Войти
Окно синусоиды вызывает спектральную утечку, даже если синусоида имеет целое число циклов в прямоугольном окне. Утечка очевидна во 2-м ряду, синяя кривая. Это то же количество, что и на красной кривой, которая представляет немного более высокую частоту, не имеющую целого числа циклов. Когда синусоида дискретизируется и обрабатывается в окне, ее преобразование Фурье в дискретном времени также страдает от той же картины утечки. Но когда DTFT выбирается только с определенным интервалом, можно (в зависимости от вашей точки зрения): (1) избежать утечки или (2) создать иллюзию отсутствия утечки. В случае синусоиды синего цвета (3-я строка графиков, правая часть) эти выборки являются выходными данными дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Красная синусоида DTFT (4-я строка) имеет тот же интервал пересечений нуля, но выборки DFT попадают между ними, и утечка обнаруживается. Преобразование Фурье функции времени, s (t), представляет собой комплексную функцию частоты, S (f), часто называемую частотным спектром. Любая линейная инвариантная во времени операция над s (t) создает новый спектр формы H (f) • S (f), который изменяет относительные величины и / или углы (phase ) ненулевых значений S (f). Любой другой тип операции создает новые частотные компоненты, которые можно назвать спектральной утечкой в самом широком смысле. Выборка, например, вызывает утечку, которую мы называем псевдонимами исходной спектральной составляющей. Для целей преобразования Фурье выборка моделируется как произведение между s (t) и функцией гребенка Дирака. Спектр продукта - это свертка между S (f) и другой функцией, которая неизбежно создает новые частотные компоненты. Но термин «утечка» обычно относится к эффекту управления окнами, который является продуктом s (t) с функцией другого типа, оконной функцией. Оконные функции имеют конечную продолжительность, но это не обязательно для создания утечки. Достаточно умножения на функцию, зависящую от времени.
Утечка, вызванная оконной функцией, проще всего охарактеризовать по ее влиянию на синусоидальную функцию s (t), чье неоконное преобразование Фурье равно нулю для всех частот, кроме одной. Обычно выбирается частота 0 Гц, поскольку оконное преобразование Фурье - это просто преобразование Фурье самой оконной функции :
Когда и выборка, и оконное управление применяется к s (t) в любом порядке, утечка, вызванная оконным режимом, представляет собой относительно локализованное расширение частотных компонентов, часто с эффектом размытия, тогда как наложение, вызванное дискретизацией, представляет собой периодическое повторение всего размытого спектра.
Сравнение двух оконных функций с точки зрения их влияния на синусоиды одинаковой силы с аддитивным шумом. Синусоида в ячейке -20 не имеет гребешков, а синусоида в ячейке +20,5 демонстрирует гребешки в худшем случае. Прямоугольное окно дает наиболее волнистые, но также более узкие пики и более низкий уровень шума. Третья синусоида с амплитудой -16 дБ будет заметна в верхнем спектре, но не в нижнем. Полная утечка оконной функции измеряется метрикой, называемой эквивалентной шириной полосы шума (ENBW) или шириной полосы, эквивалентной шуму ( NEB). Лучшее окно в этом отношении - самое простое, называемое прямоугольным из-за его плоской верхней части и вертикальных сторон. Его эффект распространения обычно в 10–100 раз ниже амплитуды исходного компонента. К сожалению, разброс очень велик, что может скрывать важные детали спектра даже на более низких уровнях. Это препятствует тому, чтобы прямоугольное окно было популярным выбором. Непрямоугольные оконные функции фактически увеличивают общую утечку, но они также могут перераспределять ее в места, где она причиняет наименьший вред, в зависимости от приложения. В частности, в разной степени они уменьшают уровень распространения за счет увеличения утечки высокого уровня в непосредственной близости от исходного компонента. В общем, они контролируют компромисс между разрешением сигналов сравнимой мощности с аналогичными частотами или разрешением сигналов разной мощности с разными частотами: один говорит об окнах «высокого разрешения» и «расширенного динамического диапазона». И утечка около исходного компонента на самом деле полезна для показателя, известного как потери на гребешке.
Мы обычно думаем об утечке как о распространении (скажем) синусоиды в одном «бине» ДПФ в другие бины на уровнях, которые обычно уменьшаются с расстоянием. На самом деле это означает, что, когда фактическая частота синусоиды лежит в ячейке «k», ее присутствие обнаруживается / регистрируется на разных уровнях в других ячейках; т.е. корреляции, которые они измеряют, отличны от нуля. Значение, измеренное в ячейке k + 10 и нанесенное на график спектра, является ответом этого измерения на несовершенную (то есть оконную) синусоиду на расстоянии 10 элементов. А когда на входе просто белый шум (энергия на всех частотах), значение, измеренное в ячейке k, является суммой его откликов на континуум частот. Можно сказать, что утечка на самом деле является утечкой в процессе, а не утечкой. Эта перспектива может помочь интерпретировать различные уровни минимального шума между двумя графиками на рисунке справа. Оба спектра были созданы на основе одного и того же набора данных с одинаковой мощностью шума. Но каждый из сегментов нижнего графика ответил сильнее, чем сегментов верхнего графика. Точная величина разницы определяется разницей ENBW двух оконных функций.
