Войти
В математике, оператор K-теории - это некоммутативный аналог топологической K-теории для банаховых алгебр с большинством приложений, используемых для C * -алгебр.
Оператор K -теория похожа на топологическую K-теорию больше, чем алгебраическую K-теорию. В частности, выполняется теорема Ботта о периодичности. Таким образом, есть только две K-группы, а именно K 0, что равно алгебраическому K 0, и K 1. Как следствие теоремы о периодичности, он удовлетворяет вырезанию. Это означает, что он ассоциируется с расширением C * -алгебр с длинной точной последовательностью, которая, согласно периодичности Ботта, сводится к точной циклической 6- термин-последовательность.
Операторная K-теория - это обобщение топологической K-теории, определенной с помощью векторных расслоений на локально компактных Хаусдорфа. пробелы. Здесь векторное расслоение над топологическим пространством X связано с проекцией в алгебре C * матричнозначной, то есть 
Следовательно, группа K 0 (не обязательно коммутативной) C * -алгебры A определяется как группа Гротендика, порожденная классами эквивалентности Мюррея-фон Неймана. проекций в K ⊗ C (X). K 0 - функтор из категории C * -алгебр и * -гомоморфизмов в категорию абелевых групп и групповых гомоморфизмов. Высшие K-функторы определяются через C * -версию подвеса: K n (A) = K 0 (S (A)), где SA = C 0 (0,1) ⊗ A.
Однако по периодичности Ботта оказывается, что K n + 2 (A) и K n (A) изоморфны для каждого n, и, таким образом, единственными группами, полученными этой конструкцией, являются K 0 и K 1.
Ключевая причина введения K-теоретических методов в изучение C * -алгебры - это индекс Фредгольма : если задан ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве, имеющий конечномерное ядро и коядро, ему можно сопоставить целое число, которое, как выясняется, отражает дефект 'на операторе - то есть в той степени, в которой он не обратим. Карта индекса Фредгольма появляется в 6-членной точной последовательности, заданной алгеброй Калкина. При анализе многообразий этот индекс и его обобщения сыграли решающую роль в теории индексов Атьи и Зингера, где топологический индекс многообразия может быть выражен через индекс эллиптических операторов на нем. Позже Браун, Дуглас и заметил, что индекс Фредгольма был недостающим ингредиентом при классификации до определенного естественного эквивалента. Эти идеи вместе с классификацией Эллиоттом AF C * -алгебр с помощью K-теории вызвали большой интерес к адаптации таких методов, как K-теория, из алгебраической топологии в изучение операторных алгебр.
Это, в свою очередь, привело к K-гомологии, бивариантной KK-теории и, совсем недавно, Конн и Электронная теория Хигсона .
