Теорема Парсеваля

В математике, теорема Парсеваля обычно относится к результату, что преобразование Фурье является унитарным ; грубо говоря, сумма (или интеграл) квадрата функции равна сумме (или интегралу) квадрата ее преобразования. Она берет свое начало из 1799 теоремы о серии по Парсевалю, который позже был применен к ряду Фурье. Она также известна как энергетическая теорема Рэлея или личность Рэлея в честь Джона Уильяма Стратта, лорда Рэлея.

Хотя термин «теорема Парсеваля» часто используется для описания унитарности любого преобразования Фурье, особенно в физике, наиболее общую форму этого свойства правильнее назвать теоремой Планшереля.

• 1 Формулировка теоремы Парсеваля
• 2 Обозначения, используемые в технике
• 3 См. Также
• 4 Примечания
• 5 ссылки
• 6 Внешние ссылки

Предположим, что и - две комплексные функции периода on периода, интегрируемые с квадратом (относительно меры Лебега ) на интервалах длины периода, с рядом Фурье ${\ Displaystyle А (х)}$${\ Displaystyle В (х)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\ displaystyle A (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx}}$

а также

${\ displaystyle B (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} b_ {n} e ^ {inx}}$

соответственно. потом

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} A (x) {\ overline {B (x)}} \, \ mathrm {d} x,}$

( Уравнение 1)

где - мнимая единица, а горизонтальные черты указывают комплексное сопряжение. Подставляя и: ${\ displaystyle i}$ ${\ Displaystyle А (х)}$${\ displaystyle {\ overline {B (x)}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} amp; = {\ frac {1} {2 \ pi }} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} e ^ {inx} \ right) \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ overline {b_ {n}}} e ^ {- inx} \ right) \, \ mathrm {d} x \\ [6pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (a_ {1} e ^ {i1x} + a_ {2} e ^ {i2x} + \ cdots \ right) \ left ({\ overline {b_ {1}}} e ^ {- i1x} + {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- i2x} + \ cdots \ right) \ mathrm {d} x \\ [6pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (a_ {1} e ^ {i1x} {\ overline {b_ {1} }} e ^ {- i1x} + a_ {1} e ^ {i1x} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- i2x} + a_ {2} e ^ {i2x} {\ overline {b_ { 1}}} e ^ {- i1x} + a_ {2} e ^ {i2x} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- i2x} + \ cdots \ right) \ mathrm {d} x \\ [6pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ left (a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} + a_ { 1} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- ix} + a_ {2} {\ overline {b_ {1}}} e ^ {ix} + a_ {2} {\ overline {b_ {2 }}} + \ cdots \ right) \ mathrm {d} x \ end {выровнено}}}$

Как и в случае со средними членами в этом примере, многие члены будут интегрироваться в течение всего периода длины (см. Гармоники ): ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} {\ overline {b_ {n}}} amp; = {\ frac {1} {2 \ pi }} \ left [a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} x + ia_ {1} {\ overline {b_ {2}}} e ^ {- ix} -ia_ {2} {\ overline { b_ {1}}} e ^ {ix} + a_ {2} {\ overline {b_ {2}}} x + \ cdots \ right] _ {- \ pi} ^ {+ \ pi} \\ [6pt] amp; = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ left (2 \ pi a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} + 0 + 0 + 2 \ pi a_ {2} {\ overline {b_ {2}}} + \ cdots \ right) \\ [6pt] amp; = a_ {1} {\ overline {b_ {1}}} + a_ {2} {\ overline {b_ {2}}} + \ cdots \\ [6pt] \ end {выровнено}}}$

В целом, учитывая абелева локально компактная группа G с понтрягинского двойной G ^, теорема замкнутости говорит преобразование Понтрягина- Фурье является унитарным оператором между гильбертовых пространств L ² ( G) и L ² ( G ^) (с интеграцией быть против соответствующим образом масштабированные меры Хаара на этих двух группах.) Когда G - единичная окружность T, G ^ - целые числа, и это случай, рассмотренный выше. Когда G - действительная линия, G ^ также является, а унитарное преобразование - это преобразование Фурье на действительной прямой. Когда G - циклическая группа Z n, она снова самодуальна, и преобразование Понтрягина – Фурье - это то, что в прикладных контекстах называется дискретным преобразованием Фурье. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Замкнутости теорема может быть выражена следующим образом: Пусть является интегрируемой с квадратом функции над (т.е., и суммируемы на этом отрезке), с рядом Фурье ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f ^ {2} (х)}$

${\ displaystyle f (x) \ simeq {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (a_ {n} \ cos (nx) + b_ {n } \ sin (nx)).}$

потом

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f ^ {2} (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {a_ { 0} ^ {2}} {2}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right).}$

В электротехнике теорема Парсеваля часто записывается как:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | x (t) | ^ {2} \, \ mathrm {d} t = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (\ omega) | ^ {2} \, \ mathrm {d} \ omega = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} | X (2 \ pi е) | ^ {2} \, \ mathrm {d} f}$

где представляет собой непрерывное преобразование Фурье (в нормализованной унитарной форме), а - частота в радианах в секунду. ${\ Displaystyle X (\ omega) = {\ mathcal {F}} _ {\ omega} \ {x (t) \}}$ ${\ Displaystyle х (т)}$${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$

Интерпретация этой формы теоремы заключается в том, что полную энергию сигнала можно вычислить путем суммирования мощности на выборку по времени или спектральной мощности по частоте.

Для сигналов с дискретным временем теорема принимает следующий вид:

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} | x [n] | ^ {2} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_ {2 \ pi} ({\ phi}) | ^ {2} \ mathrm {d} \ phi}$

где - дискретное преобразование Фурье (DTFT) и представляет угловую частоту (в радианах на выборку). ${\ Displaystyle X_ {2 \ pi}}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle x}$

В качестве альтернативы, для дискретного преобразования Фурье (ДПФ) соотношение становится следующим:

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} | x [n] | ^ {2} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k = 0} ^ {N- 1} | X [k] | ^ {2}}$

где - ДПФ длины обоих. ${\ displaystyle X [k]}$${\ Displaystyle х [п]}$${\ displaystyle N}$

Теорема Парсеваля тесно связана с другими математическими результатами, включающими унитарные преобразования:

• Личность Парсеваля
• Теорема Планшереля
• Теорема Винера – Хинчина.
• Неравенство Бесселя

• Парсеваль, MacTutor Архив истории математики.
• Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков (Харкорт: Сан-Диего, 2001).
• Хуберт Кеннеди, Восемь математических биографий (Безусловные публикации: Сан-Франциско, 2002).
• Алан В. Оппенгейм и Рональд В. Шафер, Обработка сигналов в дискретном времени, 2-е издание (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999), стр. 60.
• Уильям МакКи. Зиберт, Схемы, сигналы и системы (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), стр. 410–411.
• Дэвид В. Каммлер, Первый курс анализа Фурье (Prentice-Hall, Inc., Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси, 2000) с. 74.

• Теорема Парсеваля о математическом мире