Дескриптор Кассона

редактировать

В четырехмерной топологии, одном из разделов математики, Дескриптор Кассона представляет собой четырехмерную топологию 2-дескриптор, построенный бесконечной процедурой. Они названы в честь Эндрю Кассона, который представил их примерно в 1973 году. Первоначально они были названы «гибкими ручками» самим Кассоном и Майклом Фридманом (1982) ввел название «ручка Кассона», под которым они известны сегодня. В этой работе он показал, что ручки Кассона являются топологическими 2-ручками, и использовал это для классификации односвязных компактных топологических 4-многообразий.

Содержание

1 Мотивация
2 Конструкция
3 Структура
4 Список литературы

Мотивация

В доказательстве теоремы о h-кобордизме используется следующая конструкция. Для данной окружности на границе многообразия мы часто хотели бы найти диск, вложенный в это многообразие, граница которого является данной окружностью. Если многообразие односвязно, то мы можем найти отображение диска в многообразие с границей данной окружности, а если многообразие имеет размерность не менее 5, то поместив этот диск в "общее положение " это становится вложением. Число 5 появляется по следующей причине: подмногообразия размерности m и n в общем положении не пересекаются при условии, что размерность содержащего их многообразия имеет размерность больше $m + n {\ displaystyle m + n}$ $m + n$ . В частности, диск (размерности 2) в общем положении не будет иметь самопересечений внутри многообразия размерности больше 2 + 2.

Если коллектор четырехмерный, это не работает: проблема в том, что диск в общем положении может иметь двойные точки, где две точки диска имеют одинаковое изображение. Это основная причина, по которой обычное доказательство теоремы о h-кобордизме работает только для кобордизмов, граница которых имеет размерность не менее 5. Мы можем попытаться избавиться от этих двойных точек следующим образом. Нарисуйте линию на диске, соединяющую две точки с одинаковым изображением. Если изображение этой линии является границей встроенного диска (называемого диском Уитни ), то двойную точку легко удалить. Однако этот аргумент, кажется, идет по кругу: чтобы исключить двойную точку первого диска, нам нужно построить второй встроенный диск, конструкция которого включает в себя точно такую же проблему устранения двойных точек.

Идея Кэссона заключалась в том, чтобы повторять эту конструкцию бесконечное число раз в надежде, что проблемы с двойными точками каким-то образом исчезнут в бесконечном пределе.

Конструкция

Ручка Casson имеет двухмерный каркас, который можно построить следующим образом.

Начните с 2-диска $D 2 {\ displaystyle D ^ {2}}$ $D ^ {2}$ .
Определите конечное количество пар точек на диске.
Для каждой пары идентифицированных точек, выберите путь на диске, соединяющий эти точки, и постройте новый диск с границей этого пути. (Поэтому мы добавляем диск для каждой пары идентифицированных точек.)
Повторите шаги 2–3 для каждого нового диска.

Мы можем представить эти скелеты корневыми деревьями так, чтобы каждая точка была присоединена только к конечное число других точек: в дереве есть точка для каждого диска и линия, соединяющая точки, если соответствующие диски пересекаются в скелете.

A Ручка Кассона создается путем «утолщения» двумерной конструкции выше, чтобы получить четырехмерный объект: мы заменяем каждый диск $D 2 {\ displaystyle D ^ {2}}$ $D ^ {2}$ копией $D 2 × R 2 {\ displaystyle D ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle D ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$ . Неформально мы можем думать об этом как о взятии небольшой окрестности скелета (считающейся вложенной в какое-то 4-многообразие). При этом есть несколько дополнительных тонкостей: нам нужно отслеживать некоторые обрамления, а точки пересечения теперь имеют ориентацию.

Ручки Кассона соответствуют корневым деревьям, как указано выше, за исключением того, что теперь к каждой вершине прикреплен знак, указывающий ориентацию двойной точки. Мы также можем предположить, что у дерева нет конечных ветвей, поскольку конечные ветви могут быть «распутаны», поэтому не имеет значения.

Самая простая экзотическая ручка Кассона соответствует дереву, которое представляет собой полубесконечную линию точек (со всеми одинаковыми знаками). Он диффеоморфен $D 2 × D 2 {\ displaystyle D ^ {2} \ times D ^ {2}}$ ${\ displaystyle D ^ {2} \ times D ^ {2}}$ с удаленным конусом над континуумом Уайтхеда . Существует аналогичное описание более сложных ручек Кассона, где континуум Уайтхеда заменен аналогичным, но более сложным набором.

Структура

Основная теорема Фридмана о ручках Кассона утверждает, что все они гомеоморфны $D 2 × R 2 {\ displaystyle D ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle D ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$ ; или, другими словами, это топологические 2-ручки. В общем, они не диффеоморфны $D 2 × R 2 {\ displaystyle D ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle D ^ {2} \ times \ mathbb {R} ^ {2}}$ , как следует из теоремы Дональдсона, и существует бесчисленное бесконечное число различных типов диффеоморфизма ручек Кэссона. Однако внутренняя часть дескриптора Кассона диффеоморфна $R 4 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ $\ R ^ 4$ ; Ручки Casson отличаются от стандартных 2 ручек только способом крепления границы к внутренней части.

Структурная теорема Фридмана может быть использована для доказательства теоремы о h-кобордизме для 5-мерных топологических кобордизмов, из которой, в свою очередь, следует 4-мерная топологическая гипотеза Пуанкаре.

Ссылки

Гомпф, Роберт (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Кассон, Эндрю (1986), «Три лекции по новым- бесконечные конструкции в 4-мерных многообразиях ", À la recherche de la topologie perdue, Progress in Mathematics, 62, Boston, MA: Birkhäuser Boston, pp. 201–244, ISBN 0-8176-3329-4, MR 0900253
Фридман, Майкл Хартли (1982), «Топология четырехмерных многообразий», Journal of Differential Geometry, 17(3): 357–453, doi : 10.4310 / jdg / 1214437136, MR 0679066
Кирби, Робион К. (1989), Топология 4 -многообразия, конспекты лекций по математике, 1374, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0089031, ISBN 978-3-540-51148-9, MR 1001966
Скорпан, Александру (2005). Дикий мир 4-многообразий. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-3749-4.