Частотно-временной анализ

редактировать

В обработке сигналов, частотно-временной анализ включает те методы, которые изучают сигнал одновременно во временной и частотной областях, используя различные частотно-временные представления. Вместо просмотра одномерного сигнала (функции, действительной или комплексной, домен которой является действительной линией) и некоторого преобразования (другой функции, домен которой является реальной линией, полученной из оригинала с помощью некоторого преобразования), время-частота Анализ изучает двумерный сигнал - функцию, домен которой является двумерной реальной плоскостью, полученной из сигнала с помощью частотно-временного преобразования.

Математическая мотивация для этого исследования заключается в том, что функции и их представление преобразования часто тесно связаны, и их можно лучше понять, изучая их совместно, как двухмерный объект, а не по отдельности. Простым примером является то, что 4-кратная периодичность преобразования Фурье - и тот факт, что двукратное преобразование Фурье меняет направление - можно интерпретировать, рассматривая преобразование Фурье как поворот на 90 ° за соответствующий промежуток времени. –Частотная плоскость: 4 таких поворота дают идентичность, а 2 таких поворота просто меняют направление (отражение через начало координат ).

Практическая мотивация для частотно-временного анализа состоит в том, что классический анализ Фурье предполагает, что сигналы бесконечны во времени или периодичны, в то время как многие сигналы на практике имеют короткую длительность и существенно изменяются в течение своей продолжительность. Например, традиционные музыкальные инструменты не создают синусоиды бесконечной продолжительности, а вместо этого начинают с атаки, а затем постепенно распадаются. Это плохо представлено традиционными методами, что мотивирует частотно-временной анализ.

Одной из основных форм частотно-временного анализа является кратковременное преобразование Фурье (STFT), но были разработаны более сложные методы, в частности вейвлеты.

Содержание

1 Мотивация
2 Функции частотно-временного распределения
- 2.1 Составы
- 2.2 Идеальная функция распределения TF
3 Приложения
- 3.1 Мгновенная оценка частоты
- 3.2 Фильтрация TF и разложение сигнала
- 3.3 Теория выборки
- 3.4 Модуляция и мультиплексирование
- 3.5 Распространение электромагнитных волн
- 3.6 Оптика, акустика и биомедицина
4 История
5 См. Также
6 Ссылки

Мотивация

В обработке сигналов частотно-временной анализ - это совокупность приемов и методов, используемых для определения характеристик и обработки сигналов, статистика которых изменяется во времени, например, переходных сигналов.

Это обобщение и уточнение анализа Фурье для случая, когда частотные характеристики сигнала меняются со временем. Поскольку многие представляющие интерес сигналы, такие как речь, музыка, изображения и медицинские сигналы, имеют изменяющиеся частотные характеристики, частотно-временной анализ имеет широкую область применения.

В то время как метод преобразования Фурье может быть расширен для получения частотного спектра любого медленно растущего локально интегрируемого сигнала, этот подход требует полного описания сигнала поведение за все время. В самом деле, можно думать о точках в (спектральной) частотной области как о размытии информации во всей временной области. Хотя этот метод математически элегантен, он не подходит для анализа сигнала с неопределенным будущим поведением. Например, для достижения ненулевой энтропии необходимо предположить некоторую степень неопределенного будущего поведения в любых телекоммуникационных системах (если один уже знает, что скажет другой человек, он ничего не может узнать).

Чтобы использовать возможности частотного представления без необходимости полной характеристики во временной области, сначала получают частотно-временное распределение сигнала, которое представляет сигнал одновременно во временной и частотной областях.. В таком представлении частотная область будет отражать только поведение локализованной во времени версии сигнала. Это позволяет разумно говорить о сигналах, составляющие частоты которых меняются во времени.

Например, вместо использования умеренных распределений для глобального преобразования следующей функции в частотную область, можно вместо этого использовать эти методы для описания его как сигнала с изменяющейся во времени частотой.

x (t) = {cos ⁡ (π t); t < 10 cos ⁡ ( 3 π t) ; 10 ≤ t < 20 cos ⁡ ( 2 π t) ; t>20 {\ displaystyle x (t) = {\ begin {cases} \ cos (\ pi t); t <10\\\cos(3\pi t);10\leq t<20\\\cos(2\pi t);t>20 \ end {cases}}}

x(t)=\begin{cases} \cos( \pi t); t <10 \\ \cos(3 \pi t); 10 \le t < 20 \\ \cos(2 \pi t); t>20 \ end {cases }

Когда-то такое представление были сгенерированы другие методы частотно-временного анализа, которые затем могут быть применены к сигналу, чтобы извлечь информацию из сигнала, отделить сигнал от шума или мешающих сигналов и т. д.

Функции частотно-временного распределения

Формулировки

Существует несколько различных способов сформулировать допустимую функцию частотно-временного распределения, в результате чего получается несколько хорошо известных частотно-временных распределений, таких как:

Кратковременное преобразование Фурье (включая преобразование Габора ),
вейвлет-преобразование,
Билинейное частотно-временное распределение (функция распределения Вигнера, или WDF),
Модифицированная функция распределения Вигнера, Распределение Габора – Вигнера функции и т. д. (см. преобразование Габора – Вигнера ).
преобразование Гильберта – Хуанга

Более подробную информацию об истории и мотивации развития частотно-временного распределения можно найти в записи Время– частотное представление.

Идеальная функция распределения TF

Функция частотно-временного распределения в идеале имеет следующие свойства:

Высокое разрешение как по времени, так и по частоте, чтобы упростить анализ и интерпретацию.
Отсутствие перекрестных терминов во избежание путаницы реальных компонентов с артефактами или шумом.
Список желаемых математических свойств для обеспечения того, чтобы такие методы были полезны для реальных приложений.
Меньшая вычислительная сложность 64>, чтобы гарантировать время, необходимое для представления и обработки сигнала на частотно-временной плоскости, позволяет реализовать в реальном времени.

Ниже приводится краткое сравнение некоторых выбранных функций частотно-временного распределения.

	Четкость	Крест -term	Хорошие математические свойства	Вычислительная сложность
Gabor tr ansform	Худшее	Нет	Худшее	Низкое
Функция распределения Вигнера	Наилучшее	Да	Лучшее	Высокая
Функция распределения Габора – Вигнера	Хорошая	Практически исключена	Хорошая	Высокая
Функция распределения по форме конуса	Хорошо	Нет (устранено, вовремя)	Хорошо	Среднее (если определено рекурсивно)

Чтобы хорошо проанализировать сигналы, выбирая подходящее время – частота функция распределения важна. Какую функцию частотно-временного распределения следует использовать, зависит от рассматриваемого приложения, как показано при просмотре списка приложений. Высокая четкость функции распределения Вигнера (WDF), полученной для некоторых сигналов, обусловлена функцией автокорреляции, заложенной в ее формулировке; однако последнее также вызывает перекрестную проблему. Следовательно, если мы хотим проанализировать одноканальный сигнал, использование WDF может быть лучшим подходом; если сигнал состоит из нескольких компонентов, некоторые другие методы, такие как преобразование Габора, распределение Габора-Вигнера или модифицированные функции B-распределения, могут быть лучшим выбором.

В качестве иллюстрации, величины из нелокализованного анализа Фурье не могут различать сигналы:

x 1 (t) = {cos ⁡ (π t); t < 10 cos ⁡ ( 3 π t) ; 10 ≤ t < 20 cos ⁡ ( 2 π t) ; t>20 {\ displaystyle x_ {1} (t) = {\ begin {cases} \ cos (\ pi t); t <10\\\cos(3\pi t);10\leq t<20\\\cos(2\pi t);t>20 \ end {cases}}}

x_1 (t)=\begin{cases} \cos( \pi t); t <10 \\ \cos(3 \pi t); 10 \le t < 20 \\ \cos(2 \pi t); t>20 \ end {case}

x 2 (T) знак равно {соз ⁡ (π t); t < 10 cos ⁡ ( 2 π t) ; 10 ≤ t < 20 cos ⁡ ( 3 π t) ; t>20 {\ displaystyle x_ {2} (t) = {\ begin {cases} \ cos (\ pi t); t <10\\\cos(2\pi t);10\leq t<20\\\cos(3\pi t);t>20 \ end { case}}}

x_2 (t)=\begin{cases} \cos( \pi t); t <10 \\ \cos(2 \pi t); 10 \le t < 20 \\ \cos(3 \pi t); t>20 \ end {ases}

Но частотно-временной анализ может.

Приложения

Следующие приложения нуждаются не только в функциях частотно-временного распределения, но и в некоторых операциях с сигналом. Линейное каноническое преобразование (LCT) действительно полезно. С помощью LCT форма и положение на частотно-временной плоскости сигнала могут быть в произвольной форме, какой мы хотим. Например, LCT могут сдвигать частотно-временное распределение в любое место, расширять его в горизонтальном и вертикальном направлении без изменения его площади на плоскости, сдвигать (или скручивать) его и вращать (Дробное преобразование Фурье ). Эта мощная операция, LCT, делает более гибким анализ и применение частотно-временных распределений.

Оценка мгновенной частоты

Определение мгновенной частоты - это скорость изменения фазы во времени, или

1 2 π ddt ϕ (t), {\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ frac {d} {dt}} \ phi (t),}

\ frac {1} {2 \ pi} \ frac {d} {dt} \ phi (t),

где $ϕ (t) {\ displaystyle \ phi (t)}$ $\ phi (t)$ - это мгновенная фаза сигнала. Мы можем узнать мгновенную частоту непосредственно из частотно-временной плоскости, если изображение достаточно четкое. Поскольку высокая четкость критически важна, мы часто используем WDF для ее анализа.

TF-фильтрация и разложение сигнала

Целью проектирования фильтра является удаление нежелательного компонента сигнала. Обычно мы можем просто фильтровать во временной области или в частотной области индивидуально, как показано ниже.

Фильтр tf.jpg

Упомянутые выше методы фильтрации не могут работать для каждого сигнала, который может перекрываться во временной или частотной областях. Используя функцию частотно-временного распределения, мы можем фильтровать в евклидовой частотно-временной области или в дробной области с помощью дробного преобразования Фурье . Пример показан ниже.

Фильтр дробный.jpg

Дизайн фильтра в частотно-временном анализе всегда имеет дело с сигналами, состоящими из нескольких компонентов, поэтому нельзя использовать WDF из-за перекрестных характеристик. Преобразование Габора, функция распределения Габора – Вигнера или функция распределения классов Коэна могут быть лучшим выбором.

Концепция разложения сигнала связана с необходимостью отделить один компонент от других в сигнале; это может быть достигнуто с помощью операции фильтрации, которая требует этапа проектирования фильтра. Такая фильтрация традиционно выполняется во временной области или в частотной области; однако это может быть невозможно в случае нестационарных сигналов, которые являются многокомпонентными, поскольку такие компоненты могут перекрываться как во временной области, так и в частотной области; как следствие, единственный возможный способ добиться разделения компонентов и, следовательно, разложения сигнала - это реализовать частотно-временной фильтр.

Теория выборки

Согласно теореме выборки Найквиста – Шеннона, мы можем заключить, что минимальное количество точек выборки без наложения эквивалентно область частотно-временного распределения сигнала. (На самом деле это всего лишь приближение, поскольку область TF любого сигнала бесконечна.) Ниже приведен пример до и после объединения теории дискретизации с частотно-временным распределением:

Примечательно, что количество точек дискретизации уменьшается после применения частотно-временного распределения.

Когда мы используем WDF, может возникнуть перекрестная проблема (также называемая интерференцией). С другой стороны, использование преобразования Габора вызывает улучшение ясности и читаемости представления, тем самым улучшая его интерпретацию и применение к практическим задачам.

Следовательно, когда сигнал, который мы стремимся отбирать, состоит из одного компонента, мы используем WDF; однако, если сигнал состоит из более чем одного компонента, использование преобразования Габора, функции распределения Габора-Вигнера или других TFD с уменьшенными помехами может обеспечить лучшие результаты.

Теорема Балиана – Лоу формализует это и дает ограничение на минимальное количество необходимых частотно-временных выборок.

Модуляция и мультиплексирование

Обычно операции модуляции и мультиплексирования концентрируются по времени или по частоте отдельно. Воспользовавшись частотно-временным распределением, мы можем повысить эффективность модуляции и мультиплексирования. Все, что нам нужно сделать, это заполнить частотно-временную плоскость. Мы представляем пример, как показано ниже.. Mul mod.jpg

Как показано в верхнем примере, использование WDF неразумно, поскольку серьезная межчленная проблема затрудняет мультиплексирование и модуляцию.

Распространение электромагнитной волны

Мы можем представить электромагнитную волну в виде матрицы 2 на 1

[xy], {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}},}

\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix},

что аналогично частотно-временной плоскости. Когда электромагнитная волна распространяется в свободном пространстве, возникает дифракция Френеля. Мы можем работать с матрицей 2 на 1

[xy] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}}

\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}

by LCT с матрицей параметров

[abcd] = [1 λ z 0 1], {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \ lambda z \\ 0 1 \ end { bmatrix}},}

{\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix} } = {\ begin {bmatrix} 1 \ lambda z \\ 0 1 \ end {bmatrix}},

где z - расстояние распространения, а $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - длина волны. Когда электромагнитная волна проходит через сферическую линзу или отражается от диска, матрица параметров должна быть

[abcd] = [1 0 - 1 λ f 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ - {\ frac {1} {\ lambda f}} 1 \ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ - {\ frac { 1} {\ lambda f}} 1 \ end {bmatrix}}

[abcd] = [1 0 1 λ R 1] {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ {\ frac {1} {\ lambda R}} 1 \ end { bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 \\ {\ frac {1} {\ lambda R}} 1 \ end {bmatrix}}

соответственно, где ƒ - фокусное расстояние линзы, а R - радиус диска. Эти соответствующие результаты могут быть получены из

[a b c d] [x y]. {\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}}.}

\ begin {bmatrix} a b \\ c d \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } x \\ y \ end {bmatrix}.

Оптика, акустика и биомедицина

Свет - это разновидность электромагнитной волны, поэтому мы применяем частотно-временной анализ к оптике так же, как и к распространению электромагнитных волн. Точно так же характерной чертой акустических сигналов является то, что часто их частота действительно сильно меняется со временем. Поскольку акустические сигналы обычно содержат много данных, для анализа акустических сигналов можно использовать более простые TFD, такие как преобразование Габора, из-за меньшей вычислительной сложности. Если скорость не является проблемой, то перед выбором конкретной TFD следует провести подробное сравнение с четко определенными критериями. Другой подход состоит в том, чтобы определить зависимую от сигнала TFD, которая адаптирована к данным. В биомедицине можно использовать частотно-временное распределение для анализа электромиографии (ЭМГ), электроэнцефалографии (ЭЭГ), электрокардиограммы (ЭКГ) или отоакустической выбросы (OAEs).

История

Ранние работы в области частотно-временного анализа можно увидеть в вейвлетах Хаара (1909) из Альфреда Хаара, хотя они и не были в значительной степени применяется для обработки сигналов. Более существенная работа была проделана Деннисом Габором, например, Атомы Габора (1947), ранняя форма вейвлетов и преобразование Габора, модифицированное кратковременное преобразование Фурье. Распределение Вигнера – Вилля (Ville 1948, в контексте обработки сигналов) было еще одним основополагающим шагом.

В частности, в 1930-х и 1940-х годах ранний частотно-временной анализ развивался совместно с квантовой механикой (Вигнер разработал распределение Вигнера – Вилля в 1932 году в квантовой механике, а Габор находился под влиянием квантовой механики. механика - см. атом Габора ); это отражено в общей математике плоскости положения-импульса и плоскости время-частота - как в принципе неопределенности Гейзенберга (квантовая механика) и пределе Габора (время-частота анализ), в конечном итоге оба отражают симплектическую структуру.

Первой практической мотивацией для частотно-временного анализа была разработка радара - см. функция неоднозначности.

См. Также

Ссылки

^L. Коэн, "Частотно-временной анализ", Прентис-Холл, Нью-Йорк, 1995. ISBN 978-0135945322
^E. Сейдич, И. Джурович, Дж. Цзян, «Частотно-временное представление характеристик с использованием концентрации энергии: обзор последних достижений», Digital Signal Processing, vol. 19, нет. 1, pp. 153-183, January 2009.
^P. Фландрин, "Частотно-временной / временной масштабный анализ", Вейвлет-анализ и его приложения, Vol. 10 Academic Press, Сан-Диего, 1999.
^Шафи, Имран; Ахмад, Джамиль; Шах, Сайед Исмаил; Кашиф, Ф. М. (2009-06-09). «Методы получения хорошего разрешения и концентрированного частотно-временного распределения: обзор». Журнал EURASIP о достижениях в обработке сигналов. 2009 (1): 673539. doi : 10.1155 / 2009/673539. ISSN 1687-6180.
^А. Папандреу-Супаппола, Приложения в частотно-временной обработке сигналов (CRC Press, Бока-Ратон, Флорида, 2002)