Отражение точки

редактировать

Операция геометрической симметрии

Отражение точки в двух измерениях аналогично повороту на 180 °.

В геометрия, точечное отражение или инверсия в точке (или инверсия через точку, или центральная инверсия ) разновидность изометрии евклидова пространства. Говорят, что объект, инвариантный относительно точечного отражения, обладает точечной симметрией ; если он инвариантен относительно точечного отражения через его центр, то говорят, что он обладает центральной симметрией или центрально-симметричным.

Точечное отражение может быть классифицировано как аффинное преобразование. А именно, это изометрическое инволютивное аффинное преобразование, которое имеет ровно одну фиксированную точку, которая является точкой инверсии. Это эквивалентно гомотетическому преобразованию с масштабным коэффициентом, равным -1. Точка инверсии также называется гомотетическим центром.

Содержание

1 Терминология
2 Примеры
3 Формула
4-точечное отражение как частный случай равномерного масштабирования или гомотетии
5 Группа точечных отражений
6 Точечные отражения в математике
7 Точечные отражения в аналитической геометрии
8 Свойства
9 Центры инверсии в кристаллографии
10 Инверсия относительно начала координат
- 10.1 Представления
- 10.2 Свойства
- 10.3 Геометрия
- 10.4 Алгебры Клиффорда и спиновые группы
11 См. Также
12 Примечания
13 Ссылки

Терминология

Термин «отражение» невнятный, и некоторые считают злоупотреблением языком, предпочитая инверсию; однако широко используется точечное отражение. Такие карты являются инволюциями, что означает, что они имеют порядок 2 - они сами себе инверсны: их двойное применение дает карту идентичности - что также верно для других карт, называемых отражениями. В более узком смысле, отражение относится к отражению в гиперплоскости ( $n - 1 {\ displaystyle n-1}$ $n-1$ размерное аффинное подпространство - точка на линии , линия в плоскости , плоскость в 3-м пространстве) с фиксированной гиперплоскостью, но в более широком смысле отражение применяется к любому инволюция евклидова пространства, и фиксированное множество (аффинное пространство размерности k, где $1 ≤ k ≤ n - 1 {\ displaystyle 1 \ leq k \ leq n-1}$ $1 \ leq k \ leq n-1$ ) называется зеркало. В размерности 1 они совпадают, поскольку точка является гиперплоскостью на прямой.

В терминах линейной алгебры, предполагая, что начало координат фиксировано, инволюции - это в точности диагонализуемые отображения со всеми собственными значениями либо 1, либо -1. Отражение в гиперплоскости имеет единственное собственное значение −1 (и кратность $n - 1 {\ displaystyle n-1}$ $n-1$ на собственном значении 1), в то время как точечное отражение имеет только собственное значение −1 (с кратностью п).

Термин инверсия не следует путать с инверсной геометрией, где инверсия определяется относительно окружности.

Примеры

Примеры 2D
. Шестиугольник параллелогон	. Восьмиугольник

В двух измерениях точечное отражение совпадает с поворотом на 180 градусов. В трех измерениях точечное отражение можно описать как поворот на 180 градусов , составленный с отражением в плоскости, перпендикулярной оси вращения. В размерности n точечные отражения сохраняют ориентацию, если n четно, и меняют ориентацию, если n нечетно.

Формула

Учитывая вектор a в евклидовом пространстве R, формула для отражения a через точка p равна

R efp (a) = 2 p - a. {\ displaystyle \ mathrm {Ref} _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {a}) = 2 \ mathbf {p} - \ mathbf {a}.}

\ mathrm {Ref} _ \ mathbf {p} (\ mathbf {a}) = 2 \ mathbf {p} - \ mathbf {a}.

В случае, когда p - начало координат, точечное отражение - это просто отрицание вектора a.

В евклидовой геометрии, инверсия точки точки X по отношению к точка P - это точка X * такая, что P является средней точкой отрезка линии с конечными точками X и X *. Другими словами, вектор от X до P совпадает с вектором от P до X *.

Формула инверсии в P:

x* = 2 a− x

, где a, xи x * - это векторы положения P, X и X * соответственно.

Это отображение является изометрическим инволютивным аффинным преобразованием, которое имеет ровно одну фиксированную точку, который равен P.

Отражение точки как частный случай равномерного масштабирования или гомотетии

Когда точка инверсии P совпадает с началом координат, точечное отражение эквивалентно частному случаю равномерное масштабирование : равномерное масштабирование с масштабным коэффициентом, равным -1. Это пример линейного преобразования.

Когда P не совпадает с началом координат, точечное отражение эквивалентно частному случаю гомотетического преобразования : гомотетия с гомотетическим центром совпадающий с P, и масштабный коэффициент -1. Это пример нелинейного аффинного преобразования ).

Группа точечных отражений

Композиция двух смещенных точечных отражений в 2-х измерениях является переносом.

Композиция двухточечных отражений представляет собой перенос. В частности, точечное отражение в p с последующим точечным отражением в q является переносом вектора 2 (q− p).

Множество, состоящее из всех точечных отражений и трансляций, является подгруппой Ли евклидовой группы. Это полупрямое произведение из R с циклической группой порядка 2, последняя действует на R посредством отрицания. Именно подгруппа евклидовой группы фиксирует линию на бесконечности поточечно.

В случае n = 1 группа точечного отражения является полной группой изометрии линии.

Точечные отражения в математике

Точечное отражение через центр сферы дает антиподальное отображение.
A симметричное пространство - риманово многообразие с изометрическим отражением через каждую точку. Симметричные пространства играют важную роль в изучении групп Ли и римановой геометрии.

Отражение точки в аналитической геометрии

Учитывая точку $P (x, y) {\ Displaystyle P (x, y)}$ $P (x, y)$ и его отражение $P '(x', y ') {\ displaystyle P' (x ', y')}$ $P'(x',y')$ относительно точки $C (xc, yc) {\ displaystyle C (x_ {c}, y_ {c})}$ ${\ displaystyle C (x_ {c}, y_ {c})}$ , последняя является средней точкой сегмент $PP ′ ¯ {\ displaystyle {\ overline {PP '}}}$ ${\overline {PP'}}$ ;

{xc = x + x ′ 2 yc = y + y ′ 2 {\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {c} = {\ frac {x + x '} {2}} \\ y_ {c} = {\ frac {y + y'} {2}} \ end {cases}}}

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}

Следовательно, уравнения для нахождения координаты отраженной точки:

{x ′ = 2 xc - xy ′ = 2 yc - y {\ displaystyle {\ begin {cases} x '= 2x_ {c} -x \\ y' = 2y_ {c } -y \ end {cases}}}

{\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}

В частности, это случай, когда точка C имеет координаты $(0, 0) {\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ (см. абзац ниже )

{x ′ = - xy ′ = - y {\ displaystyle {\ begin {cases} x '= - x \\ y' = - y \ end {cases}}}

{\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}

Свойства

В четномерном евклидовом пространстве, скажем, в 2N-мерном пространстве, инверсия в точке P эквивалентна N поворотам на углы π в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P. Эти повороты взаимно коммутативны. Следовательно, инверсия в точке в четномерном пространстве является изометрией с сохранением ориентации или прямой изометрией.

В нечетномерном евклидовом пространстве, скажем (2N + 1) -мерном пространстве, это эквивалентно N поворотам по π в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P, в сочетании с отражением в 2N-мерном подпространстве, натянутом на эти плоскости вращения. Следовательно, он меняет, а не сохраняет ориентацию, это непрямая изометрия.

Геометрически в 3D это составляет поворот вокруг оси, проходящей через P, на угол 180 ° в сочетании с отражением в плоскости, проходящей через точку P, перпендикулярную оси; результат не зависит от ориентации (в другом смысле) оси. Обозначения для типа операции или типа создаваемой группы: $1 ¯ {\ displaystyle {\ overline {1}}}$ ${\ overline { 1}}$ , C i, S 2 и 1 ×. Тип группы является одним из трех типов группы симметрии в 3D без какой-либо чистой вращательной симметрии, см. циклические симметрии с n = 1.

Следующие группы точек в трех измерениях содержат инверсию:

Cnhи D nh для четного n
S2nи D nd для нечетного n
Th, O h и I h

Тесно связано с инверсией в точке отражение относительно плоскости , которое можно рассматривать как " инверсия в плоскости ».

Центры инверсии в кристаллографии

Молекулы содержат центр инверсии, когда существует точка, через которую все атомы могут отражаться при сохранении симметрии. В кристаллографии наличие центров инверсии различает центросимметричные и нецентросимметричные соединения. Кристаллические структуры состоят из различных полиэдров, разделенных на категории по координационному числу и валентным углам. Например, четырехкоординатные многогранники классифицируются как тетраэдры, в то время как пятикоординатные среды могут быть квадратно-пирамидальными или тригонально-бипирамидальными в зависимости от углов соединения. Все кристаллические соединения происходят из повторения строительного блока атома, известного как элементарная ячейка, и эти элементарные ячейки определяют, какие многогранники образуются и в каком порядке. Эти многогранники соединяются вместе посредством общих углов, ребер или граней, в зависимости от того, какие атомы имеют общие связи. Многогранники, содержащие центры инверсии, известны как центросимметричные, а многогранники без центров - нецентросимметричные. Шестикоординатные октаэдры являются примером центросимметричных многогранников, поскольку центральный атом действует как центр инверсии, через который шесть связанных атомов сохраняют симметрию. Тетраэдры, с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом приведет к переворачиванию многогранника. Важно отметить, что геометрия связей с нечетными координационными числами должна быть нецентросимметричной, поскольку эти многогранники не будут содержать центров инверсии.

Настоящим многогранникам в кристаллах часто не хватает однородности, ожидаемой в их геометрии соединения. Общие нарушения, обнаруживаемые в кристаллографии, включают искажения и беспорядок. Искажение связано с искривлением многогранников из-за неоднородной длины связи, часто из-за разного электростатического притяжения между гетероатомами. Например, титановый центр, вероятно, будет равномерно связываться с шестью атомами кислорода в октаэдрах, но при замене одного из атомов кислорода на более электроотрицательный фтор произойдет искажение. Искажения не изменят внутренней геометрии многогранников - искаженный октаэдр по-прежнему классифицируется как октаэдр, но достаточно сильные искажения могут повлиять на центросимметрию соединения. Беспорядок включает расщепление двух или более позиций, в которых атом будет занимать одну кристаллографическую позицию в определенном проценте полиэдров, а другую - в остальных позициях. Беспорядок также может влиять на центросимметрию определенных многогранников, в зависимости от того, разбита ли заполненность уже существующим центром инверсии.

Центросимметрия применима и к кристаллической структуре в целом. Кристаллы подразделяются на тридцать две кристаллографические точечные группы, которые описывают, как различные многогранники располагаются в пространстве в объемной структуре. Из этих тридцати двух точечных групп одиннадцать центросимметричны. Наличие нецентросимметричных многогранников не гарантирует, что точечная группа будет одинаковой - две нецентросимметричные формы могут быть ориентированы в пространстве таким образом, чтобы между ними был центр инверсии. Два тетраэдра, обращенных друг к другу, могут иметь центр инверсии в середине, потому что ориентация позволяет каждому атому иметь отраженную пару. Верно и обратное, так как несколько центросимметричных многогранников могут быть расположены так, чтобы образовать нецентросимметричную точечную группу.

Нецентросимметричные соединения могут быть полезны для применения в нелинейной оптике. Отсутствие симметрии центров инверсии может позволить областям кристалла по-разному взаимодействовать с падающим светом. Длина волны, частота и интенсивность света могут изменяться, поскольку электромагнитное излучение взаимодействует с различными энергетическими состояниями по всей структуре. Титанилфосфат калия, KTiOPO4 (KTP) кристаллизуется в нецентросимметричной орторомбической пространственной группе Pna21 и является полезным нелинейным кристаллом. KTP используется для лазеров с удвоением частоты, легированных неодимом, с использованием нелинейно-оптического свойства, известного как генерация второй гармоники. Приложения для нелинейных материалов все еще исследуются, но эти свойства проистекают из наличия (или отсутствия такового) центра инверсии.

Инверсия относительно начала координат

Инверсия относительно начала координат соответствует аддитивной инверсии вектора положения, а также скалярному умножению на -1. Операция коммутирует с любым другим линейным преобразованием, но не с трансляцией : она находится в центре общей линейной группы. «Инверсия» без указания «в точке», «в линии» или «в плоскости» означает эту инверсию; в физике трехмерное отражение через начало координат также называется преобразованием четности .

В математике отражение через начало координат относится к точечному отражению евклидова пространства Rчерез начало в декартовой системе координат. Отражение через начало координат - это ортогональное преобразование, соответствующее скалярному умножению на $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ , и его также можно записать как $- I {\ displaystyle -I}$ $-I$ , где $I {\ displaystyle I}$ $I$ - это единичная матрица. В трех измерениях это отправляет $(x, y, z) ↦ (- x, - y, - z) {\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto (-x, -y, -z)}$ ${\ displaystyle (x, y, z) \ mapsto (-x, -y, -z)}$ и так далее.

Представления

Как скалярная матрица, она представлена в каждом базисе матрицей с $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ по диагонали и вместе с тождеством является центром ортогональной группы $O (n) {\ displaystyle O (n)}$ $O (n)$ .

It является продуктом n ортогональных отражений (отражение через оси любого ортогонального базиса ); обратите внимание, что ортогональные отражения коммутируют.

В двух измерениях это фактически поворот на 180 градусов, а в измерении $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ это поворот на 180 градусов в n ортогональных плоскостях; еще раз отметим, что повороты в ортогональных плоскостях коммутируют.

Свойства

Имеет определитель $(- 1) n {\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ $(-1) ^ {n}$ (из представления матрицей или как продукт размышлений). Таким образом, он сохраняет ориентацию в четном измерении, таким образом, является элементом специальной ортогональной группы SO (2n), и он меняет ориентацию в нечетном измерении, поэтому не является элементом SO (2n + 1) и вместо этого обеспечивает разделение карты $O (2 n + 1) → ± 1 {\ displaystyle O (2n + 1) \ to \ pm 1}$ $О (2n + 1) \ к \ pm 1$ , показывая что $O (2 n + 1) = SO (2 n + 1) × {± I} {\ displaystyle O (2n + 1) = SO (2n + 1) \ times \ {\ pm I \}}$ ${\ displaystyle O (2n + 1) = SO (2n + 1) \ раз \ {\ pm I \}}$ как внутреннее прямое произведение.

Вместе с тождеством он образует центр ортогональной группы .
Он сохраняет каждую квадратичную форму, то есть $Q (- v) = Q (v) {\ displaystyle Q (-v) = Q (v)}$ ${\ displaystyle Q (- v) = Q (v)}$ , и, следовательно, является элементом любой неопределенной ортогональной группы как хорошо.
Он равен идентичности тогда и только тогда, когда характеристика равна 2.
Это самый длинный элемент из группы Кокстера из перестановки со знаком.

Аналогично, это самый длинный элемент ортогональной группы по отношению к генерирующий набор отражений: все элементы ортогональной группы имеют length не более n по отношению к образующему множеству отражений, а отражение через начало координат имеет длину n, хотя оно не уникально в этом: другое максимальные комбинации поворотов (и, возможно, отражений) также имеют максимальную длину.

Геометрия

В SO (2r) отражение через начало координат является самой дальней точкой от элемента идентичности относительно обычной метрики. В O (2r + 1) отражение через начало координат не находится в SO (2r + 1) (оно находится в компоненте, не являющемся тождественным), и нет естественного смысла, в котором это «более дальняя точка», чем любая другая точка в неидентификационном компоненте, но предоставляет базовую точку в другом компоненте.

Алгебры Клиффорда и спиновые группы

Его не следует путать с элементом $- 1 ∈ S pin (n) {\ displaystyle -1 \ in \ mathrm {Spin} (n)}$ $-1 \ in \ mathrm {Spin} (n)$ в спиновой группе . Это особенно сбивает с толку для четных спиновых групп, так как $- I ∈ SO (2 n) {\ displaystyle -I \ in SO (2n)}$ ${\ displaystyle -I \ in SO (2n)}$ , и, следовательно, в $Spin ⁡ (n) {\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Spin} (n)}$ есть и $- 1 {\ displaystyle -1}$ $-1$ , и 2 лифта $- I {\ displaystyle -I}$ $-I$ .

Отражение через тождество распространяется на автоморфизм алгебры Клиффорда, который называется основной инволюцией или инволюцией ступеней.

Отражение через тождество поднимается до псевдоскалярной.

См. Также

Примечания

Ссылки