Функция рассеивания точки

редактировать
Формирование изображения в конфокальном микроскопе : центральный продольный (XZ) срез. Полученное трехмерное распределение возникает из свертки реальных источников света с PSF. A точечный источник, отображаемый системой с отрицательным (вверху), нулем (в центре) и положительным ( внизу) сферическая аберрация. Изображения слева расфокусированы внутрь, изображения справа - наружу.

Функция рассеивания точки (PSF ) описывает реакцию система визуализации точечного источника или точечного объекта. Более общий термин для PSF - это импульсная характеристика системы, PSF - это импульсная характеристика сфокусированной оптической системы. PSF во многих контекстах можно рассматривать как расширенный BLOB-объект в изображении, представляющий одноточечный объект. С функциональной точки зрения это версия функции оптической передачи системы формирования изображения. Это полезная концепция в оптике Фурье, астрономической визуализации, медицинской визуализации, электронной микроскопии и других методах визуализации, таких как 3D микроскопия (как в конфокальной лазерной сканирующей микроскопии ) и флуоресцентная микроскопия.

Степень размытия точечного объекта является мерой качества системы визуализации. В некогерентных системах формирования изображений, таких как флуоресцентные микроскопы, телескопы или оптические микроскопы, процесс формирования изображения является линейным по отношению к изображению. интенсивности и описывается теорией линейной системы. Это означает, что когда два объекта A и B отображаются одновременно, результирующее изображение равно сумме независимо отображаемых объектов. Другими словами: изображение A не зависит от изображения B и наоборот из-за свойства невзаимодействия фотонов. В пространственно-инвариантной системе, то есть PSF одинакова везде в пространстве изображения, тогда изображение сложного объекта представляет собой свертку истинного объекта и PSF.

Содержание

  • 1 Введение
  • 2 Теория
  • 3 История и методы
  • 4 Приложения
    • 4.1 Микроскопия
    • 4.2 Астрономия
    • 4.3 Литография
    • 4.4 Офтальмология
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки

Введение

В силу свойства линейности оптических некогерентных систем формирования изображений, т. Е.

Изображение (Объект 1 + Объект 2) = Изображение (Объект 1) + Изображение (Объект 2)

изображение объекта в микроскопе или телескопе можно вычислить, выразив поле объектной плоскости как взвешенную сумму по 2D импульсные функции, а затем выражение поля плоскости изображения в виде взвешенной суммы по изображениям этих импульсных функций. Это известно как принцип суперпозиции, действительный для линейных систем. Изображения отдельного объекта-плоскости импульсные функции называются функциями рассеяния точки, отражая тот факт, что математическая точка света в плоскости объекта распространяется, образуя конечную область в плоскости изображения (в некоторых разделах математики и hysics, они могут называться функциями Грина или функциями импульсной характеристики ).

Применение PSF: Деконволюция математически смоделированного PSF и изображения с низким разрешением увеличивает разрешение.

Когда объект разделяется на дискретные точечные объекты различной интенсивности, изображение вычисляется как сумма PSF из каждая точка. Поскольку PSF обычно полностью определяется системой формирования изображений (то есть микроскопом или телескопом), все изображение можно описать, зная оптические свойства системы. Этот процесс построения изображения обычно формулируется уравнением свертки. В обработке изображений микроскопа и астрономии знание PSF измерительного устройства очень важно для восстановления (исходного) объекта с помощью деконволюции. В случае лазерных лучей PSF может быть математически смоделирован с использованием концепции гауссовых лучей. Например, деконволюция математически смоделированного PSF и изображения улучшает видимость элементов и устраняет шум изображения.

Теория

Функция рассеяния точки может не зависеть от положения на плоскости объекта, в в этом случае он называется инвариантом сдвига. Кроме того, если в системе нет искажений, координаты плоскости изображения линейно связаны с координатами плоскости объекта посредством увеличения M следующим образом:

(xi, yi) = (M xo, M yo) {\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i}) = (Mx_ {o}, My_ {o})}(x_i, y_i) = (M x_o, M y_o) .

Если система формирования изображения создает перевернутое изображение, мы можем просто рассматривать оси координат плоскости изображения как перевернутые относительно осей плоскости объекта. При этих двух предположениях, то есть о том, что PSF инвариантен к сдвигу и что нет искажений, вычисление интеграла свертки плоскости изображения является простым процессом.

Математически мы можем представить поле плоскости объекта как:

O (xo, yo) = ∫ ∫ O (u, v) δ (xo - u, yo - v) dudv {\ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o}) = \ int \! \! \ int O (u, v) ~ \ delta (x_ {o} -u, y_ {o} -v) ~ du \, dv}{\ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o}) = \ int \! \! \ int O (u, v) ~ \ delta (x_ {o} -u, y_ {o} -v) ~ du \, dv}

то есть как сумма взвешенных импульсных функций, хотя на самом деле это также просто констатирует свойство сдвига двумерных дельта-функций (обсуждается дополнительно ниже). Перепись функции пропускания объекта в приведенной выше форме позволяет нам вычислить поле плоскости изображения как суперпозицию изображений каждой из индивидуальных импульсных функций, то есть как суперпозицию над взвешенными функциями рассеяния точки в плоскости изображения с использованием той же весовой функции. как в плоскости объекта, т. е. O (xo, yo) {\ displaystyle O (x_ {o}, y_ {o})}O (x_o, y_o) . Математически изображение выражается следующим образом:

I (xo, yo) = ∫ ∫ O (u, v) PSF (xi / M - u, yi / M - v) dudv {\ displaystyle I (x_ {o}, y_ {o}) = \ int \! \! \ int O (u, v) ~ \ mathrm {PSF} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv) \, du \, dv}{\ displaystyle I (x_ {o}, y_ {o}) = \ int \! \! \ int O (u, v) ~ \ mathrm {PSF} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv) \, du \, dv}

, в котором PSF (xi / M - u, yi / M - v) {\ textstyle {\ t_dv {PSF}} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv)}{\ textstyle {\ t_dv {PSF}} (x_ {i} / Mu, y_ {i} / Mv)} - изображение импульсной функции δ (x o - u, y o - v).

Двухмерная импульсная функция может рассматриваться как предел (поскольку размер стороны w стремится к нулю) функции «квадратного столба», показанной на рисунке ниже.

Функция квадратного столба

Мы представляем плоскость объекта разложенной на квадратные области, подобные этой, каждая из которых имеет свою собственную связанную функцию квадратной стойки. Если высота стойки h поддерживается на уровне 1 / w, тогда, когда размер стороны w стремится к нулю, высота h стремится к бесконечности, так что объем (интеграл) остается постоянным на уровне 1. Это дает двумерному импульсу свойство просеивания (которое подразумевается в приведенном выше уравнении), которое гласит, что когда двумерная импульсная функция, δ (x - u, y - v), интегрируется с любой другой непрерывной функцией, f (u, v), он «отсеивает» значение f в месте появления импульса, т. е. в точке (x, y).

Идея идеального точечного источника является центральной в идее PSF. Однако в природе не существует идеального математического точечного излучателя; эта концепция полностью нефизическая и представляет собой скорее математическую конструкцию, используемую для моделирования и понимания систем оптического изображения. Полезность концепции точечного источника исходит из того факта, что точечный источник в плоскости 2D-объекта может излучать только идеальную сферическую волну с однородной амплитудой - волну, имеющую идеально сферические, бегущие наружу фазовые фронты с равномерной интенсивностью повсюду на сферах ( см. принцип Гюйгенса – Френеля ). Такой источник однородных сферических волн показан на рисунке ниже. Мы также отмечаем, что идеальный точечный излучатель излучает не только однородный спектр распространяющихся плоских волн, но также и однородный спектр экспоненциально затухающих (затухающих ) волн, и именно они отвечают за разрешение меньше одной длины волны (см. Фурье-оптика ). Это следует из следующего выражения преобразования Фурье для двумерной импульсной функции,

δ (x, y) ∝ ∫ ∫ ej (kxx + kyy) dkxdky {\ displaystyle \ delta (x, y) \ propto \ int \! \! \ int e ^ {j (k_ {x} x + k_ {y} y)} \, dk_ {x} \, dk_ {y}}\ delta (x, y) \ propto \ int \! \! \ int e ^ {j (k_x x + k_y y)} \, d k_x \, ​​d k_y
Усечение сферической волны линзой

Квадратичная линза перехватывает часть этой сферической волны и перефокусирует ее на размытую точку в плоскости изображения. Для одиночной линзы точечный источник на оси в плоскости объекта создает диск Эйри PSF в плоскости изображения. Можно показать (см. оптика Фурье, принцип Гюйгенса – Френеля, дифракция Фраунгофера ), что поле, излучаемое плоским объектом (или, в силу взаимности, поле, сходящееся к плоскому изображению) связано с его соответствующим распределением плоскости источника (или изображения) через соотношение преобразования Фурье (FT). Кроме того, равномерная функция по круговой области (в одной области FT) соответствует функции Эйри, J 1 (x) / x в другой области FT, где J 1 (x) - это функция Бесселя первого порядка первого порядка. То есть равномерно освещенная круглая апертура, которая пропускает сходящуюся однородную сферическую волну, дает изображение функции Эйри в фокальной плоскости. График типовой двумерной функции Эйри показан на следующем рисунке.

Функция Эйри

Следовательно, сходящаяся (частичная) сферическая волна, показанная на рисунке выше, создает диск Эйри в плоскости изображения. Аргумент функции Эйри важен, потому что он определяет масштаб диска Эйри (другими словами, насколько велик диск в плоскости изображения). Если Θ max - максимальный угол, под которым сходящиеся волны образуют ось линзы, r - это радиальное расстояние в плоскости изображения, а волновое число k = 2π / λ, где λ = длина волны, тогда аргумент функции Эйри: kr tan (Θ max). Если Θ max мало (для формирования изображения доступна только небольшая часть сходящейся сферической волны), то радиальное расстояние r должно быть очень большим, прежде чем общий аргумент функции Эйри удалится. от центральной точки. Другими словами, если Θ max мало, диск Эйри велик (что является просто еще одним утверждением принципа неопределенности Гейзенберга для пар преобразования Фурье, а именно, что небольшая протяженность в одной области соответствует в значительной степени в другой области, и эти два связаны через произведение ширины полосы частот). Благодаря этому системы с большим увеличением, которые обычно имеют небольшие значения Θ max (по условию синуса Аббе ), могут иметь большее размытие изображения., благодаря более широкому PSF. Размер PSF пропорционален увеличению , так что размытие не хуже в относительном смысле, но определенно хуже в абсолютном.

На рисунке выше показано усечение падающей сферической волны линзой. Чтобы измерить функцию рассеяния точки - или функцию импульсной характеристики - линзы, идеальный точечный источник, излучающий идеальную сферическую волну во всех направлениях пространства, не нужен. Это связано с тем, что линза имеет только конечную (угловую) ширину полосы или конечный угол пересечения. Следовательно, любая угловая полоса пропускания, содержащаяся в источнике, которая простирается за краевой угол линзы (т. Е. Лежит за пределами ширины полосы пропускания системы), по существу является потраченной впустую полосой пропускания источника, поскольку линза не может ее перехватить, чтобы обработать. В результате для измерения идеальной функции рассеяния точки не требуется идеальный точечный источник. Все, что нам нужно, - это источник света, который имеет по крайней мере такую ​​же угловую ширину, как тестируемая линза (и, конечно же, однородный в этом угловом секторе). Другими словами, нам нужен только точечный источник, который создается сходящейся (однородной) сферической волной, половина угла которой больше угла кромки линзы.

Из-за внутреннего ограниченного разрешения систем визуализации измеренные PSF не свободны от погрешности. При формировании изображения желательно подавить боковые лепестки луча формирования изображения с помощью методов аподизации. В случае систем передачи изображений с гауссовым распределением пучка, PSF моделируется следующим уравнением:

PSF (f, z) = I r (0, z, f) exp ⁡ (- z α (f)) - 2 ρ 2 0,36 cka NA е 1 + (2 пер ⁡ 2 с π (NA 0,56 k) 2 fz) 2, {\ displaystyle PSF (f, z) = I_ {r} (0, z, f) \ exp (-z \ alpha (f)) - {\ dfrac {2 \ rho ^ {2}} {0.36 {\ frac {cka} {{\ text {NA}} f}} {\ sqrt {{1+ \ left) ({\ frac {2 \ ln 2} {c \ pi}} \ left ({\ frac {\ text {NA}} {0.56k}} \ right) ^ {2} fz \ right)} ^ {2} }}}},}{\ displaystyle PSF (е, z) = I_ {r} (0, z, f) \ exp (-z \ alpha (f)) - {\ dfrac {2 \ rho ^ {2}} {0,36 {\ frac {cka } {{\ text {NA}} f}} {\ sqrt {{1+ \ left ({\ frac {2 \ ln 2} {c \ pi}} \ left ({\ frac {\ text {NA}}) {0,56k}} \ right) ^ {2} fz \ right)} ^ {2}}}}},}

где k-фактор зависит от коэффициента усечения и уровня освещенности, NA - числовая апертура, c - скорость света, f - частота фотонов луча изображения, I г является интенсивностью опорного пучка, а является поправочным коэффициентом и является радиальным положением от центра луча на соответствующей плоскости г.

История и методы

Теория дифракции функций рассеяния точки была впервые изучена Эйри в девятнадцатом веке. Он разработал выражение для амплитуды и интенсивности функции рассеяния точки идеального инструмента, свободного от аберраций (так называемый диск Эйри ). Теория аберрированных функций рассеяния точки вблизи оптимальной фокальной плоскости изучалась Зернике и Ниджбоером в 1930–40-х годах. Центральную роль в их анализе играют круговые многочлены Цернике , которые позволяют эффективно представить аберрации любой оптической системы с вращательной симметрией. Недавние аналитические результаты позволили расширить подход Ниджбора и Зернике для оценки функции рассеяния точки на большой объем вокруг оптимальной точки фокусировки. Эта расширенная теория Нейбура-Цернике (ENZ) позволяет изучать несовершенные изображения трехмерных объектов в конфокальной микроскопии или в астрономии в неидеальных условиях построения изображений. Теория ENZ также применялась для определения характеристик оптических инструментов в отношении их аберрации путем измерения распределения интенсивности в сквозном фокусе и решения соответствующей обратной задачи.

Приложения

Микроскопия

Пример экспериментально полученной функции рассеяния точки с помощью конфокального микроскопа с масляным объективом 63x 1.4NA. Он был создан с использованием программы деконволюции Huygens Professional. Показаны виды в xz, xy, yz и трехмерное представление.

В микроскопии для экспериментального определения PSF требуются источники излучения с субразрешением (точечные). Квантовые точки и флуоресцентные шарики обычно рассматриваются для этой цели. С другой стороны, описанные выше теоретические модели позволяют детально рассчитать PSF для различных условий визуализации. Обычно предпочтительна наиболее компактная ограниченная дифракцией форма PSF. Однако, используя соответствующие оптические элементы (например, пространственный модулятор света ), форма PSF может быть адаптирована для различных приложений.

Астрономия

Функция рассеяния точки камеры WFPC космического телескопа Хаббл до внесения поправок в ее оптическую систему.

В Наблюдательная астрономия, экспериментальное определение PSF часто бывает очень простым из-за большого количества точечных источников (звезд или квазаров ). Форма и источник PSF могут широко варьироваться в зависимости от инструмента и контекста, в котором он используется.

Для радиотелескопов и дифракционно-ограниченных пространственных телескопов доминирующие члены в PSF могут быть выведены из конфигурации апертуры в область Фурье. На практике различные компоненты сложной оптической системы могут включать несколько элементов. Полное описание PSF будет также включать в себя диффузию света (или фотоэлектронов) в детекторе, а также ошибки отслеживания в космическом корабле или телескопе.

Для наземных оптических телескопов атмосферная турбулентность (известная как астрономическое изображение ) доминирует над вкладом в PSF. При построении наземных изображений с высоким разрешением PSF часто меняется в зависимости от положения на изображении (эффект, называемый анизопланатизмом). В наземных системах адаптивной оптики PSF представляет собой комбинацию апертуры системы с остаточными нескорректированными атмосферными условиями.

Литография

Пики PSF с перекрытием. пики близки к ~ 1 длине волны / числовая апертура, они эффективно сливаются. На данный момент FWHM составляет ~ 0,6 длины волны / числовая апертура.

PSF также является фундаментальным ограничением для обычного сфокусированного изображения отверстия, при этом минимальный размер печати находится в диапазоне 0,6-0,7 длины волны / числовая апертура с числовой апертурой. числовая апертура системы формирования изображения. Например, в случае системы EUV с длиной волны 13,5 нм и NA = 0,33 минимальный размер отдельных отверстий, которые можно отобразить, находится в диапазоне 25-29 нм. маска фазового сдвига имеет фазовые фронты на 180 градусов, что обеспечивает более точное разрешение.

Офтальмология

Функции распределения точек в последнее время стали полезным диагностическим инструментом в клинической практике офтальмология. Пациенты измеряются с помощью датчика волнового фронта Shack-Hartmann , а специальное программное обеспечение рассчитывает PSF для глаза этого пациента. Этот метод позволяет врачу смоделировать потенциальное лечение пациента и оценить, как эти методы лечения повлияют на PSF пациента. Кроме того, после измерения PSF можно минимизировать с помощью системы адаптивной оптики. Это, в сочетании с камерой CCD и системой адаптивной оптики, может использоваться для визуализации анатомических структур, не видимых иным образом in vivo, таких как фоторецепторы конуса.

См. Также

References

Последняя правка сделана 2021-06-02 09:16:07
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте