Успокаивающий

Усмиритель (вверху) в первом измерении. Внизу красным цветом обозначена функция с углом (слева) и резким скачком (справа), а синим - его смягченная версия.

В математике, Мягчители (также известные как приближения к идентичности) являются гладкие функции со специальными свойствами, которые используются, например, в теории распределения для создания последовательности гладких функций, аппроксимирующего негладких (обобщенная) функции, с помощью свертки. Интуитивно, учитывая довольно нерегулярную функцию, сворачивая ее с помощью смягчителя, функция становится «смягченной», то есть ее резкие черты сглаживаются, оставаясь при этом близкими к исходной негладкой (обобщенной) функции.

Они также известны как успокаивающие средства Фридрихса в честь Курта Отто Фридрихса, который их представил.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Исторические заметки
• 2 Определение
  • 2.1 Современное (основанное на распределении) определение
  • 2.2 Примечания к определению Фридрихса
• 3 Конкретный пример
• 4 свойства
  • 4.1 Свойство сглаживания
  • 4.2 Аппроксимация идентичности
  • 4.3 Поддержка свертки
• 5 приложений
  • 5.1 Продукт раздач
  • 5.2 "Слабые = сильные" теоремы
  • 5.3 Функции плавной отсечки
• 6 См. Также
• 7 Примечания
• 8 ссылки

Исторические заметки

Смягчители были введены Куртом Отто Фридрихсом в его статье ( Friedrichs 1944, pp. 136–139), которая считается переломным моментом в современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Название этого математического объекта имело любопытное происхождение, и Питер Лакс рассказывает всю историю в своем комментарии к статье, опубликованной в " Selecta " Фридрихса. По его словам, в то время математик Дональд Александр Фландерс был коллегой Фридрихса: так как он любил консультироваться с коллегами об использовании английского языка, он попросил Фландерса совета, как назвать оператор сглаживания, который он использует. Фландрия была пуританином, по прозвищу его друзья Молл в честь Молла Фландерса в знак признания его моральных качеств: он предложил называть новую математическую концепцию « успокаивающим средством» в качестве каламбура, включающего в себя как прозвище Фландрии, так и глагол « смягчать », что означает: сгладить »в переносном смысле.

Ранее Сергей Соболев использовал смягчители в своей эпохальной статье 1938 года, в которой содержится доказательство теоремы вложения Соболева : сам Фридрихс признал работу Соболева по смягчителям, заявив, что: « Эти смягчители были введены Соболевым и автором... ».

Следует отметить, что термин «успокаивающий» претерпел лингвистический дрейф со времен этих основополагающих работ: Фридрихс определил как « успокаивающий » интегральный оператор, ядро которого является одной из функций, которые в настоящее время называются успокаивающими средствами. Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определяются его ядром, имя mollfier было унаследовано самим ядром в результате обычного использования.

Определение

Функция, претерпевающая прогрессирующее смягчение.

Современное (основанное на распределении) определение

Определение 1. Если - гладкая функция на ℝ ⁿ, n ≥ 1, удовлетворяющая следующим трем требованиям. ${\ displaystyle \ varphi}$

(1)   он имеет компактную опору

(2)  ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \! \ varphi (x) \ mathrm {d} x = 1}$

(3)  ${\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ varphi _ {\ epsilon} (x) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ epsilon ^ {- n} \ varphi (x / \ epsilon) = \ delta (x)}$

где - дельта-функция Дирака и предел следует понимать в пространстве распределений Шварца, тогда - успокаивающее средство. Функция также может удовлетворять дополнительным условиям: например, если она удовлетворяет ${\ Displaystyle \ дельта (х)}$ ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$

(4)   ≥ 0 для всех x ∈ ℝ ⁿ, то он называется положительным успокаивающим средством.${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (х)}$

(5)   = для некоторой бесконечно дифференцируемой функции  : ℝ ⁺ → ℝ, то она называется симметричным успокаивающим средством${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (х)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (| х |)}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Примечания к определению Фридрихса

Примечание 1. Когда теория распределений еще не была широко известна и не использовалась, свойство (3) выше было сформулировано следующим образом: свертка функции с заданной функцией, принадлежащей собственному гильбертову или банахову пространству, сходится при ε → 0 к этой функции: это это именно то, что сделал Фридрихс. Это также проясняет, почему успокаивающие связаны с приблизительной идентичностью. ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ varphi _ {\ epsilon}}$

Примечание 2. Как кратко указано в разделе « Исторические заметки » этой статьи, первоначально термин «успокаивающий» обозначал следующий оператор свертки :

${\ Displaystyle \ Phi _ {\ epsilon} (е) (х) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ varphi _ {\ epsilon} (xy) f (y) \ mathrm {d} y}$

где и - гладкая функция, удовлетворяющая первым трем условиям, указанным выше, и одному или нескольким дополнительным условиям положительности и симметрии. ${\ displaystyle \ varphi _ {\ epsilon} (x) = \ epsilon ^ {- n} \ varphi (x / \ epsilon)}$${\ displaystyle \ varphi}$

Конкретный пример

Рассмотрим функцию из с переменной в ℝ ^п определяется ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (х)}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ begin {cases} e ^ {- 1 / (1- | x | ^ {2})} / I_ {n} amp; {\ text {if}} | x | lt; 1 \\ 0 amp; {\ text {if}} | x | \ geq 1 \ end {case}}}$

где числовая константа обеспечивает нормировку. Эта функция бесконечно дифференцируема, не аналитична с нулевой производной при | х | = 1. поэтому может использоваться как успокаивающее средство, как описано выше: можно видеть, что это определяет положительный и симметричный успокаивающий эффект. ${\ displaystyle I_ {n}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (х)}$

Функция в одном измерении ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle (х)}$

Характеристики

Все свойства смягчителя связаны с его поведением при операции свертки : мы перечислим следующие из них, доказательства которых можно найти в каждом тексте по теории распределения.

Сглаживающее свойство

Для любого распределения следующее семейство сверток, индексированных действительным числом ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$

${\ displaystyle T _ {\ epsilon} = T \ ast \ varphi _ {\ epsilon}}$

где обозначает свертку, - семейство гладких функций. ${\ displaystyle \ ast}$

Приближение идентичности

Для любого распределения следующее семейство сверток, индексированных действительным числом, сходится к${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} T _ {\ epsilon} = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} T \ ast \ varphi _ {\ epsilon} = T \ in D ^ {\ prime} ( \ mathbb {R} ^ {n})}$

Поддержка свертки

Для любого распределения, ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ mathrm {supp} T _ {\ epsilon} = \ mathrm {supp} (T \ ast \ varphi _ {\ epsilon}) \ subset \ mathrm {supp} T + \ mathrm {supp} \ varphi _ {\ epsilon }}$

где указывает поддержку в смысле распределений, а указывает их добавление Минковского. ${\ displaystyle \ mathrm {supp}}$ ${\ displaystyle +}$

Приложения

Основное применение смягчителей - доказать, что свойства, действительные для гладких функций, также действительны в негладких ситуациях:

Продукт раздач

В некоторых теориях обобщенных функций, Мягчители используются для определения умножения распределений : точно, учитывая два распределения и, предел продукта в виде гладкой функции и распределения ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ epsilon \ to 0} S _ {\ epsilon} \ cdot T = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} S \ cdot T _ {\ epsilon} {\ overset {\ mathrm {def}} {=}} S \ cdot T}$

определяет (если существует) их продукт в различных теориях обобщенных функций.

"Слабая = сильная" теоремы

Очень неформально, смягчители используются для доказательства тождества двух различных типов расширений дифференциальных операторов: сильного расширения и слабого расширения. Статья ( Friedrichs 1944) довольно хорошо иллюстрирует эту концепцию: однако большое количество технических деталей, необходимых для того, чтобы показать, что это на самом деле означает, не позволяет их формально детализировать в этом кратком описании.

Плавные функции отсечки

По свертке характеристической функции от единичного шара с гладкой функцией (как определено в (3), с), получаем функцию ${\ Displaystyle B_ {1} = \ {x: | x | lt;1 \}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1/2}}$${\ displaystyle \ epsilon = 1/2}$

${\ displaystyle \ chi _ {B_ {1}, 1/2} (x) = \ chi _ {B_ {1}} \ ast \ varphi _ {1/2} (x) = \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} \! \! \! \ Chi _ {B_ {1}} (xy) \ varphi _ {1/2} (y) \ mathrm {d} y = \ int _ {B_ {1 / 2}} \! \! \! \ Chi _ {B_ {1}} (xy) \ varphi _ {1/2} (y) \ mathrm {d} y \ \ \ (\ потому что \ \ mathrm {supp } (\ varphi _ {1/2}) = B_ {1/2})}$

которая является гладкой функцией, равной on, с поддержкой, содержащейся в. В этом легко убедиться, заметив, что если ≤ и ≤, то ≤. Следовательно, для ≤, ${\ displaystyle 1}$${\ Displaystyle B_ {1/2} = \ {x: | x | lt;1/2 \}}$${\ Displaystyle B_ {3/2} = \ {x: | x | lt;3/2 \}}$${\ displaystyle | x |}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle | y |}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle | xy |}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle | x |}$${\ displaystyle 1/2}$

${\ displaystyle \ int _ {B_ {1/2}} \! \! \! \ chi _ {B_ {1}} (xy) \ varphi _ {1/2} (y) \ mathrm {d} y = \ int _ {B_ {1/2}} \! \! \! \ varphi _ {1/2} (y) \ mathrm {d} y = 1}$.

Можно увидеть, как эту конструкцию можно обобщить для получения гладкой функции, идентичной единице в окрестности данного компакта и равной нулю в каждой точке, расстояние от которой до этого множества больше заданного. Такая функция называется (гладкой) отсекающей функцией: эти функции используются для устранения особенностей данной ( обобщенной ) функции путем умножения. Они оставляют неизменным значение ( обобщенной ) функции, которую они умножают только на заданном множестве, тем самым изменяя его поддержку : также срезающие функции являются основными частями гладких разбиений единицы. ${\ displaystyle \ epsilon}$

Смотрите также

• Примерная личность
• Неаналитическая гладкая функция
• Функция удара
• Свертка
• Преобразование Вейерштрасса
• Распределение (математика)
• Курт Отто Фридрихс
• Обобщенная функция
• Сергей Соболев

Примечания

использованная литература

• Фридрихс, Курт Отто (январь 1944 г.), «Тождество слабых и сильных расширений дифференциальных операторов», Труды Американского математического общества, 55 (1): 132–151, DOI : 10.1090 / S0002-9947-1944-0009701- 0, JSTOR   1990143, Руководство   0009701, Zbl   0061.26201. Первая статья, в которой были представлены смягчители.
• Фридрихса, Курт Отто (1953), "О дифференцировании решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений", Коммуникации на теоретической и прикладной математики, VI (3): 299-326, DOI : 10.1002 / cpa.3160060301, МР   0058828, Zbl   0051.32703, архивировано с оригинала 05.01.2013. Работа, в которой исследуется дифференцируемость решений эллиптических уравнений с частными производными с помощью смягчителей.
• Фридрихса, Курт Отто (1986), Morawetz, Кэтлин С. (ред.), Selecta, Современные Математики, Boston- Базель - Штутгарт : Birkhäuser Verlag. . (. Том 2), стр 427 (. Том 1), стр 608, ISBN   0-8176-3270-0, Zbl   0613,01020. Подборка работ Фридрихса с биографией и комментариями Дэвида Айзексона, Фрица Джона, Тосио Като, Питера Лакса, Луи Ниренберга, Вольфгага Вазова, Гарольда Вайцнера.
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченных вариаций, Монографии по математике, 80, Базель - Бостон - Штутгарт : Birkhäuser Verlag, стр. Xii + 240, ISBN   0-8176-3153-4, Руководство по ремонту   0775682, Zbl   0545.49018.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2-е изд.), Берлин - Гейдельберг - Нью-Йорк : Springer-Verlag, ISBN   0-387-52343-X, Руководство по ремонту   1065136, Zbl   0712.35001.
• Соболев, Сергей Л. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle", Recueil Mathématique (Математический сборник) (на русском и французском языках), 4 (46) (3): 471–497, Zbl   0022.14803. Статья, в которой Сергей Соболев доказал свою теорему вложения, вводя и используя интегральные операторы, очень похожие на успокаивающие, но не называя их.