Обобщенная гипотеза Пуанкаре

В математической области топологии обобщенная гипотеза Пуанкаре является утверждением, что многообразие, которое является гомотопической сферой, является сферой. Точнее, фиксируется категория многообразий: топологическая (Top ), кусочно-линейная (PL) или дифференцируемая (Разница ). Тогда утверждение таково:

Каждая гомотопическая сфера (замкнутое n-многообразие, гомотопически эквивалентное n-сфере) в выбранной категории (т. Е. Топологические многообразия, PL-многообразия или гладкие многообразия) изоморфна в выбранной категории (т.е. гомеоморфные, PL-изоморфные или диффеоморфные) стандартной n-сфере.

Название происходит от гипотезы Пуанкаре, которая была сделана для (топологических или PL) многообразий измерение 3, где быть гомотопической сферой эквивалентно тому, чтобы быть односвязным и замкнутым. Обобщенная гипотеза Пуанкаре, как известно, верна или ложна в ряде случаев благодаря работе многих выдающихся топологов, включая медаль Филдса лауреатов Джон Милнор, Стив Смейл, Майкл Фридман и Григорий Перельман.

• 1 Статус
• 2 История
• 3 Экзотические сферы
• 4 PL
• 5 Ссылки

Вот краткое изложение статуса обобщенной гипотезы Пуанкаре в различных условиях.

• Верх : верно во всех измерениях.
• PL: верно во всех измерениях, кроме 4; неизвестно в размерности 4, где это эквивалентно Diff.
• Diff : обычно ложно, истинно в некоторых измерениях, включая 1,2,3,5 и 6. Первый известный контрпример относится к измерению 7. Случай размерность 4 эквивалентна PL и не определена (по состоянию на 2019 год).

Фундаментальный факт дифференциальной топологии заключается в том, что понятие изоморфизма в Top, PL и Diff одинаково в размерности 3 и ниже; в размерности 4 PL и Diff совпадают, но Top отличается. В размерности выше 6 все они различаются. В размерностях 5 и 6 каждое PL-многообразие допускает бесконечно дифференцируемую структуру, которая является так называемой совместимой по Уайтхеду.

Случай n = 1 и 2 давно известен благодаря классификации многообразий. в тех измерениях.

Для PL или гладкой гомотопической n-сферы в 1960 г. Стивен Смейл доказал для $n\; \ge \; 7\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 7\}$, что она был гомеоморфен n-сфере и впоследствии расширил свое доказательство до $n\; \ge \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 5\}$; он получил медаль Филдса за свою работу в 1966 году. Вскоре после того, как Смейл объявил о доказательстве, Джон Столлингс дал другое доказательство для размерностей не менее 7, что гомотопическая n-сфера PL является гомеоморфна n-сфере, используя понятие «поглощение». E. К. Зееман модифицировал конструкцию Столлинга для работы в измерениях 5 и 6. В 1962 году Смейл доказал, что PL-гомотопическая n-сфера PL-изоморфна стандартной PL n-сфере для n не менее 5. В 1966 г. М. HA Newman расширил PL-поглощение до топологической ситуации и доказал, что для $n\; \ge \; 5\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; \backslash \; geq\; 5\}$топологическая гомотопическая n-сфера гомеоморфна n-сфере.

Майкл Фридман раскрыл дело $n\; =\; 4\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 4\}$(вверху) в 1982 году и получил медаль Филдса в 1986 году.

Григорий Перельман рассмотрен случай $n\; =\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 3\}$(где Top, PL и Diff совпадают) в 2003 году в серии из трех статей. В августе 2006 года ему были предложены медаль Филдса и Приз тысячелетия от Математического института Клэя в марте 2010 года, но он отказался от обоих.

Обобщенная гипотеза Пуанкаре верна топологически, но плавно ложна в некоторых измерениях. Это приводит к построению многообразий, гомеоморфных, но не диффеоморфных стандартной сфере, которые известны как экзотические сферы : вы можете интерпретировать их как нестандартные гладкие структуры на стандартная (топологическая) сфера.

Таким образом, гомотопические сферы, созданные Джоном Милнором, гомеоморфны (Top-изоморфны и действительно кусочно линейно гомеоморфны) стандартной сфере $S\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; ^\; \{n\}\}$, но не диффеоморфны (Diff-изоморфны) ему, и поэтому являются экзотическими сферами : их можно интерпретировать как нестандартные дифференцируемые структуры на стандартная сфера.

Мишель Кервер и Милнор показали, что ориентированная 7-сфера имеет 28 различных гладких структур (или 15 без учета ориентации), а в более высоких измерениях обычно есть много разных гладких структур на сфере. Предполагается, что некоторые дифференцируемые структуры на 4-сфере, называемые глюковскими скручиваниями, не изоморфны стандартной, но на данный момент нет известных инвариантов, способных различать различные гладкие структуры на 4-сфере. сфера.

Для кусочно-линейных многообразий гипотеза Пуанкаре верна, за исключением, возможно, размерности 4, где ответ неизвестен и эквивалентен гладкому случаю. Другими словами, любое компактное PL-многообразие размерности, отличной от 4, которое гомотопически эквивалентно сфере, является PL-изоморфным сфере.