Гипотеза Баума – Конна

редактировать

В математике, в частности, в K-теории оператора, гипотеза Баума – Конна предполагает связь между K-теорией сокращенного C * -алгебра группы и K-гомология классифицирующего пространства собственных действий этой группы. Гипотеза устанавливает соответствие между различными областями математики, причем K-гомологии классифицирующего пространства связаны с геометрией, теорией дифференциальных операторов и теорией гомотопий, в то время как K- Теория редуцированной C * -алгебры группы - чисто аналитический объект.

Эта гипотеза, если она верна, будет иметь следствием некоторые старые известные гипотезы. Например, часть сюръективности влечет гипотезу Кадисона – Капланского для дискретных групп без кручения, а инъективность тесно связана с гипотезой Новикова.

Гипотеза также тесно связана с теория индексов, поскольку ассемблерная карта $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - это своего рода индекс, и он играет важную роль в Alain Конн 'программа некоммутативной геометрии.

Истоки гипотезы восходят к теории Фредгольма, теореме об индексе Атьи – Зингера и взаимодействию геометрии с операторной K-теорией, как это выражено в работах Брауна, Дугласа и Филмора, среди многих других мотивирующих тем.

Содержание

1 Состав
2 Примеры
3 Результаты
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Состав

Пусть Γ будет счетной секундой локально компактная группа (например, счетная дискретная группа ). Можно определить морфизм

μ: RK ∗ Γ (E Γ _) → K ∗ (C r ∗ (Γ)), {\ displaystyle \ mu: RK _ {*} ^ {\ Gamma} ({ \ underline {E \ Gamma}}) \ to K _ {*} (C_ {r} ^ {*} (\ Gamma)),}

{\ displaystyle \ mu: RK _ {*} ^ { \ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}) \ to K _ {*} (C_ {r} ^ {*} (\ Gamma)),}

называется ассемблерной картой, из эквивалента K- гомология с $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ -компактными опорами классифицирующего пространства собственных действий $E Γ _ {\ displaystyle {\ underline {E \ Gamma}}}$ $\ underline {E \ Gamma}$ к K-теории приведенной C * -алгебры алгебры Γ. Индекс индекса * может быть 0 или 1.

Поль Баум и Ален Конн выдвинули следующую гипотезу (1982) об этом морфизме:

Баум-Конн. Гипотеза. Карта сборки

μ {\ displaystyle \ mu}

\ mu

является изоморфизмом.

Поскольку левая сторона обычно более доступна, чем правая, поскольку для $C ∗ {\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ -алгебры почти нет общих структурных теорем, гипотезу обычно рассматривают как «объяснение» правой части.

Первоначальная формулировка гипотезы была несколько иной, поскольку понятие эквивариантной K-гомологии еще не было распространено в 1982 году.

В случае $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ дискретно и без кручения, левая часть сводится к неэквивариантным K-гомологиям с компактными носителями обычного классифицирующего пространства $B Γ {\ displaystyle B \ Gamma}$ $B \ Gamma$ of $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ .

Существует также более общая форма гипотезы, известная как гипотеза Баума – Конна с коэффициентами, где обе стороны имеют коэффициенты в виде $C ∗ { \ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ -алгебра $A {\ displaystyle A}$ $A$ , на которую действует $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ по $C ∗ {\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ -автоморфизмы. На языке KK сказано, что ассемблерная карта

μ A, Γ: RKK ∗ Γ (E Γ _, A) → K ∗ (A Γ λ Γ), {\ displaystyle \ mu _ {A, \ Gamma}: RKK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}, A) \ to K _ {*} (A \ rtimes _ {\ lambda} \ Gamma),}

{\ displaystyle \ mu _ {A, \ Gamma}: RKK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}, A) \ в K _ {*} (A \ rtimes _ {\ lambda} \ Gamma),}

- это изоморфизм, содержащий случай без коэффициентов, как случай $A = C. {\ displaystyle A = \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle A = \ mathbb {C}.}$

Однако контрпримеры к гипотезе с коэффициентами были найдены в 2002 году Найджелом Хигсоном, Винсентом Лаффоргом и Жоржем. Скандалис. Однако гипотеза с коэффициентами остается активной областью исследований, поскольку она, в отличие от классической гипотезы, часто рассматривается как утверждение, касающееся определенных групп или класса групп.

Примеры

Пусть $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ будет целыми числами $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ . Тогда левая часть - это K-гомология из $B Z {\ displaystyle B \ mathbb {Z}}$ $B \ Z$ , которая представляет собой круг. $C ∗ {\ displaystyle C ^ {*}}$ $C ^ *$ -алгебра целых чисел получается коммутативным преобразованием Гельфанда – Наймарка, которое в данном случае сводится к преобразованию Фурье, изоморфная алгебре непрерывных функций на окружности. Итак, правая часть - это топологическая K-теория круга. Затем можно показать, что карта сборки является KK-теоретической двойственностью Пуанкаре, как определено, что является изоморфизмом.

Результаты

Гипотеза без коэффициентов все еще открыта, хотя эта область получила большое внимание с 1982 года.

Гипотеза доказана для следующих классов групп:

Дискретные подгруппы $SO (n, 1) {\ displaystyle SO (n, 1)}$ $SO (n, 1)$ и $SU (n, 1) {\ displaystyle SU (n, 1)}$ $SU (n, 1)$ .
Группы со свойством Haagerup, иногда называемые управляемыми группами. Это группы, допускающие изометрическое действие в аффинном гильбертовом пространстве $H {\ displaystyle H}$ $H$ , что является правильным в том смысле, что $lim n → ∞ gn ξ → ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} \ xi \ to \ infty}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} g_n \ xi \ to \ infty$ для всех $ξ ∈ H {\ displaystyle \ xi \ in H}$ $\ xi \ in H$ и все последовательности элементов группы $gn {\ displaystyle g_ {n}}$ $g_{n}$ с $lim n → ∞ gn → ∞ {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n } \ to \ infty}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} g_n \ to \ infty$ . Примерами aT-управляемых групп являются изменчивые группы, группы Кокстера, группы, действующие должным образом на деревьях, и группы, действующие должным образом на односвязных $CAT (0) {\ displaystyle CAT (0)}$ $CAT (0)$ кубические комплексы.
Группы, допускающие конечное представление только с одним отношением.
Дискретные кокомпактные подгруппы вещественных групп Ли действительного ранга 1.
Кокомпактные решетки в $SL (3, R), SL (3, C) {\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R}), SL ( 3, \ mathbb {C})}$ ${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R }), SL (3, \ mathbb {C})}$ или $SL (3, Q p) {\ displaystyle SL (3, \ mathbb {Q} _ {p})}$ ${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {Q} _ {p})}$ . С первых дней существования гипотезы это была давняя проблема - выявить единственную бесконечную Т-группу, которая ей удовлетворяет. Однако такую группу дал В. Лаффорг в 1998 г., когда он показал, что кокомпактные решетки в $SL (3, R) {\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle SL (3, \ mathbb {R})}$ имеют свойство быстрого убывания и, следовательно, удовлетворяют гипотезе.
гиперболические группы Громова и их подгруппы.
Среди недискретных групп гипотеза была показана в 2003 году Дж. Чабером, С. Эхтерхофф и Р. Гнездо для обширного класса всех почти связных групп (т. Е. Групп, имеющих кокомпактную компоненту связности) и всех групп $k {\ displaystyle k}$ $k$ -рациональных точек a линейная алгебраическая группа над локальным полем $k {\ displaystyle k}$ $k$ с нулевой характеристикой (например, $k = Q p {\ displaystyle k = \ mathbb {Q} _ {p}}$ ${\ displaystyle k = \ mathbb {Q} _ {p}}$ ). Для важного подкласса реальных редуктивных групп гипотеза уже была продемонстрирована в 1987 году Энтони Вассерманом.

Инъективность известна для гораздо более широкого класса групп благодаря двойственному Дираку методу Дирака. Это восходит к идеям Майкла Атьи и было развито в целом в 1987 году. Инъективность известна для следующих классов:

Дискретные подгруппы связных групп Ли или виртуально связанные группы Ли.
Дискретные подгруппы p-адических групп.
Болические группы (некоторое обобщение гиперболических групп).
Группы, допускающие аменабельное действие на некотором компактном пространстве.

Простейший пример группы, для которой неизвестно, удовлетворяет ли она предположению, является $SL 3 (Z) {\ displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$ $SL_3(\Z)$ .

Ссылки

^Библиографические данные MathSciNet

Мислин, Гвидо и Валетт, Ален (2003), Правильные групповые действия и гипотеза Баума – Конна, Базель: Биркхойзер, ISBN 0-8176-0408-1.
Валетт, Ален ( 2002), Введение в гипотезу Баума-Конна, Базель: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

Внешние ссылки

О гипотезе Баума-Конна Дмитрия Мацнева.