Теорема Брауэра о неподвижной точке

Каждая непрерывная функция на компактном множестве имеет фиксированную точку

Теорема Брауэра о неподвижной точке теорема о фиксированной точке в топологии, названной в честь Л. Э. Дж. (Бертус) Брауэр. В нем говорится, что для любого непрерывной функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, отображающей compact выпуклое множество на себя, существует точка $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$такая, что $f\; (x\; 0)\; =\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\_\; \{0\})\; =\; x\_\; \{0\}\; \}$. Простейшие формы теоремы Брауэра к непрерывным функциям $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$из закрытого интервала $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$в действительных числах к самому себе или с закрытого диска $D\; \{\backslash \; displaystyle\; D\}$на себя. Более общая форма, чем последняя, ​​предназначена для непрерывных функций из выпуклого компактного подмножества $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$из евклидова пространства до самого себя.

Среди сотен теорем о фиксированной точке особенно хорошо известна теория Брауэра, отчасти благодаря ее использованию во многих областях математики. В своей исходной области этот результат является одним из основных теорем, характеризующих топологию евклидовых пространств, наряду с теоремой о кривой Жордана, теоремой о волосатом шарике и Борсуком– Теорема Улама. Это дает ему место среди основных теорем топологии. Теорема также используется для доказательства глубоких результатов о дифференциальных уравнениях и в большинстве вводных курсов по дифференциальной геометрии. Он появляется в маловероятных областях, таких как теория игр. В теореме Брауэра о неподвижной точке и ее расширении теорема Какутани о неподвижной точке играют в доказательства существования общего равновесия в рыночной экономике, разработанной в 1950-х элементами лауреатами Нобелевской программы по экономике Кеннетом Эрроу и Жераром Дебро.

Теорема была впервые изучена в связи с работой над дифференциальными уравнениями французскими математиками около Анри Пуанкаре и Шарль Эмиль Пикар. Доказательство таких результатов, как теорема Пуанкаре - Бендиксона, требует использования топологических методов. Эта работа конца XIX века открыла несколько последовательных версий теоремы. Общий случай был впервые доказан в 1910 году Жаком Адамаром и Луитценом Эгбертусом Ян Брауэр.

• 1 Утверждение
• 2 Важность предварительных условий
  • 2.1 Ограниченность
  • 2.2 Закрытость
  • 2.3 Выпуклость
  • 2.4 Примечания
• 3 Иллюстрации
• 4 Интуитивный подход
  • 4.1 Объяснения, приписываемыеуэру
  • 4.2 Одномерный случай
• 5 История
  • 5.1 Предыстория
  • 5.2 Первые
  • 5.3 Прием
• 6 Схема доказательства
  • 6.1 Доказательство с использованием степени
  • 6.2 Доказательство с использованием гомологии
  • 6.3 Доказательство с использованием теоремы Стокса
  • 6.4 Комбинаторное доказательство
  • 6.5 Доказательство Хирша
  • 6.6 Доказательство с использованием ориентированной области
  • 6.7 Доказательство с использованием шестнадцатеричной игры
  • 6.8 Доказательство с использованием теоремы Лефшеца о неподвижной точке
  • 6.9 Доказательство в слабой логической системе
• 7 Обобщения
• 8 Эквивалентные результаты
• 9 См. также
• 10 Примечания
• 11 Ссылки
• 12 Внешние ссылки

Теорема имеет несколько составов, в зависимости от контекста, в котором используется и степень его обобщения. Самый простой иногда дается следующим образом:

В плоскости

каждая непрерывная функция из замкнутого диска на себя имеет минимум одна фиксированная точка.

Это можно обобщить до произвольного конечного измерения:

В евклидовом пространстве

каждая непрерывная функция из замкнутого шара евклидова пространства в себя имеет фиксированную точку.

Немного более общая версия выглядит следующим образом:

Выпуклый компакт

каждая непрерывная функция из convex компакт подмножество K евклидова пространства до самого K имеет неподвижную точку.

Еще более общая форма более известна под другим названием:

Теорема Шаудера о неподвижной точке

каждая непрерывная функция из выпуклого компактного подмножества K банахова пространства до самого K имеет фиксированную точку.

Теорема верна только для компактных множеств (в частности, ограниченных и замкнутых) и выпуклые (или гомеоморфные выпуклым). Следующие примеры показывают, почему предварительные условия важны.

Ограниченность

Рассмотрим функцию

$f\; (x)\; =\; x\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; x\; +\; 1,\}$

, которая является непрерывной функцией от $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$самому себе. Он сдвигает каждую точку вправо, у него не может быть фиксированной точки. Пространство $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$выпукло и замкнуто, но не ограничено.

Замкнутость

Рассмотрим функцию

$f\; (x)\; =\; x\; +\; 1\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x\; +\; 1\}\; \{2\}\},\}$

, которая является непрерывной функцией от открытого интервала (-1,1) до самого себя. В этом интервале каждая точка сдвигается вправо, поэтому не может иметь фиксированную точку. Пространство (−1,1) выпукло и ограничено, но не замкнуто. Функция f имеет фиксированную точку для отрезка [-1,1], а именно f (1) = 1.

Выпуклость

Выпуклость не является строго необходимой для BFPT. Задействованные (непрерывность, установленной неподвижной точкой) инвариантны относительно гомеоморфизмов, BFPT эквивалентными формам, в которых требуется, чтобы область была замкнутым единичным шаром $D\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{n\}\}$. По же причине это справедливо для любого числа, гомеоморфного замкнутому шару (и, следовательно, также замкнутому, ограниченному, соединенному, без дырок и т. Д.).

В следующем примере показано, что BFPT не работает для доменов с дырами. Рассмотрим функцию $f\; (x)\; =\; -\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; -\; x\}$, которая является непрерывной функцией единичной окружности к самой себе. Устранение неисправностей в любой точке, где установлена ​​стационарная точка. Аналогичный пример работает для n-мерной сферы (или любой симметричной области, не имеющей начало координат). Единичная окружность замкнута и ограничена, но в ней есть отверстие (поэтому она не выпуклая). Функция f действительно имеет фиксированную точку для единичного диска, поскольку она берет начало координат в себя.

Формальное обобщение BFPT для областей "без дырок" можно вывести из теоремы Лефшеца о неподвижной точке.

Примечания

Непрерывная функция в теореме не требуется быть биективным или даже сюръективным.

Теорема имеет несколько иллюстраций из «реального мира». Вот несколько примеров.

1. Возьмите два листа миллиметровой бумаги одинакового размера с системой координат на них, положите один на стол. бумага не выходит за пределы плоской. Тогда будет по крайней мере одна точка смятого листа, которая будет находиться непосредственно над точкой (то есть точкой с теми же координатами плоского листа. Это является следствием случая n = 2 теоремы Брауэра, примененного к непрерывной карте, которая присваивает координатам каждую точку смятого листа координаты плоского листа непосредственно под ним точки.

2. Возьмите обычную карту страны и предположите, что эта карта выложена на столе внутри этой страны. На карте всегда будет точка «Вы здесь», которая представляет ту же точку в стране.

3. В трех измерениях следования теоремы Брауэра фиксированной точкой является то, что независимо от того, сколько вы перемешиваете коктейль в стакане (или думаете о молочном коктейле), когда жидкость остановится, какая-то точка в жидкости точно в том же месте в стакане, Предусмотренное положение каждой точки непрерывной функции ее исходного положения, что и до того, как вы предприняли какое-либо действие, предполагаемое, что конечное положение каждой точки непрерывной функции ее исходного положения. объем. Заказ коктейля встряхивать, а не перемешивать отменяет условие выпуклости («встряхивание» определяется как динамическая серия невыпуклых состояний удержания в свободном свободном пространстве над крышкой). В этом случае теорема неприменима, таким образом, все точки распределения жидкости смещаются из исходного состояния.

Объяснения, приписываемые Брауэру

Предполагается, что эта теорема возникла из наблюдения Брауэра над чашкой кофе. Чтобы растворить кусок камня, камень, который всегда есть точка, которая не движется. Он пришел к выводу, что в любой момент на поверхности есть точка, которая не движется. Фиксированная точка не является обязательной точкой, которая кажется неподвижной, поскольку центр турбулентности немного перемещается. Результат не является интуитивно понятным, поскольку исходная фиксированная точка может стать подвижной, когда появится другая фиксированная точка.

Говорят, что Брауэр добавил: «Я могу обозначить этот великолепный результат по-разному, я беру горизонтальный лист и другой идентичный, который я сминаю, сплющиваю и кладу на другой. Затем точка скомканного листа находится в том же месте ". Брауэр« расплющивает »лист, как утюг, не убирая складок и складок. В отличие от примера с кофейной чашкой, пример мятой бумаги также демонстрирует, что может существовать более Это отличает результат Брауэра от других теорем о неподвижной точке, таких как Стефана Банаха, которые гарантируют уникальность.

Одномерный случай

В одном измерении результата интуитивно понятен и легко доказывается. Непрерывная функция функция определена на отрезке [a, b] и принимает значения в том же интервале. Сказать, что эта функция имеет фиксированную точку, означает сказать, что ее график (темно-зеленый на рисунке справа) пересекает функции графика, определенный на том. же интервале [a, b], который отображает x в x (светло-зеленый).

Интуитивно понятно, что любая непрерывная линия от левого края квадрата до правого края обязательно должна пересекать зеленую диагональ. доказать это, рассмотрим функцию g, которая отображает x в f (x) - x. Это ≥ 0 на a и ≤ 0 на b. По теореме о промежуточном значении, g имеет ноль в [a, b]; этот ноль - неподвижная точка.

Говорят, что Брауэр выразил это следующим образом: «Вместо того, чтобы исследовать поверхность, мы докажем теорему о куске струны. Давайте начнем со струны в развернутом состоянии, а сложим ее заново. Пусть Мы сгладим перевернутую строку. Опять же, точка строки не изменила положение относительно исходного положения на развернутой строке. "

Теорема Брауэра о неподвижной точке была одной из ранних достижений алгебраической топологии и используются более общими теоремы о фиксированной точке, которые важны в функциональном тесте. Случай n = 3 впервые был доказан Пирсом Болем в 1904 году (опубликовано в Journal für die reine und angewandte Mathematik ). Л. Э. Дж. Брауэр в 1909 г. Жак Адамар доказал общий случай в 1910 г., а Брауэр нашел другое доказательство в том же году. 332>неконструктивными контрольными доказательствами, они противоречили интуиционистским идеалам Брауэра, хотя существуют фиксированные точки не конструктивным в смысле конструктивизма в математике, теперь используются методы приближения фиксированных точек, гарантированные теоремой Брауэра.

Предыстория

Для потоков в нео граниченной области или в области с «дырой» теорема неприменима. Теорема применима к любой области в диске, где она гарантирует наличие фиксированной точки.

понять предысторию теоремы Брауэра о неподвижной точке, нужно пройти через Чтобы дифференциальные уравнения. В конце 19 века старая проблема стабильности солнечной системы вернулась в центр внимания математического сообщества. Для ее решения потребовались новые методы. Как заметил Анри Пуанкаре, который работал над проблемой трех тел, нет никакой надежды найти точное решение: «Нет ничего более подходящего, чтобы дать нам представление о твердости задачи трех тел и вообще всех задач» динамики, где нет равномерного интеграла и ряды Болина расходятся ». Он также отметил, что поиск приближенного решения не более эффективен: «чем больше мы стремимся получить точные прибли, тем больше будет отклоняться результат в сторону возраст неточности».

Он изучил вопрос, аналогичный тому движения поверхности в чашке кофе. Что вообще можно сказать о траекториях на поверхности, оживляемой постоянным потоком ? Пуанкаре обнаружил, что можно найти в том, что мы теперь называем топологическими свойствами в области, содержащей траекторию. Если эта область компактная, то есть и закрытая, и ограниченная, то траектория либо становится стационарной, либо приближается к предельному циклу. Пуанкаре пошел еще дальше; если область такого же типа, как диск, в случае с чашкой кофе, обязательно должна быть фиксированная точка. Эта неподвижная точка инвариантна относительно всех функций, которые ставят в каждую точку исходной точки ее положение через короткий промежуток времени t. Если область представляет собой круглую полосу или если она не закрыта, то это не обязательно так.

Чтобы лучше понимать дифференциальные уравнения, родилась новая ветвь математики. Пуанкаре называл это анализом. Французская Универсальная энциклопедия определяет его как ветвь, которая «обрабатывает объекты, которые устанавливаются, если он деформируется каким-либо непрерывным образом, без разрывов». В 1886 году Пуанкаре доказал результат, эквивалентный теореме Брауэра о неподвижной точке, хотя связь с предметом этой статьи еще не была очевидна. Чуть позже он разработал один из фундаментальных инструментов для лучшего понимания ситуации в анализе, теперь известный как фундаментальная группа или группа Пуанкаре. Этот метод можно использовать для очень компактного доказательства обсуждаемой теоремы.

Метод Пуанкаре был аналогичен методу Эмиля Пикара, современный математика, который обобщил теорему Коши - Липшица. Подход Пикарда основан на результате, который позже будет формализован другой теоремой о фиксированной точке, названной в честь Банаха. Вместо топологических свойств в этой теореме используется тот факт, что рассматриваемая функция является сжатием.

Первые доказательства

Жак Адамар помог Брауэру формализовать свои идеи.

На заре 20-го века интерес к анализу ситуации не остался незамеченным. Однако необходимость теоремы, эквивалентной обсуждаемой в этой статье, еще не была очевидна. Пирс Бол, латвийский математик, применил топологические методы к изучению дифференциальных уравнений. В 1904 году он доказал трехмерный случай нашей теоремы, но его публикация не была замечена.

Именно Брауэр, наконец, дал этой теореме свой первый патент на благородство. Его целились от целей Пуанкаре. Этот математик был вдохновлен основами математики, особенно математической логикой и топологией. Его первоначальный интерес заключался в попытке решить пятую проблему Гильберта. В 1909 году во время путешествия в Париж он встретил Анри Пуанкаре, Жака Адамара и Эмиля Бореля. Последовавшие за этим обсуждения убедили Брауэра в важности лучшего понимания евклидовых пространств и начала плодотворного обмена письмами с Адамаром. В течение следующих четырех лет он сосредоточился на доказательстве некоторых великих теорем по вопросу. В 1912 году он доказал теорему о волосатом шаре для двумерной сферы, а также тот факт, что каждое непрерывное отображение двумерного шара в себя имеет фиксированную точку. Эти два результата сами по себе не были новостью. Как заметил Адамар, Пуанкаре показала теорему, эквивалентную теореме о волосатом шарике. Революционным аспектом подход Брауэра было систематическое использование недавно разработанных инструментов, таких как гомотопия, лежащая в основе концепции группы Пуанкаре. В следующем году Адамар обобщил обсуждаемую теорему на произвольную конечную размерность, но использовал другие методы. Ганс Фройденталь комментирует роль следующим образом: «По сравнению с революционными методами Брауэра методы Адамара были очень традиционными, но участие Адамара в рождении идей Брауэра больше напоминает акушерку, чем просто зритель. "

Подход Брауэра принес свои плоды, и в 1910 году он также нашел доказательство, которое было справедливо для любого конечного измерения, а также другие ключевые теоремы, такие как инвариантность размерности. В контексте этой работы Брауэр также обобщил теорему о кривой Жордана на произвольную размерность и установил свойства, связанные со степенью непрерывного отображения. Этот раздел математики, первоначально задуманный Пуанкаре и развитый Брауэром, изменил свое название. В 1930-х годах место анализа превратилось в алгебраическую топологию.

Прием

Джон Нэш использовал теорему из теории игр, чтобы доказать существование профиля стратегии равновесия.

Теорема доказала свою ценность более чем одним способом. В течение 20 века было разработано множество теорем о неподвижной точке, и даже был назван раздел математики. Теорема Брауэра, вероятно, самая важная. Он также входит в число основополагающих теорем топологии тополо гических многообразий и часто используется для доказательства других важных результатов, таких как теорема Жордана.

Помимо теорем о неподвижной точке для более или менее сжимая функции, многие из них возникли прямо или косвенно из обсуждаемого результата. Непрерывное отображение замкнутого шара евклидова пространства на его границу не может быть тождественным на границе. Аналогично, теорема Борсука – Улама говорит, что непрерывное отображение n-мерной сферы в R имеет пару противоположных точек, которые отображаются в одну и ту же точку. В конечномерном случае теорема Лефшеца о неподвижной точке предоставила с 1926 года метод подсчета неподвижных точек. В 1930 г. теорема Брауэра о неподвижной точке была обобщена на банаховы пространства. Это обобщение известно как теорема Шаудера о неподвижной точке, результат, далее обобщенный С. Какутани на многозначные функции. Встречается также теорема и ее варианты вне топологии. Его можно использовать для доказательства теоремы Хартмана-Гробмана, которая описывает качественное поведение некоторых дифференциальных уравнений вблизи определенных положений равновесия. Точно так же теорема Брауэра используется для доказательства центральной предельной теоремы. Теорема также может быть найдена в доказательствах существования решений некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Другие области также затронуты. В теории игр Джон Нэш использовал теорему, чтобы доказать, что в игре Hex есть выигрышная стратегия для белых. В области экономики П. Бич объясняет, что некоторые обобщения теоремы показывают, что ее использование полезно для решения некоторых классических задач теории игр и в целом для равновесия (закон Хотеллинга ),финансового равновесия и неполных рынков.

Знаменитость Брауэра занимается не только с его топологической работой. Доказательства его великих топологических теорем неконструктивны, и неудовлетворенность Брауэра этим отчасти и заставила его сформулировать идею конструктивности. Он стал средством формирования математики, известным как интуиционизм, который в то время выступал против теории множеств. Брауэр отказался от своего первоначального доказательства теоремы о неподвижной точке. Первый алгоритм аппроксимации фиксированной точки был предложен Гербертом Скарфом. Тонкий аспект алгоритма Скарфа заключается в том, что он находит точку, которая почти фиксирует функцию f, но в целом не может найти точку, которая близка к реальной фиксированной точке. На математическом языке, если ε выбрано очень маленьким, алгоритм Скарфа может найти точку x, такой, что f (x) очень близко к x, то есть . Но алгоритм Скарфа нельзя использовать для поиска точки x, такой, что x очень близок к фиксированной точке: мы не можем предотвратить , где $f\; (y)\; =\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (y)\; =\; y.\}$Главное условие подразумевается под неформальной фразой «приближение к фиксированной точке».

Доказательство, использующее степень

Первоначальное доказательство Брауэра 1911 года основывалось на понятии степени непрерывного представления. Современные версии доказательства также можно найти в литературе.

Пусть $K\; =\; B\; (0)\; ¯\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; overline\; \{B\; (0)\}\}\}$обозначают замкнутый единичный шар в $R\; n\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$в центре в начале координат. Предположим просто, что $f:\; K\; \to \; K\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; K\; \backslash \; to\; K\}$непрерывно дифференцируемо. A обычное значение из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$- это точка $p\; \in \; B\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; B\; (0)\}$такой, что якобиан из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$неособен в каждой точке прообраза $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$. В частности, согласно теореме об обратной функции , каждая точка прообраза $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$лежит в $B\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; B\; (0)\}$(внутренняя часть $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$). Степень $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$при обычном значении $p\; \in \; B\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; B\; (0)\}$определяется как сумма знаков определителя Якоби элемент $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$по прообразам $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$под $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$:

$deg\; p\; \; (f)\; =\; \sum \; x\; \in \; f\; -\; 1\; (p)\; знак\; \; (det\; (D\; f\; (x))).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{deg\}\; \_\; \{p\}\; (f)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; f\; ^\; \{-\; 1\}\; (p)\}\; \backslash \; operatorname\; \{sign\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; det\; (Df\; (x))\; \backslash \; \}$

Степень - это, грубо говоря, «листов» прообраза, лежащих на небольшом открытом множестве вокруг p, при этом листе считаются противоположными, если они ориентированы противоположно. Таким образом, это обобщение номера обмотки на более высокие размеры.

Степень удовлетворяет своему гомотопической инвариантности: пусть $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$равны двум непрерывным дифференцируемым функциям и $ЧАС\; T\; (Икс)\; =\; tf\; +\; (1\; -\; t)\; g\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{t\}\; (x)\; =\; tf\; +\; (1-t)\; g\}$для $0\; \le \; T\; \le \; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; 0\; \backslash \; Leq\; T\; \backslash \; Leq\; 1\}$. Предположим, что точка $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$регулярным значением $H\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{t\}\}$для всех t. Тогда $deg\; p\; \; f\; =\; deg\; p\; \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; deg\; \_\; \{p\}\; f\; =\; \backslash \; deg\; \_\; \{p\}\; g\}$.

Если нет неподвижной точки границы $K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, тогда функция

$g\; (x)\; =\; x\; -\; f\; (x)\; sup\; x\; \in \; K\; |\; х\; -\; е\; (х)\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{xf\; (x)\}\; \{\backslash \; sup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; K\}\; \backslash \; left\; |\; xf\; (x)\; \backslash \; right\; |\}\}\}$

хорошо определен, а

$H\; (t,\; x)\; =\; x\; -\; tf\; (x)\; sup\; x\; \in \; K\; |\; х\; -\; т\; е\; (х)\; |\; \{\backslash \; Displaystyle\; H\; (t,\; x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{x-tf\; (x)\}\; \{\backslash \; sup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; K\}\; \backslash \; left\; |\; x-tf\; (x)\; \backslash \; right\; |\}\}\}$

определяет гомотопию от тождественной функции к ней. Функция идентичности степень один в каждой точке. В частности, функция идентичности имеет степень один в начале координат, поэтому $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$также имеет один в начале координат. Как следствие, прообраз $g\; -\; 1\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; (0)\}$не пустой. Элементы $g\; -\; 1\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{-\; 1\}\; (0)\}$- это в точности фиксированные точки исходной функции f.

Это требует некоторой работы, чтобы сделать его полностью общим. Определение порядка необходимо распространить на особые значения f, а затем на непрерывные функции. Более современное появление теории гомологии упрощает построение степени, и стало стандартным доказательством в литературе.

Доказательство с использованием гомологии

Доказательство использует наблюдение, что граница n-диска D - это S, сфера (n - 1) - .

Иллюстрация ретракции F

Предположим, от противного, что непрерывная функция f: D → D не имеет неподвижной точки. Это означает, что для каждой точки x в D точки x и f (x) различны. Мы можем создать новый луч от f (x) до x и следовать за, пока он не пересечет границу S (см. Иллюстрацию). Называя эту точку пересечения F (x), мы определяем функцию F: D → S, отправляющую каждую точку на диске в соответствующую точку пересечения на границе. Как частный случай, если x сам находится на границе, то точка пересечения F (x) должна быть x.

Следовательно, F - это особый тип непрерывной функции, известный как ретракция : каждая точка codomain (в данном случае S) является фиксированной точкой F.

Интуитивно кажется маловероятным, что может быть втягивание D на S, и в случае n = 1 невозможность более очевидна, потому что S (т.е. конечные точки замкнутого интервала D) являются даже не подключенными. Случай n = 2 менее очевиден, но может быть доказан с помощью основных аргументов, включающих фундаментальные группы соответствующих пространств: ретракция индуцирует инъективный гомоморфизм группы из фундаментальной группы группы S и группы D, но первая группа изоморфна Z, в то время как последняя группа тривиальна, поэтому это невозможно. .

Однако для n>2 доказать невозможность ретракции сложнее. Один из способов - использовать группы гомологий : гомология H n - 1 (D) тривиальна, а H n - 1 (S) бесконечна циклический. Это показывает, что ретракция невозможна, потому что снова ретракция индуцирует инъективный групповой гомоморфизм от последней к первой группе.

Доказательство с использованием теоремы Стокса

Чтобы доказать, что непрерывное отображение $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$имеет неподвижные точки, можно предположить, что оно гладкое, потому что если на карте нет фиксированных точек, то $F\; ϵ:\; =\; F\; \star \; \phi \; ϵ\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}:\; =\; F\; \backslash \; star\; \backslash \; varphi\; \_\; \{\backslash \; epsilon\}\}$, его (гладкая функция с достаточно малой опорой и интегральной) гладкую функцию без фиксированных точек. Как и в доказательстве с использованием гомологии, проблема сводится к доказательству отсутствия плавного отвода $F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$от шара $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$на его границу $\partial \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; B\}$. Если $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$является формой объема на границе, то по теореме Стокса,

возникает противоречие.

В более общем плане это показывает, что не существует гладкого ретракции с любого непустого гладкого ориентиру компактного разнообразия на его границу. Доказательство использования с доказательством гомологии, потому что форма $\omega \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\}$порождает группу когомологий де Рама $H\; n\; -\; 1\; (\partial \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\; ^\; \{n-1\}\; (\backslash \; partial\; B)\}$который изоморфен группе гомологии $H\; n\; -\; 1\; (\partial \; B)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{n-1\}\; (\backslash \; partial\; B)\}$по теореме де Рама.

Комбинаторное доказательство

BFPT можно доказать, используя лемму Спернера. Теперь мы дадим схему для частного случая, когда функция является функцией из стандартного n- симплекса, $\Delta \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\},\}$самому себе, где

$\Delta \; n\; =\; \{P\; \in \; R\; n\; +\; 1\; \mid \; \sum \; i\; =\; 0\; n\; P\; i\; =\; 1\; и\; P\; i\; \ge \; 0\; для\; всех\; i\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{P\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; \backslash \; mid\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{P\_\; \{i\}\}\; =\; 1\; \{\backslash \; text\; \{и\}\}\; P\_\; \{i\}\; \backslash \; geq\; 0\; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; i\; \backslash \; right\; \backslash \}.\}$

Для каждой точки $P\; \in \; \Delta \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; in\; \backslash \; Дельта\; ^\; \{n\},\}$также $f\; (P)\; \in \; \Delta \; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P)\; \backslash \; in\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\}.\}$Следовательно, сумма их координат равна:

$\sum \; i\; =\; 0\; n\; P\; i\; =\; 1\; =\; \sum \; i\; =\; 0\; nf\; (P)\; я\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{P\_\; \{i\}\}\; =\; 1\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{n\}\; \{f\; (P)\; \_\; \{i\}\}\}$

Следовательно, по принципу "голубятни", для каждого $P\; \in \; \Delta \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \backslash \; in\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\},\}$должен быть индекс $j\; \in \; \{0,\dots ,\; N\}\; \{\backslash \; displaystyle\; j\; \backslash \; in\; \backslash \; \{0,\; \backslash \; ldots,\; n\; \backslash \}\}$такой, что $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$th координата $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$больше или равно $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$-й координате его изображения под f:

$P\; j\; \ge \; f\; (P)\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; P\_\; \{j\}\; \backslash \; geq\; f\; (P)\; \_\; \{j\}.\}$

Более того, если $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$лежит на k-мерной суб-грани $\Delta \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\},\}$тогда с помощью того же аргумента индекса $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$может быть выбран из k + 1 координаты, которые не равны нулю на этой суб-грани.

Теперь мы используем этот факт для построения раскраски Спернера. Для каждой триангуляции $\Delta \; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; ^\; \{n\},\}$цвет каждой вершины $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$является индексом $j\; \{\backslash \; displaystyle\; j\}$такое, что $f\; (P)\; j\; \le \; P\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P)\; \_\; \{j\}\; \backslash \; leq\; P\_\; \{j\}.\}$

По построению это раскраска Спернера. Следовательно, по лемме Спернера n-мерный симплекс, вершины которого раскрашены всем набором из n + 1 доступных цветов.

в режиме непрерывен, этот симплекс можно сделать сколь угодно малым, выбрав сколь угодно точную триангуляцию. Следовательно, должна быть точка $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$, которая удовлетворяет условию маркировки во всех координатах: $f\; (P)\; j\; \le \; P\; j\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P)\; \_\; \{j\; \}\; \backslash \; leq\; P\_\; \{j\}\}$для всех $j.\; \{\backslash \; displaystyle\; j.\}$

Потому что сумма координат $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$и $f\; (P)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P)\}$Должны быть равны. Но это означает, что:

$f\; (P)\; =\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (P)\; =\; P.\}$

То есть $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$является фиксированная точка $f.\; \{\backslash \; displaystyle\; f.\}$

Доказательство Хирша

Существует также быстрое доказательство Морриса Хирша, основанное на невозможности дифференцируемой ретракции. косвенное доказательство начинается с отметки, что карта f может быть аппроксимирована гладкой картой, сохраняющей свойство не фиксировать точку; это можно сделать, например, с помощью аппроксимационной теоремы Вейерштрасса. Затем определяется ретракция, как указано выше, которая теперь должна быть дифференцируемой. Такая ретракция должна иметь неособое значение по теореме Сарда, которая также не является сингулярной для ограничения на границу (что является просто тождеством). Таким образом, прообраз будет 1-многообразием с краем. Граница должна содержать по крайней мере две конечные точки, обе из которых должны лежать на границе исходного шара, что невозможно при ретракции.

Р. Брюс Келлог, Тьен-Иен Ли и Джеймс А. Йорк превратили доказательство Хирша в вычислимое доказательство, заметив, что ретракт на самом деле определен везде, кроме фиксированных точек. Почти для любой точки q на границе (при условии, что это не неподвижная точка) существует одно многообразие с краем, упомянутым выше, и единственная возможность состоит в том, что оно ведет от q к фиксированной точке. Проследить такой путь от q до фиксированной точки - простая численная задача, так что метод по существу вычислим. дал концептуально аналогичную версию доказательства гомотопии, которая распространяется на широкий круг связанных проблем.

Доказательство с использованием ориентированной области

Вариант предыдущего доказательства не использует теорему Сарда и выглядит следующим образом. Если $r:\; B\; \to \; \partial \; B\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; двоеточие\; B\; \backslash \; to\; \backslash \; partial\; B\}$является плавным втягиванием, рассматривается плавная деформация $gt\; (x):\; =\; tr\; (\; x)\; +\; (1\; -\; t)\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{t\}\; (x):\; =\; tr\; (x)\; +\; (1-t)\; x,\}$и гладкая функция

$\phi \; (t):\; =\; \int \; B\; det\; D\; gt\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (t):\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{B\}\; \backslash \; det\; Dg\; ^\; \{t\}\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Дифференцируя под знаком интеграла, нетрудно проверить, что φ ′ ( t) = 0 для всех t, поэтому φ - постоянная функция. Противоречие, поскольку φ (0) - это n-мерный объем шара, а φ (1) - ноль. Геометрическая идея состоит в том, что φ (t) - это ориентированная площадь g (B) (то есть мера Лебега образа шара через g с учетом кратности и ориентации) и должна оставаться постоянной (как есть очень ясно в одномерном случае). С другой стороны, когда параметр t переходит от 0 к 1, отображение g непрерывно преобразуется из тождественного отображения мяча в ретракцию r, что является противоречием, поскольку ориентированная область тождества совпадает с объемом шара., в то время как ориентированная область r обязательно равна 0, так как его изображение является границей шара, набора нулевой меры.

Доказательство, использующее гексагон игры

Совершенно другое доказательство, данное Дэвидом Гейлом, основано на игре Шестнадцатеричный. Основная теорема о Hex заключается в том, что ни одна игра не может закончиться ничьей. Это эквивалентно теореме Брауэра о неподвижной точке для размерности 2. Рассматривая n-мерные версии Hex, можно в общем доказать, что теорема Брауэра эквивалентна теореме определенности для Hex.

Доказательство с использованием теоремы Лефшеца о неподвижной точке

Теорема Лефшеца о неподвижной точке утверждает, что если непрерывное отображение конечного симплициального комплекса B в себя имеет только изолированные неподвижные точки, то число неподвижных точек с кратностью (которая может быть отрицательной) представляет собой Лефшеца

$\sum \; n\; (-\; 1)\; n\; Tr\; \; (f\; |\; H\; n\; (B))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; (-\; 1)\; ^\; \{n\}\; \backslash \; operatorname\; \{Tr\}\; (f\; |\; H\_\; \{n\}\; (B))\}$

и, в частности, если число Лефшеца не равно нулю, то f должно иметь фиксированную точку. Если B - шар (или, в более общем смысле, стягиваемый), то число Лефшеца равно единице, потому что единственная ненулевая группа гомологий: $H\; 0\; (B)\; \{\backslash \; displaystyle\; H\_\; \{0\}\; (B)\}$и работает как тождество в этой группе, поэтому f имеет неподвижную точку.

Доказательство в слабой логической системе

В обратном математике теорема Брауэра может быть доказана в системе WKL 0 и наоборот, в системе RCA 0 Теорема Брауэра для квадрата следует слабая лемма Кёнига, так что это дает точное описание силы теоремы Брауэра.

Теорема Брауэра о неподвижной точке образует отправную точку ряда более общих теорем о неподвижной точке.

Прямое обобщение до бесконечных измерений, т. Е. С использованием шар произвольного гильбертова пространства вместо евклидова пространства, неверно. Основная проблема здесь в том, что единичные шары бесконечномерных гильбертовых пространств не компактны. Например, в гильбертовом пространстве ℓ вещественных (или комплексных) последовательностей, суммируемых с квадратом, рассмотрим отображение f: ℓ → ℓ, которое представляет собой последовательность (x n) из замкнутого единичного шар в соответствии (y n), определенную как

$y\; 0\; =\; 1\; -\; \Vert \; x\; \Vert \; 2\; 2\; и\; yn\; =\; xn\; -\; 1\; для\; n\; \ge \; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1\; -\; \backslash \; |\; х\; \backslash \; |\; \_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; qquad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; qquad\; y\_\; \{n\}\; =\; x\_\; \{n-1\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; \backslash \; quad\; n\; \backslash \; geq\; 1.\}$

Нетрудно проверить, что эта карта непрерывна, имеет свой образ в единичной сфере, но не имеет неподвижной точки.

Обобщения теоремы Брауэра о неподвижной точке на бесконечном пространстве, таким образом, все включают в себя предположение компактности, а также часто предположение о выпуклости. См. теоремы о неподвижной точке в бесконечном пространствех для обсуждения этих теорем.

Существует также общее обобщение более широкого класса пространств: если $X\; \{\backslash \; displaystyle\; X\}$является произведением конечного числа цепных континуумов, то каждая непрерывная функция $f:\; X\; \to \; X\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; X\; \backslash \; rightarrow\; X\}$имеет фиксированную точку, где цепной континуум представляет собой (обычно, но в этом случае не обязательно метрика ) компактное пространство Хаусдорфа, из которого каждое открытая крышка имеет конечное открытое уточнение $\{U\; 1,\dots ,\; U\; m\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{U\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; U\_\; \{\; m\}\; \backslash \}\}$, такие, что $U\; i\; \cap \; U\; j\; \ne \; \varnothing \; \{\backslash \; displaystyle\; U\_\; \{i\}\; \backslash \; cap\; U\_\; \{j\}\; \backslash \; neq\; \backslash \; emptyset\}$тогда и только тогда, когда $|\; i\; -\; j\; |\; \le \; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; |\; я-J\; |\; \backslash \; Leq\; 1\}$. Примеры цепных континуумов включают компактные связные линейно упорядоченные пространства и, в частности, отрезки действительных чисел.

Теорема Какутани о неподвижной точке обобщает теорему Брауэра о неподвижной точке в направлении: она остается в R, но считает верхний полунепрерывным многозначные функции (функции, которые присваивают каждую точку набора подмножество набора). Также это требует компактности и выпуклости набора.

наличие Теорема Лефшеца о неподвижной точке применяется к (почти) произвольным компактным топологическим пространствам и дает условие в терминах сингулярных гомологий, которое гарантирует это неподвижных точек; это условие тривиально выполнено в любом формате представления в случае D.

Существует несколько теорем о неподвижной точке, которые представлены в трех эквивалентных вариантах: алгебраическая топология вариант, вариант и вариант покрытия. Каждый вариант можно доказать отдельно, используя совершенно разные аргументы, но каждый вариант также можно свести к другим вариантам в своем ряду. Кроме того, каждый результат в верхней строке может быть выведен из результата под ним в том же столбце.

Алгебраическая топология	Комбинаторика	Множество, покрывающее
Теорема Брауэра о фиксированной точке	Лемма Спернера	Лемма Кнастера - Куратовского - Мазуркевича
- Теорема Борьба 503>Лемма Такера	Теорема Люстерника - Шнирельмана

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Бесконечные композиции аналитических функций
• равновесие по Нэшу
• Теорема Пуанкаре - Миранды - эквивалент теоремы Брауэра о неподвижной точке
• Топологическая комбинаторика

• Чоу, Шуи Ни; Маллет-Парет, Джон; Йорк, Джеймс А. (1978). «Нахождение нулей карт: методы гомотопии, конструктивные с вероятностью единица». Математика вычислений. 32(143): 887–899. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1978-0492046-9. MR 0492046. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Гейл, Д. (1979). «Игра шестиугольника и теорема Брауэра о неподвижной точке». The American Mathematical Monthly. 86 (10): 818–827. doi : 10.2307 / 2320146. JSTOR 2320146.
• Хирш, Моррис У. (1988). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0.(см. Стр. 72–73 для доказательства Хирша, использующего отсутствие дифференцируемой ретракции)
• Истрэшеску, Василий И. (1981). Теория неподвижной точки. Математика и ее приложения. 7 . Dordrecht - Boston, MA: D. Reidel. ISBN 978-90 -277-1224-0. MR 0620639.
• Карамардян С., изд. (1977). Фиксированные точки: алгоритмы и приложения. Academic Press. ISBN 978-0-12- 398050-2.
• Келлог, Р. Брюс; Ли, Тьен-Йен.; Йорк, Джеймс А. (1976). «Конструктивное доказательство теоремы Брауэра о неподвижной точке и результаты вычислений». SIAM Journa l по численно у анализу. 13(4): 473–483. doi : 10.1137 / 0713041. MR 0416010. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Леони, Джованни (2017). A Первый курс в пространствех Соболева: второе издание. Аспирантура по математике. 181 . Американское математическое общество. Стр. 734. ISBN 978-1-4704-2921-8
• Соболев, Владимир И. (2001) [ 1994], Математическая энциклопедия, EMS Press

• Брауэра Теорема о фиксированной точке для треугольников в узлом
• теореме Брауэра, из PlanetMath с приложенным доказателем.
• Реконструкция Брауэра на MathPages
• Теорема Брауэра о фиксированной точке в Math Images.