передаточная функция в этом случае вычисляется как двумерное дискретное преобразование Фурье изображения и делится на изображение расширенного объекта. Обычно используется либо линия, либо черно-белый край.

Функция расширения линии

Двумерное преобразование Фурье линии, проходящей через начало координат, является линией, ортогональной ей и проходящей через начало координат. Таким образом, делитель равен нулю для всех измерений, кроме одного, следовательно, оптическая передаточная функция может быть определена только для одного измерения с использованием одной функции линейного рассеяния (LSF). При необходимости двумерная оптическая передаточная функция может быть определена путем повторения измерения с линиями под разными углами.

Функцию линейного расширения можно найти двумя разными способами. Его можно найти непосредственно из аппроксимации идеальной линии, полученной с помощью щелевой тестовой мишени, или можно получить из функции краевого рассеяния, обсуждаемой в следующем подразделе.

Функция расширения края

Двумерное преобразование Фурье края также не равно нулю только на одной линии, ортогональной краю. Эту функцию иногда называют функцией расширения края (ESF). Однако значения в этой строке обратно пропорциональны расстоянию от начала координат. Хотя изображения измерений, полученные с помощью этого метода, освещают большую часть камеры, это в основном улучшает точность на низких пространственных частотах. Как и в случае функции рассеяния линии, каждое измерение определяет только одну ось оптической передаточной функции, поэтому необходимы повторные измерения, если оптическая система не может считаться осесимметричной.

При оценке ESF оператор определяет область прямоугольника, эквивалентную 10% общей площади кадра остроугольной тестовой мишени, подсвеченной сзади черное тело . Область определяется так, чтобы охватить край целевого изображения.

Как показано на правом рисунке, оператор определяет область прямоугольника, охватывающую край остроконечной тестовой мишени с задней подсветкой чёрным телом. Площадь прямоугольника составляет примерно 10% от общей площади кадра. Данные изображения пиксель преобразуются в двумерный массив (пиксель интенсивность и положение пикселя). Амплитуда (интенсивность пикселей) каждой строки в массиве нормализована и усреднена. Это дает функцию расширения края.

$ESF\; =\; Икс\; -\; \mu \; \sigma \; \sigma \; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 0\; N\; -\; 1\; (xi\; -\; \mu )\; 2\; n\; \mu \; =\; \sum \; я\; =\; 0\; n\; -\; 1\; xin\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ESF\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{X-\; \backslash \; mu\}\; \{\backslash \; sigma\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; (x\_\; \{i\}\; -\; \backslash \; mu\; \backslash ,)\; ^\; \{2\}\}\; \{n\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mu\; \backslash ,\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n-1\}\; x\_\; \{i\}\}\; \{n\}\}\}$

где

• ESF = выходной массив нормализованных данных интенсивности пикселей
• $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash ,\}$= входной массив данных интенсивности пикселей
• $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\}$= элемент i из $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \backslash ,\}$
• $\mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \backslash ,\}$= среднее значение интенсивности пикселей данные
• $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \backslash ,\}$= стандартное отклонение данных интенсивности пикселей
• $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash ,\}$= количество используемых пикселей в среднем

Функция линейного расширения идентична первой производной функции краевого расширения, которая дифференцируется с использованием численных методов. В случае, если более практично измерить функцию размытия края, можно определить функцию размытия линии следующим образом:

$LSF\; =\; ddx\; ESF\; \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{LSF\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\; dx\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{ESF\}\; (x)\}$

Обычно ESF известен только в дискретных точках, поэтому LSF численно аппроксимируется с использованием конечной разности :

$LSF\; =\; ddx\; ESF\; \; (x)\; \approx \; \Delta \; ESF\; \Delta \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{LSF\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{ESF\}\; (x)\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; \backslash \; operatorname\; \{ESF\}\}\; \{\backslash \; Delta\; x\}\; \}\}$

$LSF\; \approx \; ESF\; i\; +\; 1\; -\; ESF\; i\; -\; 1\; 2\; (xi\; +\; 1\; -\; xi)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{LSF\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; operatorname\; \{ESF\}\; \_\; \{i\; +\; 1\}\; -\; \backslash \; operatorname\; \{ESF\}\; \_\; \{i-1\}\}\; \{2\; (x\_\; \{i\; +\; 1\}\; -x\_\; \{i\})\}\}\}$

где:

• $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; \backslash ,\}$= индекс $i\; =\; 1,\; 2,\dots ,\; n\; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; =\; 1,2,\; \backslash \; dots,\; n-1\}$
• $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\; \backslash ,\}$= $i\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\; \backslash ,\}$позиция $i\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\; \backslash ,\}$пиксель
• $ESF\; i\; \{\backslash \; display\; style\; \backslash \; operatorname\; \{ESF\}\; \_\; \{i\}\; \backslash ,\}$= ESF для $i\; th\; \{\backslash \; displaystyle\; i\; ^\; \{\backslash \; text\; \{th\}\}\; \backslash ,\}$пиксель

Использование сетки из черных и белых линий

Хотя «резкость» часто оценивается по образцам сетки из чередующихся черных и белых линий, ее следует строго измерять с использованием синусоидального изменения от черного к белому ( размытый вариант обычного узора). При использовании прямоугольной волны (простые черные и белые линии) не только повышается риск появления наложения спектров, но и необходимо учитывать тот факт, что основная составляющая прямоугольной волны выше, чем амплитуда самой прямоугольной волны ( гармонические составляющие уменьшают пиковую амплитуду). Таким образом, тестовая диаграмма с прямоугольной волной будет показывать оптимистичные результаты (лучшее разрешение высоких пространственных частот, чем фактически достигается). Результат прямоугольной волны иногда называют «функцией передачи контраста» (CTF).

На практике многие факторы приводят к значительному размытию воспроизводимого изображения, так что шаблоны с пространственной частотой чуть ниже частоты Найквиста могут быть даже не видны, а тончайшие узоры могут казаться «размытыми» в виде оттенков серого, а не черного и белого. Основным фактором обычно является невозможность создания идеального оптического фильтра «кирпичной стены» (часто реализуемого в цифровых камерах и видеокамерах в виде линз или линз с особыми свойствами размытия). Такой фильтр необходим для уменьшения наложения за счет устранения пространственных частот выше скорости Найквиста отображения.

Передискретизация и понижающее преобразование для поддержания оптической передаточной функции

Единственный практический способ приблизиться к теоретической резкости, возможной в системе цифровой обработки изображений, такой как камера, - это использовать больше пикселей в датчике камеры чем сэмплов в конечном изображении, и 'понижающее преобразование 'или' интерполировать 'с использованием специальной цифровой обработки, которая отсекает высокие частоты выше коэффициента Найквиста, чтобы избежать наложения спектров, сохраняя при этом достаточно плоский MTF до этой частоты. Этот подход был впервые использован в 1970-х годах, когда были разработаны летающие точечные сканеры, а позже были разработаны линейные сканеры CCD, которые отбирали больше пикселей, чем требовалось, а затем преобразовывали их с понижением частоты, поэтому фильмы на телевидении всегда выглядели четче, чем другие. материал снят на видеокамеру. Единственный теоретически правильный способ интерполировать или преобразовать с понижением частоты - это использование крутого пространственного фильтра нижних частот, реализуемого посредством свертки с двумерной функцией sin (x) / x взвешивания, которая требует мощной обработки. На практике для уменьшения требований к обработке используются различные математические приближения. Эти приближения теперь широко применяются в системах редактирования видео и в программах обработки изображений, таких как Photoshop.

Так же, как видео стандартной четкости с высококонтрастным MTF возможно только с передискретизацией, поэтому HD-телевидение с полной теоретической резкостью возможно только начав с камеры со значительно более высоким разрешением, а затем с цифровой фильтрацией. Теперь, когда фильмы снимаются в формате 4k и даже в формате 8k для кинотеатров, мы можем ожидать, что лучшие изображения на HDTV будут получены только из фильмов или материалов, снятых по более высоким стандартам. Как бы мы ни увеличивали количество пикселей, используемых в камерах, это всегда будет оставаться верным при отсутствии идеального оптического пространственного фильтра. Точно так же 5-мегапиксельное изображение, полученное с 5-мегапиксельной фотокамеры, никогда не может быть четче, чем 5-мегапиксельное изображение, полученное после понижающего преобразования от 10-мегапиксельной фотокамеры того же качества. Из-за проблемы с поддержанием высококонтрастного MTF вещательные компании, такие как BBC, в течение долгого времени рассматривали возможность сохранения телевидения стандартной четкости, но улучшения его качества за счет съемки и просмотра с большим количеством пикселей (хотя, как упоминалось ранее, такая система, хотя и впечатляющая, в конечном итоге лишена очень мелких деталей, которые, хотя и ослаблены, усиливают эффект настоящего просмотра HD).

Еще одним фактором цифровых фотоаппаратов и видеокамер является разрешение объектива. Можно сказать, что объектив «разрешает» 1920 горизонтальных линий, но это не означает, что он делает это с полной модуляцией от черного к белому. «Передаточная функция модуляции» (просто термин, обозначающий величину оптической передаточной функции без учета фазы) дает истинную оценку характеристик объектива и представлена ​​графиком зависимости амплитуды от пространственной частоты.

Дифракция на апертуре объектива также ограничивает MTF. Хотя уменьшение диафрагмы объектива обычно уменьшает аберрации и, следовательно, улучшает плоскостность MTF, существует оптимальная диафрагма для любого размера объектива и датчика изображения, за пределами которой меньшая диафрагма снижает разрешение из-за дифракции, которая распространяет свет по датчику изображения. Во времена плоских фотоаппаратов и даже 35-миллиметровой пленки это не было проблемой, но стало непреодолимым ограничением из-за очень маленьких датчиков формата, используемых в некоторых цифровых камерах и особенно видеокамерах. В бытовых видеокамерах HD первого поколения использовались 1/4-дюймовые сенсоры, для которых диафрагма меньше примерно f4 начинает ограничивать разрешение. Даже профессиональные видеокамеры в основном используют сенсоры размером 2/3 дюйма, что запрещает использование диафрагмы около f16, что считалось бы нормальным для форматов пленки. Некоторые камеры (например, Pentax K10D ) имеют режим «Автоэкспозиция MTF», в котором выбор диафрагмы оптимизируется для максимальной резкости. Обычно это означает середину диапазона диафрагмы.

Тенденция к использованию широкоформатных зеркальных фотокамер и улучшенный потенциал MTF

В последнее время произошел сдвиг в сторону использования большого формата изображения цифровые однообъективные зеркальные камеры, обусловленные необходимостью обеспечения чувствительности при слабом освещении и узких эффектов глубины резкости. Это привело к тому, что некоторые производители фильмов и телевизионных программ предпочитают такие камеры даже профессиональным видеокамерам HD из-за их «кинематографического» потенциала. Теоретически использование камер с сенсорами на 16 и 21 мегапикселей дает возможность получить почти идеальную резкость за счет понижающего преобразования внутри камеры с цифровой фильтрацией для устранения наложения спектров. Такие камеры дают очень впечатляющие результаты и, по-видимому, лидируют в производстве видео по направлению к понижающему преобразованию большого формата с цифровой фильтрацией, которая становится стандартным подходом к реализации плоского MTF с истинной свободой от наложения спектров.

Из-за оптических эффектов контраст может быть неоптимальным и приближаться к нулю до того, как будет достигнута частота Найквиста дисплея. Уменьшение оптического контраста может быть частично отменено путем выборочного цифрового усиления пространственных частот перед отображением или дальнейшей обработкой. Хотя существуют более продвинутые процедуры восстановления цифрового изображения, алгоритм деконволюции Винера часто используется из-за его простоты и эффективности. Поскольку этот метод умножает пространственные спектральные компоненты изображения, он также усиливает шум и ошибки, например, из-за алиасинг. Поэтому он эффективен только при записи хорошего качества с достаточно высоким отношением сигнал / шум.

В общем, функция рассеяния точки, изображение точечного источника также зависит от таких факторов, как длина волны (цвет ) и поле угол (положение источника боковой точки). Когда такое изменение достаточно плавное, оптическая система может быть охарактеризована набором оптических передаточных функций. Однако, когда изображение точечного источника резко изменяется при поперечном перемещении, оптическая передаточная функция не описывает точно оптическую систему.

• Боке
• Гамма-коррекция
• Минимальная разрешаемая контрастность
• Минимальная разрешаемая разница температур
• Оптическое разрешение
• Отношение сигнал / шум
• Функция передачи сигнала
• Коэффициент Штреля
• Передаточная функция
• Кодирование волнового фронта

• «Передаточная функция модуляции», Гленн Д. Бореман на SPIE Optipedia.
• «Как измерить MTF и другие свойства линз», Optikos Corporation.