KK-теория

В математике, KK-теория является общим обобщением как K-гомологии, так и K-теории в качестве дополнения двувариантный функтор на разделимых C * -алгебрах. Это понятие было введено российским математиком в 1980 году.

На него повлияла концепция Атьи о модулях Фредгольма для теоремы Атьи – Зингера об индексе и классификация расширения C * -алгебр, разработанные Лоуренсом Г. Брауном, Рональдом Дж. Дугласом и Питером Артуром Филлмором в 1977 году., он имел большой успех в операторном алгебраическом формализме теории индекса и классификации ядерных C * -алгебр, поскольку он был ключом к решению многих проблем операторной K-теории, таких как например, простой расчет K-групп. Кроме того, это было важно в развитии гипотезы Баума – Конна и играет решающую роль в некоммутативной топологии..

За KK-теорией последовала серия аналогичных конструкций бифункторов, таких как E-теория и большинство из них, имеющие больше теоретико-категорийных разновидностей, или относящиеся к другому классу алгебр, а не к классу отделимых C * -алгебр, или включающие группу действия.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Примечания
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Следующее определение очень близко к первоначально предоставлено Каспаровым. Это форма, в которой большинство KK-элементов возникает в приложениях.

Пусть A и B сепарабельные C * -алгебры, где B также считается σ-унитальной. Множество циклов - это множество троек (H, ρ, F), где H - счетно порожденный градуированный гильбертовый модуль над B, ρ - * -представление A на H как четные ограниченные операторы, которые коммутируют с B, а F - ограниченный оператор на H степени 1, который снова коммутирует с B. От них требуется выполнение условия

$[F,\; \rho \; (a)],\; (F\; 2\; -\; 1)\; \rho \; (a),\; (F\; -\; F\; *)\; \rho \; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; [F,\; \backslash \; rho\; (a)],\; (F\; ^\; \{2\}\; -1)\; \backslash \; rho\; (a),\; (FF\; ^\; \{*\})\; \backslash \; rho\; (\; a)\}$

для a в A - все B-компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех a.

Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между A и IB, где IB обозначает C * -алгебру непрерывных функций от [0,1] до B, таких, что существует - четный унитарный оператор от 0-конца гомотопии до первого цикла и унитарный оператор от 1-конца гомотопии до второго цикла.

KK-группа KK (A, B) между A и B затем определяется как набор циклов по модулю гомотопии. Он становится абелевой группой при операции прямого суммирования бимодулей в качестве сложения и класса вырожденных модулей в качестве ее нейтрального элемента.

Существуют различные, но эквивалентные определения теории КК, в частности, определение, данное Иоахимом Кунцем, которое удаляет бимодуль и оператор Фредгольма F из рисунка и полностью ставит акцент на гомоморфизм ρ. Более точно его можно определить как набор гомотопических классов

$KK\; (A,\; B)\; =\; [q\; A,\; K\; (H)\; \otimes \; B]\; \{\backslash \; displaystyle\; KK\; (A,\; B)\; =\; [qA,\; K\; (H)\; \backslash \; otimes\; B]\}$,

* -гомоморфизмов из классифицирующей алгебры квазигомоморфизмов qA в C * -алгебру компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства с тензором B. Здесь qA определяется как ядро отображение C * -алгебраического свободного произведения A * A алгебры A с самим собой на A, определяемое тождеством обоих факторов.

Если взять C * -алгебру C комплексных чисел в качестве первого аргумента KK, как в KK (C, B) эта аддитивная группа естественно изоморфна K 0 -группе K 0 (B) второго аргумента B. С точки зрения Кунца, a K 0 -класс B есть не что иное, как гомотопический класс * -гомоморфизмов от комплексных чисел к стабилизации B. Аналогично, если взять алгебру C 0(R) непрерывных функций на вещественной прямой, убывающей на бесконечности, как первый аргумент, полученная группа KK (C 0(R), B) естественно изоморфна K 1 (B).

Важным свойством KK-теории является так называемое произведение Каспарова, или композиционное произведение,

$KK\; (A,\; B)\; \times \; KK\; (B,\; C)\; \to \; KK\; (A,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; KK\; (A,\; B)\; \backslash \; times\; KK\; (B,\; C)\; \backslash \; to\; KK\; (A,\; C)\}$,

, который является билинейным относительно структур аддитивной группы. В частности, каждый элемент KK (A, B) дает гомоморфизм K * (A) → K * (B) и другой гомоморфизм K * (B) → K * ( А).

Произведение намного проще определить в картине Кунца, учитывая, что существуют естественные отображения из QA в A и из B в K (H) ⊗ B, которые индуцируют KK-эквивалентности.

Продукт композиции дает новую категорию $KK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{KK\}\}\}$, объекты которой задаются разделимым C * -алгебры, а морфизмы между ними задаются элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой * -гомоморфизм A в B индуцирует элемент из KK (A, B), и это соответствие дает функтор из исходной категории сепарабельных C * -алгебр в $KK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{KK\; \}\}\}$. Приблизительно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в $KK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{KK\}\}\}$.

Этот функтор $C\; \ast \; -\; alg\; \to \; KK\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{C\; ^\; \{\; *\}\; \backslash !\; -\; \backslash !\; alg\}\}\; \backslash \; to\; \{\backslash \; mathsf\; \{KK\}\}\}$универсален среди гомотопически инвариантных и стабильных аддитивных функторов в категории сепарабельных C * -алгебр. Любая такая теория удовлетворяет периодичности Ботта в соответствующем смысле, поскольку $K\; K\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathsf\; \{KK\}\}\}$удовлетворяет.

Далее произведение Каспарова может быть обобщено до следующего вида:

$K\; K\; (A,\; B\; \otimes \; E)\; \times \; K\; K\; (B\; \otimes \; D,\; C)\; \to \; K\; K\; (A\; \otimes \; D,\; C\; \otimes \; E).\; \{\backslash \; displaystyle\; KK\; (A,\; B\; \backslash \; otimes\; E)\; \backslash \; times\; KK\; (B\; \backslash \; otimes\; D,\; C)\; \backslash \; to\; KK\; (A\; \backslash \; otimes\; D,\; C\; \backslash \; otimes\; E).\}$

Он содержит в качестве особых случаев не только K-теоретический продукт чашки, но также K-теоретический cap, крестообразные и наклонные продукты и произведение расширений.

• KK-теория в nLab
• Электронная теория в nLab