Фильтр с приподнятым косинусом

Фильтр с приподнятым косинусом - это фильтр, часто используемый для формирование импульсов в цифровой модуляции благодаря его способности минимизировать межсимвольные помехи (ISI). Его название связано с тем, что ненулевая часть частотного спектра в его простейшей форме ($\beta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1\}$) является косинус функция, «приподнятая», чтобы находиться над $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$(горизонтальной) осью.

• 1 Математическое описание
  • 1.1 Коэффициент спада
    • 1.1.1 $\beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$
    • 1.1.2 $\beta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1\}$
  • 1.2 Полоса пропускания
  • 1.3 Функция автокорреляции
• 2 Приложение
• 3 Ссылки
• 4 Внешние ссылки

Частотная характеристика повышенного косинусоидальный фильтр с различными коэффициентами спада Импульсная характеристика фильтра с приподнятым косинусом с различными коэффициентами спада

Фильтр с приподнятым косинусом представляет собой реализацию фильтра нижних частот Найквиста, т. е., обладающий свойством рудиментарной симметрии. Это означает, что его спектр демонстрирует нечетную симметрию около $1\; 2\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2T\}\}\}$, где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это период символа системы связи.

Его описание в частотной области - это кусочно -определенная функция, заданная следующим образом:

или в терминах гаверкозинов :

для

$0\; \le \; \beta \; \le \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; \backslash \; beta\; \backslash \; leq\; 1\}$

и характеризуется двумя значениями; $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, коэффициент спада, и $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$, величина, обратная символьной скорости.

Импульсная характеристика такого фильтра определяется выражением:

$h\; (t)\; =\; \{\pi \; 4\; T\; sinc\; \; (1\; 2\; \beta ),\; t\; =\; \pm \; T\; 2\; \beta \; 1\; T\; sinc\; \; (t\; T)\; cos\; \; (\pi \; \beta \; t\; T)\; 1\; -\; (2\; \beta \; t\; T)\; 2,\; иначе\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (t)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{4T\}\; \}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; beta\}\}\; \backslash \; right),\; t\; =\; \backslash \; pm\; \{\backslash \; frac\; \{T\}\; \{2\; \backslash \; beta\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\; T\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; beta\; t\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \}\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; beta\; t\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{cases\}\}\}$

в терминах нормализованной функции sinc. Здесь это «коммуникационный sinc» $s\; i\; n\; (\pi \; x)\; /\; (\pi \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; sin\; (\backslash \; pi\; x)\; /\; (\backslash \; pi\; x)\}$, а не математический.

Коэффициент спада

Коэффициент спада, $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$, является мерой избыточная полоса пропускания фильтра, т. е. полоса пропускания, занимаемая за пределами полосы пропускания Найквиста $1\; 2\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2T\}\}\}$. Некоторые авторы используют $\alpha \; =\; \beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; beta\}$.

Если мы обозначим избыточную полосу пропускания как $\Delta \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; f\}$, тогда:

$\beta \; =\; \Delta \; е\; (1\; 2\; T)\; =\; \Delta \; е\; RS\; /\; 2\; =\; 2\; T\; \Delta \; е\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{\backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2T\}\}\; \backslash \; right)\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Delta\; f\}\; \{R\_\; \{S\}\; /\; 2\}\}\; =\; 2T\; \backslash ,\; \backslash \; Delta\; f\}$

, где $RS\; =\; 1\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; R\_\; \{S\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\}$- символьная скорость.

На графике показан амплитудный отклик, когда $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$изменяется от 0 до 1, и соответствующее влияние на импульсный отклик. Как можно видеть, уровень пульсации во временной области увеличивается по мере уменьшения $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$. Это показывает, что избыточную полосу пропускания фильтра можно уменьшить, но только за счет удлиненной импульсной характеристики.

$\beta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 0\}$

Когда $\beta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\}$приближается к 0, зона спада становится бесконечно узкой, следовательно:

$lim\; \beta \; \to \; 0\; H\; (е)\; =\; прямоугольник\; \; (е\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; H\; (f)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{rect\}\; (fT)\}$

где $rect\; \; (\cdot )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{rect\}\; (\backslash \; cdot)\}$- это прямоугольная функция, поэтому импульсная характеристика приближается к $h\; (t)\; =\; 1\; T\; sinc\; \; (t\; T)\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{t\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}$. Следовательно, в этом случае он сходится к идеальному или каменному фильтру.

$\beta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1\}$

Когда $\beta \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; beta\; =\; 1\}$, ненулевая часть спектра является чистой приподнятый косинус, приводящий к упрощению:

$H\; (f)\; |\; \beta \; =\; 1\; =\; \{1\; 2\; [1\; +\; cos\; \; (\pi \; f\; T)],\; |\; f\; |\; \le \; 1\; T\; 0,\; иначе\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (f)\; |\; \_\; \{\backslash \; beta\; =\; 1\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; [1+\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; pi\; fT\; \backslash \; right)\; \backslash \; right],\; |\; f\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \backslash \; 0,\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

или

$H\; (f)\; |\; \beta \; =\; 1\; =\; \{hvc\; \; (\pi \; f\; T),\; |\; f\; |\; \le \; 1\; T\; 0,\; иначе\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (f)\; |\; \_\; \{\backslash \; beta\; =\; 1\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; \backslash \; operatorname\; \{hvc\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; pi\; fT\; \backslash \; right),\; |\; f\; |\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \backslash \; 0,\; \{\backslash \; text\; \{else\}\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

Пропускная способность

Пропускная способность повышенного Косинусный фильтр чаще всего определяется как ширина ненулевой положительной по частоте части его спектра, то есть:

Функция автокорреляции

Функция автокорреляции функции приподнятого косинуса имеет следующий вид:

$R\; (\tau )\; =\; T\; [sinc\; \; (\tau \; T)\; cos\; \; (\beta \; \pi \; \tau \; T)\; 1\; -\; (2\; \beta \; \tau \; T)\; 2\; -\; \beta \; 4\; sinc\; \; (\beta \; \tau \; T)\; соз\; \; (\pi \; \tau \; T)\; 1\; -\; (\beta \; \tau \; T)\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \backslash \; left\; (\backslash \; tau\; \backslash \; right)\; =\; T\; \backslash \; left\; [\backslash \; operatorname\; \{\; sinc\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; beta\; \backslash \; tau\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\}\; \{4\}\}\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; beta\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\}\; \{1-\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; tau\}\; \{T\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; ri\; ght]\}$

Результат автокорреляции может использоваться для анализа различных результатов смещения выборки при анализе с автокорреляцией.

Последовательные импульсы в виде приподнятого косинуса, демонстрирующие свойство нулевого ISI

При использовании для фильтрации потока символов фильтр Найквиста имеет свойство устранять ISI, поскольку его импульсная характеристика вообще равна нулю $n\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; nT\}$(где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$- целое число), кроме $n\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 0\}$.

Следовательно, если переданная форма волны правильно выбрана в приемнике, исходные значения символов могут быть полностью восстановлены.

Однако во многих практических системах связи в приемнике используется согласованный фильтр из-за эффектов белого шума. Для нулевого ISI ответ net фильтров передачи и приема должен быть равен $H\; (f)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; (f)\}$:

$HR\; (f)\; \cdot \; HT\; (f)\; =\; ЧАС\; (е)\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\_\; \{R\}\; (f)\; \backslash \; cdot\; H\_\; \{T\}\; (f)\; =\; H\; (f)\}$

И поэтому :

$|\; H\; R\; (f)\; |\; =\; |\; H\; T\; (f)\; |\; =\; |\; H\; (f)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; H\_\; \{R\}\; (f)\; |\; =\; |\; H\_\; \{T\}\; (f)\; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{|\; H\; (f)\; |\}\}\}$

Эти фильтры называются с поднятым корнем - косинус фильтры.

Поднятый косинус - это обычно используемый фильтр аподизации для волоконных решеток Брэгга.

• Glover, I.; Грант, П. (2004). Цифровые коммуникации (2-е изд.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
• Проакис, Дж. (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
• Tavares, L.M.; Таварес Г.Н. (1998) Комментарии на "Производительность асинхронных систем DS / SSMA с ограниченной полосой пропускания". IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, № 9

• Техническая статья, озаглавленная «Уход за цифровыми импульсными фильтрами и их питание», первоначально опубликованная в RF Design, написанная Кеном Джентиле.