Внешняя ковариантная производная

редактировать

В математике внешняя ковариантная производная является аналогом внешней производной, которая учитывает наличие связи.

Содержание

1 Определение
2 Внешняя ковариантная производная для векторных расслоений
3 Пример
4 Примечания
5 Ссылки

Определение

Пусть G - группа Ли, а P → M - главное G-расслоение на гладком многообразии М. Предположим, есть соединение на P; это дает естественное разложение прямой суммы $T u P = H u ⊕ V u {\ displaystyle T_ {u} P = H_ {u} \ oplus V_ {u}}$ $T_ {u} P = H_ {u} \ oplus V_ {u}$ каждого касательного пространства на подпространства горизонтальный и вертикальный. Пусть $h: T u P → H u {\ displaystyle h: T_ {u} P \ to H_ {u}}$ $h: T_ {u} P \ to H_ {u}$ будет проекцией на горизонтальное подпространство.

Если ϕ является k-формой на P со значениями в векторном пространстве V, то ее внешняя ковариантная производная Dϕ является формой, определяемой

D ϕ (v 0, v 1,…, vk) знак равно d ϕ (hv 0, hv 1,…, hvk) {\ displaystyle D \ phi (v_ {0}, v_ {1}, \ dots, v_ {k}) = d \ phi ( hv_ {0}, hv_ {1}, \ dots, hv_ {k})}

D \ phi (v_ {0}, v_ {1 }, \ dots, v_ {k}) = d \ phi (hv_ {0}, hv_ {1}, \ dots, hv_ {k})

где v i - касательные векторы к P в точке u.

Предположим, что ρ: G → GL (V) - представление группы G в векторном пространстве V. Если ϕ эквивариантно в том смысле, что

R g ∗ ϕ знак равно ρ (g) - 1 ϕ {\ displaystyle R_ {g} ^ {*} \ phi = \ rho (g) ^ {- 1} \ phi}

R_ {g} ^ {* } \ phi = \ rho (g) ^ {{- 1}} \ phi

где $R g (u) = ug {\ displaystyle R_ {g} (u) = ug}$ $R_ {g} (u) = ug$ , тогда Dϕ является тензорной (k + 1) -формой на P типа ρ: это эквивариантный и горизонтальный (форма ψ горизонтальна, если ψ (v 0,..., v k) = ψ (hv 0,..., hv k).)

Из-за злоупотребления обозначениями дифференциал ρ в единичном элементе снова может быть обозначен как ρ:

ρ: g → gl (V). {\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V).}

\ rho: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V).

Пусть $ω {\ displaystyle \ omega}$ $\ omega$ будет соединение в одной форме и $ρ (ω) {\ displaystyle \ rho (\ omega)}$ $\ rho (\ omega)$ представление соединения в $gl (V). {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V).}$ ${\ mathfrak {gl}} (V).$ То есть $ρ (ω) {\ displaystyle \ rho (\ omega)}$ $\ rho (\ omega)$ - это $gl (V) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$ ${\ mathfrak {gl}} (V)$ -значная форма, исчезающая в горизонтальном подпространстве. Если ϕ тензорная k-форма типа ρ, то

D ϕ = d ϕ + ρ (ω) ⋅ ϕ, {\ displaystyle D \ phi = d \ phi + \ rho (\ omega) \ cdot \ phi,}

D \ phi = d \ phi + \ rho (\ omega) \ cdot \ phi,

где, следуя обозначениям в алгеброзначной дифференциальной форме Ли § Операции, мы написали

(ρ (ω) ⋅ ϕ) (v 1,…, vk + 1) = 1 (1 + k)! Σ sign ⁡ (σ) ρ (ω (v σ (1))) ϕ (v σ (2),…, v σ (k + 1)). {\ displaystyle (\ rho (\ omega) \ cdot \ phi) (v_ {1}, \ dots, v_ {k + 1}) = {1 \ over (1 + k)!} \ sum _ {\ sigma} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ rho (\ omega (v _ {\ sigma (1)})) \ phi (v _ {\ sigma (2)}, \ dots, v _ {\ sigma (k + 1)}).}

{\ displaystyle (\ rho (\ omega) \ cdot \ phi) (v_ {1}, \ dots, v_ { k + 1}) = {1 \ over (1 + k)!} \ sum _ {\ sigma} \ operatorname {sgn} (\ sigma) \ rho (\ omega (v _ {\ sigma (1)})) \ phi (v _ {\ sigma (2)}, \ dots, v _ {\ sigma (k + 1)}).}

В отличие от обычной внешней производной, которая возводит в квадрат 0, внешняя ковариантная производная этого не делает. В общем, для тензорной нулевой формы ϕ

D 2 ϕ = F ⋅ ϕ. {\ displaystyle D ^ {2} \ phi = F \ cdot \ phi.}

{\ displaystyle D ^ {2} \ phi = F \ cdot \ phi.}

где F = ρ (Ω) - представление в $gl (V) {\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} ( V)}$ ${\ mathfrak {gl}} (V)$ двумерной формы кривизны Ω. Форму F иногда называют тензором напряженности поля по аналогии с ролью, которую она играет в электромагнетизме. Обратите внимание, что D обращается в нуль для плоского соединения (т.е. когда Ω = 0).

Если ρ: G → GL (R ), то можно написать

ρ (Ω) = F = ∑ F ijeji {\ displaystyle \ rho (\ Omega) = F = \ sum {F ^ {i}} _ {j} {e ^ {j}} _ {i}}

\ rho (\ Omega) = F = \ sum {F ^ {i}} _ {j} {e ^ {j}} _ {i}

где $eij {\ displaystyle {e ^ {i}} _ {j}}$ ${e ^ {i}} _ {j}$ - это матрица с единицей в (i, j) -й записи и нулем в остальных записях. Матрица $F ij {\ displaystyle {F ^ {i}} _ {j}}$ ${F ^ {i}} _ {j}$ , элементы которой являются 2-формами на P, называется матрицей кривизны .

Внешняя ковариантная производная. для векторных расслоений

Когда ρ: G → GL (V) является представлением, можно сформировать ассоциированное расслоение E = P × ρ V. Тогда внешняя ковариантная производная D, заданная связностью на P, индуцирует внешнюю ковариантную производную (иногда называемую внешней связностью ) на ассоциированном пучке, на этот раз с использованием символа набла :

∇: Γ (M, E) → Γ (M, T ∗ M ⊗ E) {\ displaystyle \ nabla: \ Gamma (M, E) \ to \ Gamma (M, T ^ {*} M \ otimes E)}

\ nabla: \ Gamma (M, E) \ to \ Gamma (M, T ^ {*} M \ otimes E)

Здесь Γ обозначает пространство локальных сечений векторного расслоения. Расширение осуществляется через соответствие между E-значными формами и тензорными формами типа ρ (см. тензорные формы на главных расслоениях.)

Требуя, чтобы ∇ удовлетворяло правилу Лейбница, ∇ также действует на любая форма с E-оценкой; таким образом, он задан на разложимых элементах пространства $Ω k (M; E) = Γ (Λ k (T ∗ M) ⊗ E) {\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M; E) = \ Гамма (\ Lambda ^ {k} (T ^ {*} M) \ otimes E)}$ ${\ displaystyle \ Omega ^ {k} (M; E) = \ Gamma (\ Lambda ^ {k} (T ^ {*} M) \ otimes E)}$ из $E {\ displaystyle E}$ $E$ -значные k-формы от

∇ (ω ⊗ s) знак равно (d ω) ⊗ s + (- 1) к ω ∧ ∇ s ∈ Ω к + 1 (M; E) {\ displaystyle \ nabla (\ omega \ otimes s) = (d \ omega) \ otimes s + (- 1) ^ {k} \ omega \ wedge \ nabla s \ in \ Omega ^ {k + 1} (M; E)}

{\ displaystyl e \ nabla (\ omega \ otimes s) = (d \ omega) \ otimes s + (- 1) ^ {k} \ omega \ wedge \ nabla s \ in \ Omega ^ {k + 1} (M; E)}

Для раздела s из E мы также устанавливаем

∇ X s = i X ∇ s {\ displaystyle \ nabla _ {X} s = i_ {X} \ nabla s}

\ nabla _ {X} s = i_ {X} \ nabla s

, где $i X {\ displaystyle i_ { X}}$ $i_{X}$ - это сокращение на X.

И наоборот, для данного векторного расслоения E можно взять его набор кадров, который является основным расслоением, и поэтому получить внешнее ковариантное дифференцирование на E (в зависимости от связности). Определяя тензорные формы и E-значные формы, можно показать, что

- 2 F (X, Y) s = ([∇ X, ∇ Y] - ∇ [X, Y]) s {\ displaystyle -2F (X, Y) s = \ left ([\ nabla _ {X}, \ nabla _ {Y}] - \ nabla _ {[X, Y]} \ right) s}

{\ displaystyle -2F (X, Y) s = \ left ([\ nabla _ {X}, \ nabla _ {Y}] - \ nabla _ {[X, Y]} \ right) s}

что можно легко распознать как определение тензора кривизны Римана на римановых многообразиях.

Пример

второе тождество Бьянки, которое говорит, что внешняя ковариантная производная Ω равна нулю (то есть DΩ = 0) можно записать как: $d Ω + ad ⁡ (ω) ⋅ Ω = d Ω + [ω ∧ Ω] = 0 {\ displaystyle d \ Omega + \ operatorname {ad} (\ omega) \ cdot \ Omega = d \ Omega + [\ omega \ wedge \ Omega] = 0}$ ${\ displaystyle d \ Omega + \ operatorname {ad} (\ omega) \ cdot \ Omega = d \ Omega + [\ omega \ wedge \ Omega] = 0}$ .

Примечания

Ссылки

Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Т. 1 (Новое изд.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.