Дискретный пробел

редактировать

В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или аналогичной структуры, в которой точки образуют прерывную последовательность, то есть они изолированы друг от друга в определенном смысле. Дискретная топология - это лучшая топология, которая может быть задана на множестве, то есть она определяет все подмножества как открытые множества. В частности, каждый синглтон является открытым набором в дискретной топологии.

Содержание
  • 1 Определения
  • 2 Свойства
  • 3 Использует
  • 4 Неконтактные пробелы
  • 5 См. Также
  • 6 Ссылки
Определения

Для данного набора X :

  • дискретная топология на X определяется, позволяя каждому подмножеству X быть открытым (и, следовательно, также закрытым ), и X является дискретным топологическим пространством, если оно снабжено своей дискретной топологией;
  • дискретная однородность на X определяется тем, что каждый надмножество диагонали {(x, x): x находится в X} в X × X является окружением, а X является дискретным однородным пространством, если он снабжен своей дискретной однородностью.
  • дискретная метрика ρ {\ displaystyle \ rho}\ rho на X определяется как
ρ (x, y) = {1, если x ≠ y, 0, если x = y {\ displaystyle \ rho (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix}} 1 {\ t_dv {if}} \ x \ neq y, \\ 0 {\ t_dv {if}} \ x = y \ end {matrix}} \ right.}\ rho (x, y) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 { \ t_dv {if}} \ x \ neq y, \\ 0 {\ t_dv {if}} \ x = y \ end {matrix}} \ right.
для любых x, y ∈ X {\ displaystyle x, y \ in X}x, y \ in X . В этом случае (X, ρ) {\ displaystyle (X, \ rho)}(X, \ rho) называется дискретным метрическим пространством или пространством изолированного точки.
  • a установить S является дискретным в метрическом пространстве (X, d) {\ displaystyle (X, d)}(X, d) , для S ⊆ X {\ displaystyle S \ substeq X}S \ substeq X , если для каждого x ∈ S {\ displaystyle x \ in S}x \ в S существует некоторый δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}\delta>0 (в зависимости от x {\ displaystyle x}x ) так, что d (x, y)>δ {\ displaystyle d (x, y)>\ delta}d(x,y)>\ delta для всех y ∈ S ∖ {x} {\ displaystyle y \ in S \ setminus \ {x \}}y \ in S \ setminus \ {x \} ; такой набор состоит из изолированных точек. Набор S равномерно дискретен в метрическом пространстве (X, d) {\ displaystyle (X, d)}(X, d) для S ⊆ Икс {\ displaystyle S \ substeq X}S \ substeq X , если существует ε>0 такое, что для любых двух различных x, y ∈ S {\ displaystyle x, y \ in S}x, y \ in S , d (x, y) {\ displaystyle d (x, y)}d (x, y) >ε.

метрическое пространство (E, d) {\ displaystyle (E, d)}(E, d) называется равномерно дискретным, если существует «радиус упаковки» r>0 {\ displaystyle r>0}r>0 таким образом, что для любого x, y ∈ E { \ displaystyle x, y \ in E}x, y \ in E , один имеет либо x = y {\ displaystyle x = y}x=y, либо d (x, y)>r {\ displaystyle d (x, y)>r}d(x,y)>r . Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, без равномерной дискретности метрики: например, обычная метрика на множестве {1, 1/2, 1/4, 1/8,...} действительных чисел.

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно является равномерно дискретным

Пусть X = {1, 1/2, 1/4, 1/8,...}, рассмотрим это множество, используя обычную метрику для действительных чисел. Тогда X - дискретное пространство, поскольку для каждой точки 1/2 мы можем окружить его интервалом (1/2 -, 1/2 + ɛ), где ɛ = 1/2 (1/2 - 1 / 2) = 1/2. Пересечение (1/2 - ɛ, 1/2 + ɛ) ∩ {1/2} - это просто синглтон {1/2}. Поскольку пересечение двух открытых множеств открыто, а одиночные множества открыты, отсюда следует, что X - дискретное пространство.

Однако X не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять, почему, предположим, что существует r>0 такое, что d (x, y)>r всякий раз, когда x ≠ y. Достаточно показать, что в X есть по крайней мере две точки x и y, которые ближе друг к другу, чем r. Поскольку расстояние между соседними точками 1/2 и 1/2 равно 1/2, нам нужно найти n, удовлетворяющее этому неравенству:

1/2 n + 1 < r {\displaystyle 1/2^{n+1}1/2 ^ {n + 1} <r

1 < r 2 n + 1 {\displaystyle 11 <r2 ^ {n + 1}

1 / r < 2 n + 1 {\displaystyle 1/r<2^{n+1}}1 / r <2 ^ {n + 1}

log 2 ⁡ (1 / r) < n + 1 {\displaystyle \log _{2}(1/r)\ log _ {2} (1 / r) <n + 1

- log 2 ⁡ (r) < n + 1 {\displaystyle -\log _{2}(r)- \ log _ {2} (r) <n + 1

- 1 - log 2 ⁡ (r) < n {\displaystyle -1-\log _{2}(r)-1- \ log _ {2} (r) <n

Поскольку всегда существует n больше любого заданного действительного числа, отсюда следует, что всегда будет по крайней мере, две точки в X, которые ближе друг к другу, чем любое положительное r, поэтому X не является равномерно дискретным....

Свойства

Базовая однородность на дискретном метрическом пространстве - это дискретная однородность, а основная топология на дискретном однородном пространстве - это дискретная топология. Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом. С другой стороны, основная топология недискретного равномерного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство X: = {1 / n: n = 1,2,3,...} (с метрикой, унаследованной от вещественной строки и заданной как d (x, y) = | х - у |). Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство. Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство. Мы говорим, что X топологически дискретно, но не равномерно дискретно или метрически дискретно.

Дополнительно:

  • топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
  • Топологическое пространство является дискретным тогда и только тогда, когда его синглтоны открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда он не содержит никаких точек накопления.
  • Синглтоны образуют базис для дискретной топологии.
  • A равномерное пространство X дискретно тогда и только тогда, когда диагональ {(x, x): x находится в X} является окружением.
  • . Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделения ; в частности, каждое дискретное пространство Хаусдорфа, то есть разделено.
  • Дискретное пространство компактное тогда и только тогда, когда это конечное.
  • Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полное.
  • Сочетание двух вышеупомянутых фактов показывает, что каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
  • Каждое дискретное метрическое пространство ограничено.
  • Каждое дискретное пространство подсчитывается первым ; кроме того, это подсчитываемое по секундам тогда и только тогда, когда оно подсчитываемое.
  • Каждое дискретное пространство полностью отключено.
  • Каждое непустое дискретное пространство является второй категорией.
  • Любые два дискретных пространства с одинаковой мощностью являются гомеоморфными.
  • Каждое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
  • Конечное пространство метризуемо, только если оно дискретно.
  • Если X - топологическое пространство, а Y - множество, несущее дискретную топологию, то X равномерно покрывается X × Y (карта проекции является желаемым покрытием)
  • топология подпространства на целых числах в качестве подпространства вещественной строки является дискретной топологией.
  • Дискретное пространство разделяется тогда и только тогда, когда оно счетно.

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство является непрерывной, а любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство является равномерно непрерывной. То есть дискретное пространство X свободно на множестве X в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, в котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.

С метрическими пространствами дело обстоит сложнее, потому что существует несколько категорий метрических пространств, в зависимости от того, что выбрано для морфизмов. Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или все непрерывные отображения, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре, только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых отображений, и оно свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является липшицевым, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное 1, является короткой.

Если пойти в другом направлении, функция f из топологического пространства Y в дискретное пространство X будет непрерывной тогда и только тогда, когда она локально постоянна в том смысле, что каждая точка в Y имеет окрестности, в которой f постоянна.

Использует

Дискретная структура часто используется в качестве «структуры по умолчанию» для набора, который не несет никакой другой естественной топологии, единообразия или метрики; дискретные структуры часто можно использовать в качестве «крайних» примеров для проверки определенных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу, задав ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. В самом деле, аналитики могут называть обычные, нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, «дискретными группами ». В некоторых случаях это может быть полезно, например, в сочетании с двойственностью Понтрягина. 0-мерное многообразие (дифференцируемое или аналитическое многообразие) есть не что иное, как дискретное топологическое пространство. Следовательно, мы можем рассматривать любую дискретную группу как 0-мерное группу Ли.

A произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел is гомеоморфно пространству иррациональных чисел, с гомеоморфизмом, заданным разложением непрерывной дроби. Произведение счетно бесконечных копий дискретного пространства {0,1} гомеоморфно канторовскому множеству ; и фактически равномерно гомеоморфно набору Кантора, если мы используем на произведении. Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. пространство Кантора.)

В основах математики исследование свойств компактности продуктов из {0,1} центральное место в топологическом подходе к принципу ультрафильтра, который является слабой формой выбора.

Недискретных пространств

В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией), которая имеет наименьшее возможное количество открытых множеств (только пустой набор и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, недискретная топология является окончательной или cofree : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство является непрерывной и т. Д.

См. Также
Ссылки
  1. ^Pleasants, Peter AB (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы для вырезания и проектирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах. Серия монографий CRM. 13 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. С. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8. Zbl 0982.52018.
Последняя правка сделана 2021-05-17 08:48:13
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте