В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или аналогичной структуры, в которой точки образуют прерывную последовательность, то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология - это лучшая топология, которая может быть задана на множестве, то есть она определяет все подмножества как открытые множества. В частности, каждый синглтон является открытым набором в дискретной топологии.
Для данного набора X :
метрическое пространство называется равномерно дискретным, если существует «радиус упаковки» таким образом, что для любого , один имеет либо , либо . Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, без равномерной дискретности метрики: например, обычная метрика на множестве {1, 1/2, 1/4, 1/8,...} действительных чисел.
Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно является равномерно дискретным |
---|
Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8,...}, рассмотрим это множество, используя обычную метрику для действительных чисел. Тогда X - дискретное пространство, поскольку для каждой точки 1/2 мы можем окружить его интервалом (1/2 -, 1/2 + ɛ), где ɛ = 1/2 (1/2 - 1 / 2) = 1/2. Пересечение (1/2 - ɛ, 1/2 + ɛ) ∩ {1/2} - это просто синглтон {1/2}. Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство. Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r>0 такое, что d (x, y)>r всякий раз, когда x ≠ y. Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y, которые ближе друг к другу, чем r. Поскольку расстояние между соседними точками 1/2 и 1/2 равно 1/2, нам нужно найти n, удовлетворяющее этому неравенству: Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будет по крайней мере, две точки в X, которые ближе друг к другу, чем любое положительное r, поэтому X не является равномерно дискретным.... |
Базовая однородность на дискретном метрическом пространстве - это дискретная однородность, а основная топология на дискретном однородном пространстве - это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство X: = {1 / n: n = 1,2,3,...} (с метрикой, унаследованной от вещественной строки и заданной как d (x, y) = | х - у |). Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Мы говорим, что X топологически дискретно, но не равномерно дискретно или метрически дискретно.
Дополнительно:
Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство является непрерывной, а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство является равномерно непрерывной. То есть дискретное пространство X свободно на множестве X в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.
С метрическими пространствами дело обстоит сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмов. Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или все непрерывные отображения, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре, только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых отображений, и оно свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевым, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное 1, является короткой.
Если пойти в другом направлении, функция f из топологического пространства Y в дискретное пространство X будет непрерывной тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в Y имеет окрестности, в которой f постоянна.
Дискретная структура часто используется в качестве «структуры по умолчанию» для набора, который не несет никакой другой естественной топологии, единообразия или метрики; дискретные структуры часто можно использовать в качестве «крайних» примеров для проверки определенных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу, задав ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. В самом деле, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, «дискретными группами ». В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина. 0-мерное многообразие (дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное топологическое пространство. Следовательно, мы можем рассматривать любую дискретную группу как 0-мерное группу Ли.
A произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел is гомеоморфно пространству иррациональных чисел, с гомеоморфизмом, заданным разложением непрерывной дроби. Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства {0,1} гомеоморфно канторовскому множеству ; и фактически равномерно гомеоморфно набору Кантора, если мы используем на произведении. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. пространство Кантора.)
В основах математики исследование свойств компактности продуктов из {0,1} центральное место в топологическом подходе к принципу ультрафильтра, который является слабой формой выбора.
В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), которая имеет наименьшее возможное количество открытых множеств (только пустой набор и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является окончательной или cofree : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство является непрерывной и т. Д.