Классификация алгебр Клиффорда

В абстрактной алгебре, в частности в теории невырожденных квадратичные формы на векторных пространствах, структуры конечномерных вещественных и сложных алгебр Клиффорда для невырожденной квадратичной формы были полностью классифицированы. В каждом случае алгебра Клиффорда алгебра изоморфна полному кольцу матриц над R, Cили H (кватернионы ), или к прямой сумме двух копий такой алгебры, хотя и не каноническим способом. Ниже показано, что различные алгебры Клиффорда могут быть алгебро-изоморфными, как в случае Cl 2,0 (R) и Cl 1,1 (R), что оба изоморфны кольцу матриц два на два над действительными числами.

• 1 Обозначения и условные обозначения
• 2 Периодичность Ботта
• 3 Сложный случай
• 4 Действительный случай
  • 4.1 Классификация квадратичных форм
  • 4.2 Единичный псевдоскаляр
  • 4.3 Центр
  • 4.4 Классификация
  • 4.5 Симметрии
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

произведение Клиффорда - это манифестное кольцевое произведение для алгебры Клиффорда, и все гомоморфизмы алгебры в этой статье относятся к этому кольцевому произведению. Другие продукты, определенные в алгебрах Клиффорда, такие как внешний продукт, здесь не используются. В этой статье используется знаковое соглашение (+) для умножения Клиффорда, так что

$v\; 2\; =\; Q\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; ^\; \{2\}\; =\; Q\; (v)\}$

для всех векторов v ∈ V, где Q - квадратичная форма на векторном пространстве V. Обозначим алгебру n × n матриц с элементами в алгебре с делением K через M n (K) или M (n, K). прямая сумма двух таких идентичных алгебр будет обозначаться как M n (K) ⊕ M n (K) = M n (K), который изоморфен M n (K ⊕ K).

Алгебры Клиффорда демонстрируют 2-кратную периодичность по комплексным числам и 8-кратную периодичность по действительным числам, что связано с такими же периодичностями для гомотопических групп стабильных унитарная группа и стабильная ортогональная группа и называется периодичностью Ботта. Связь объясняется подходом геометрической модели пространств петель к периодичности Ботта: их 2-кратные / 8-кратные периодические вложения классических групп друг в друга (соответствующие группам изоморфизма алгебр Клиффорда), а их последовательные факторы - это симметрические пространства, которые гомотопически эквивалентны пространствам петель унитарной / ортогональной группы.

Сложный случай особенно прост: любая невырожденная квадратичная форма в комплексном векторном пространстве эквивалентна стандартной диагональной форме

$Q\; (u)\; =\; u\; 1\; 2\; +\; u\; 2\; 2\; +\; \cdots \; +\; un\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Q\; (u)\; =\; u\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; +\; u\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; u\_\; \{n\}\; ^\; \{2\}\}$

где n = dim V, так что, по сути, существует только одна алгебра Клиффорда в каждом измерении. Это потому, что комплексные числа включают $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$, по которому $-\; uk\; 2\; =\; +\; (iuk)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; -u\_\; \{k\}\; ^\; \{2\}\; =\; +\; (iu\_\; \{k\})\; ^\; \{2\}\}$, поэтому положительные и отрицательные термины эквивалентны. Обозначим алгебру Клиффорда на C со стандартной квадратичной формой через Cl n(C).

Необходимо рассмотреть два отдельных случая, в зависимости от того, четное ли n или нечетное. Когда n является четным, алгебра Cl n(C) является центральным простым элементом и поэтому по теореме Артина – Веддерберна изоморфна матричной алгебре над C . Когда n нечетно, центр включает не только скаляры, но и псевдоскаляры (элементы степени n). Всегда можно найти нормированный псевдоскаляр ω такой, что ω = 1. Определим операторы

$P\; \pm \; =\; 1\; 2\; (1\; \pm \; \omega ).\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (1\; \backslash \; pm\; \backslash \; omega).\}$

Эти два оператора образуют полный набор ортогональных идемпотентов, и поскольку они центральные, они дают разложение Cl n(C) в прямую сумму двух алгебр

$Cl\; n\; \; (C)\; =\; Cl\; n\; +\; \; (C)\; \oplus \; Cl\; n\; -\; \; (C),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; OperatorName\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\; \backslash \; oplus\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{-\; \}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\}),\}$

где

$Cl\; n\; \pm \; \; (C)\; =\; P\; \pm \; Cl\; n\; \; (C).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; pm\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\; =\; P\; \_\; \{\backslash \; pm\}\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\}).\}$

Алгебры $Cl\; n\; \pm \; \; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; pm\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\}$- это просто положительные и отрицательные собственные подпространства ω и P ± - это просто операторы проекции. Поскольку ω нечетно, эти алгебры смешиваются с помощью α (линейное отображение на V, определяемое как v ↦ −v):

$\alpha \; (Cl\; n\; \pm \; \; (C))\; =\; Cl\; n\; \mp \; \; (C)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; альфа\; (\backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; pm\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\}))\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{n\}\; ^\; \{\backslash \; mp\}\; (\backslash \; mathbf\; \{C\})\}$.

и, следовательно, изоморфен (поскольку α является автоморфизмом ). Каждая из этих двух изоморфных алгебр является центральной простой и, следовательно, снова изоморфна матричной алгебре над C . Размеры матриц могут быть определены из того факта, что размер Cl n(C) равен 2. В результате мы получаем следующую таблицу:

Четная подалгебра в Cl n(C) (неканонически) изоморфна Cl n − 1 (C). Когда n четно, четная подалгебра может быть идентифицирована с блочно-диагональными матрицами (при разбиении на блочную матрицу 2 × 2 ). Когда n нечетно, четная подалгебра - это те элементы M (2, C ) ⊕ M (2, C ), для которых два фактора идентичны. Выбор любой части дает изоморфизм с Cl n − 1 (C) ≅ M (2, C ).

Реальный случай значительно сложнее, демонстрируя периодичность 8, а не 2, и существует 2-параметрическое семейство алгебр Клиффорда.

Классификация квадратичных форм

Во-первых, существуют неизоморфные квадратичные формы заданной степени, классифицируемые по сигнатуре.

где n = p + q - размерность векторного пространства. Пара целых чисел (p, q) называется сигнатурой квадратичной формы. Реальное векторное пространство с этой квадратичной формой часто обозначается R . Алгебра Клиффорда на R обозначается Cl p, q (R).

Стандартный ортонормированный базис {ei} для R состоит из n = p + q взаимно ортогональных векторов, p из которых имеют норму +1, а q имеют норму - 1.

Единичный псевдоскаляр

Единичный псевдоскаляр в Cl p, q (R) определяется как

$\omega \; =\; e\; 1\; e\; 2\; \cdots \; e\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; =\; e\_\; \{1\}\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{n\}.\}$

Это одновременно и элемент Кокстера (произведение отражений), и самый длинный элемент группы Кокстера в порядке Брюа ; это аналогия. Он соответствует и обобщает форму объема (во внешней алгебре ; для тривиальной квадратичной формы единичный псевдоскаляр является формой объема) и поднимает отражение через начало координат. (означает, что изображение единичного псевдоскаляра является отражением через начало координат в ортогональной группе ).

Для вычисления квадрата $\omega \; 2\; =\; (e\; 1\; e\; 2\; \cdots \; en)\; (e\; 1\; e\; 2\; \cdots \; en)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; =\; (e\_\; \{1\}\; e\_\; \{2\; \}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{n\})\; (e\_\; \{1\}\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{n\})\}$, можно изменить порядок второй группы, получив $sgn\; (\sigma )\; е\; 1\; е\; 2\; \cdots \; enen\; \cdots \; е\; 2\; е\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{sgn\}\}\; (\backslash \; sigma)\; e\_\; \{1\}\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{n\}\; e\_\; \{n\}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{2\}\; e\_\; \{1\}\}$, или применить perfect shuffle, получив $sgn\; (\sigma )\; (e\; 1\; e\; 1\; e\; 2\; e\; 2\; \cdots \; enen)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; t\_dv\; \{sgn\}\}\; (\backslash \; sigma)\; (e\_\; \{1\}\; e\_\; \{1\}\; e\_\; \{2\}\; e\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; e\_\; \{n\}\; e\_\; \{n\})\}$. Оба они имеют знак $(-\; 1)\; \lfloor \; n\; /\; 2\; \rfloor \; =\; (-\; 1)\; n\; (n\; -\; 1)\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; (-1)\; ^\; \{\backslash \; lfloor\; n\; /\; 2\; \backslash \; rfloor\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{n\; (n-1)\; /\; 2\}\}$, что является 4-периодическим (доказательство ) и в сочетании с $eiei\; =\; \pm \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{\; i\}\; e\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; pm\; 1\}$, это показывает, что квадрат ω равен

$\omega \; 2\; =\; (-\; 1)\; n\; (n\; -\; 1)\; 2\; (-\; 1)\; q\; Знак\; равно\; (-\; 1)\; (п\; -\; q)\; (п\; -\; q\; -\; 1)\; 2\; =\; \{+\; 1\; п\; -\; q\; \equiv \; 0,\; 1\; мод\; 4\; -\; 1\; р\; -\; q\; \equiv \; 2,\; 3\; мод\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{\; 2\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{n\; (n-1)\}\; \{2\}\}\; (-\; 1)\; ^\; \{q\}\; =\; (-\; 1)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{(pq)\; (pq-1)\}\; \{2\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; +\; 1\; p-q\; \backslash \; Equiv\; 0,1\; \backslash \; mod\; \{4\}\; \backslash \backslash \; -\; 1\; p-q\; \backslash \; Equiv\; 2,3\; \backslash \; mod\; \{4\}.\; \backslash \; End\; \{cases\}\}\}$

Обратите внимание на то, что, в отличие от сложного случая, не всегда можно найти псевдоскаляр, квадрат которого равен +1.

Центр

Если n (эквивалентно, p - q) четное, алгебра Cl p, q (R) является центральным простым и поэтому изоморфна в матричную алгебру над R или H по теореме Артина – Веддерберна.

Если n (эквивалентно p - q) нечетно, то алгебра больше не является центральной простой, но имеет центр, который включает в себя как псевдоскаляры, так и скаляры. Если n нечетно и ω = +1 (эквивалентно, если p - q ≡ 1 (mod 4)), то, как и в комплексном случае, алгебра Cl p, q (R) разлагается в прямую сумму изоморфных алгебр

$Cl\; p,\; q\; \; (R)\; =\; Cl\; p,\; q\; +\; \; (R)\; \oplus \; Cl\; p,\; q\; -\; \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\}\; ^\; \{+\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; \backslash \; oplus\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\}\; ^\; \{-\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\; \})\}$

каждый из которых является центральным простым и поэтому изоморфен матричной алгебре над R или H.

Если n нечетно и ω = −1 (эквивалентно, если p - q ≡ −1 ( mod 4)), то центр Cl p, q (R) изоморфен C и может рассматриваться как комплексная алгебра. Как сложная алгебра, она является центральной простой и поэтому изоморфна матричной алгебре над C.

Классификация

Все сказано, что есть три свойства, которые определяют класс алгебры Cl p, q (R):

• модуль подписи 2: n четный / нечетный: центральный простой или нет
• модуль подписи 4: ω = ± 1: если не центральный простой, то центр - это R⊕ Rили C
• мода подписи 8: класс Брауэра алгебры (n четное) или четной подалгебры (n нечетное) равен R или H

. Каждое из этих свойств зависит только от сигнатуры p - q по модулю 8. Полная классификационная таблица приведена ниже. Размер матриц определяется требованием, чтобы Cl p, q (R) имел размерность 2.

Можно видеть, что из всех упомянутых типов матричных колец есть только один тип, общий для комплексных и вещественных алгебр: тип M (2, C ). Например, Cl 2(C) и Cl 3,0 (R) оба определены как M 2(C). Важно отметить, что существует различие в используемых классификационных изоморфизмах. Поскольку Cl 2(C) алгебра изоморфна через C -линейное отображение (которое обязательно является R -линейным), а Cl 3,0 (R) алгебра изоморфна через R -линейное отображение, Cl 2(C) и Cl 3,0 (R) являются R -алгеброй изоморфной.

Таблица этой следует классификация для p + q ≤ 8. Здесь p + q выполняется вертикально, а p - q - горизонтально (например, алгебра Cl 1,3 (R) ≅ M 2(H) находится в строке 4, столбец -2).

Симметрии

В приведенной выше таблице есть запутанная сеть симметрий и отношений.

$Cl\; п\; +\; 1,\; q\; +\; 1\; \; (R)\; знак\; равно\; M\; 2\; (Cl\; p,\; q\; \; (R))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p\; +\; 1,\; q\; +\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{\; R\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{M\}\; \_\; \{2\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}))\}$

$Cl\; p\; +\; 4,\; q\; \; (R)\; =\; Cl\; p,\; q\; +\; 4\; \; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p\; +\; 4,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\; +\; 4\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\; \})\}$

Переход по 4 точкам в любой строке дает идентичную алгебру.

Из этих периодичностей Ботта следует:

$Cl\; p\; +\; 8,\; q\; \; (R)\; =\; Cl\; p\; +\; 4,\; q\; +\; 4\; \; (R)\; =\; M\; 2\; 4\; (Cl\; p,\; q\; \; (R)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p\; +\; 8,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p\; +\; 4,\; q\; +\; 4\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; M\_\; \{2\; ^\; \{4\}\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})).\}$

Если подпись удовлетворяет p - q q 1 (mod 4), то

$Cl\; p\; +\; k,\; q\; (R)\; =\; Cl\; p,\; q\; +\; k\; \; (R).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p\; +\; k,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\; +\; k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\}).\}$

( Таблица симметрична относительно столбцов с подписью..., −7, −3, 1, 5,...) Таким образом, если подпись удовлетворяет условию p - q ≡ 1 (mod 4),

$Cl\; p\; +\; k,\; q\; \; (R)\; =\; Cl\; p,\; q\; +\; k\; \; (R)\; =\; Cl\; p\; -\; k\; +\; k,\; q\; +\; k\; \; (R)\; =\; M\; 2\; k\; (Cl\; p\; -\; k,\; q\; \; (R))\; =\; M\; 2\; k\; (Cl\; p,\; q\; -\; k\; \; (R)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p\; +\; k,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; q\; +\; k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p-k\; +\; k,\; q\; +\; k\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})\; =\; \backslash \; mathrm\; \{M\}\; \_\; \{2\; ^\; \{k\}\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{pk,\; q\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\; \}))\; =\; \backslash \; mathrm\; \{M\}\; \_\; \{2\; ^\; \{k\}\}\; (\backslash \; operatorname\; \{Cl\}\; \_\; \{p,\; qk\}\; (\backslash \; mathbf\; \{R\})).\}$

• алгебра Дирака Cl 1,3 (C)
• алгебра Паули Cl 3,0 (C)
• алгебра пространства-времени Cl 1,3 (R)
• модуль Клиффорда
• Спиновое представление

• Будинич, Паоло; Траутман, Анджей (1988). Спинориальная шахматная доска. Springer Verlag. ISBN 9783540190783.
• Лоусон, Х. Блейн; Мишельсон, Мария-Луиза (2016). Спиновая геометрия. Принстонский математический ряд. 38 . Издательство Принстонского университета. ISBN 9781400883912.
• Портеус, Ян Р. (1995). Алгебры Клиффорда и классические группы. Кембриджские исследования в области высшей математики. 50 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55177-9.