Экзотический R

редактировать

В математике, exotic $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4 }}$ $\ R ^ 4$ - дифференцируемое многообразие, которое гомеоморфно, но не диффеоморфно евклидовому пространству $R 4. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$ Первые примеры были найдены в 1982 году Майклом Фридманом и другими, когда использовалось различие между теоремами Фридмана о топологических 4- многообразий и теорем Саймона Дональдсона о гладких 4-многообразиях. Существует континуум недиффеоморфных дифференцируемых структур из $R 4, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$ как был впервые показан Клиффордом Таубсом.

. До этой конструкции уже было известно о существовании недиффеоморфных гладких структур на сферах - экзотических сфер, хотя вопрос существование таких структур для частного случая 4-сферы оставалось открытым (и остается открытым по состоянию на 2019 год). Для любого положительного целого числа n, отличного от 4, на $R n нет экзотических гладких структур; {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n};}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n};}$ другими словами, если n ≠ 4, то любое гладкое многообразие, гомеоморфное $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n }}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ диффеоморфен $R n. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ $\ mathbb {R} ^ {n}.$

Содержание

1 Маленькая экзотика Rs
2 Большая экзотика Rs
3 Связанные экзотические структуры
4 См. также
5 Примечания
6 Ссылки

Маленькая экзотика Rs

Экзотика $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ называется small, если она может быть плавно вложен как открытое подмножество стандарта $R 4. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Небольшой экзотический $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ можно построить, начав с нетривиальный гладкий 5-мерный h- кобордизм (который существует благодаря доказательству Дональдсона, что теорема о h-кобордизме не работает в этой размерности) и с использованием теоремы Фридмана о том, что теорема о топологическом h-кобордизме держится в этом измерении.

Большой экзотический Rs

Экзотический $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ называется большим, если он не может быть плавно внедренный как открытое подмножество стандарта $R 4. {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}.}$

Примеры больших экзотических $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ могут быть построены с использованием Дело в том, что компактные 4-многообразия часто можно разбить как топологическую сумму (по работе Фридмана), но нельзя разбить как гладкую сумму (по работе Дональдсона).

Майкл Хартли Фридман и Лоуренс Р. Тейлор (1986) показали, что существует максимальная экзотическая $R 4, {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4},}$ , в который все остальные $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ могут быть плавно встроены как открытые подмножества.

Родственные экзотические структуры

Дескрипторы Кэссона гомеоморфны $D 2 × R 2 {\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2 }}$ ${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R } ^ {2}}$ по теореме Фридмана (где $D 2 {\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {D } ^ {2}}$ - замкнутый единичный круг), но из теоремы Дональдсона следует, что не все они диффеоморфны $D 2 × R 2. {\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}.}$ Другими словами, некоторые ручки Кассона экзотичны $D 2 × R 2. {\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}.}$

Неизвестно (по состоянию на 2017 год), существуют ли какие-нибудь экзотические 4-сферы; такая экзотическая 4-сфера была бы контрпримером к гладкой обобщенной гипотезе Пуанкаре в размерности 4. Некоторые правдоподобные кандидаты даются скручиванием Глюка.

См. также

Атлас (топология)

Примечания

^Кирби (1989), стр. 95
^Фридман и Куинн (1990), стр. 122
^Таубс (1987), теорема 1.1
^Столлингс (1962), в частности следствие 5.2

Ссылки

Фридман, Майкл Х. ; Куинн, Фрэнк (1990). Топология 4-многообразий. Принстонский математический ряд. 39 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08577-3.
Фридман, Майкл Х. ; Тейлор, Лоуренс Р. (1986). «Универсальное сглаживание четырехмерного пространства». Журнал дифференциальной геометрии. 24 (1): 69–78. ISSN 0022-040X. MR 0857376.
Кирби, Робион С. (1989). Топология 4-многообразий. Конспект лекций по математике. 1374 . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-51148-2.
Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3749-8.
Столлингс, Джон (1962). «Кусочно-линейная структура евклидова пространства». Proc. Cambridge Philos. Soc. 58 (3): 481–488. doi : 10,1017 / s0305004100036756.MR 0149457
Гомпф, Роберт Э. ; Стипсич, Андраш И. (1999). 4-многообразия и исчисление Кирби. Аспирантура по математике. 20. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0994-6.
Таубс, Клиффорд Генри (1987). «Калибровочная теория на асимптотически периодических 4-многообразиях». Журнал дифференциальной геометрии. 25 (3): 363–430. MR 0882829. PE 1214440981.