Аффинная инволюция

В евклидовой геометрии особый интерес представляют инволюции, которые являются линейные или аффинные преобразования в евклидовом пространстве R. Такие инволюции легко охарактеризовать, и их можно описать геометрически.

Дать линейную инволюцию - это то же самое, что дать инволюционную матрицу, квадратную матрицу A, такую ​​что

$A\; 2\; =\; I\; (1)\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{2\}\; =\; I\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; (1)\}$

где I - единичная матрица.

Это быстрая проверка, что квадратная матрица D, все элементы которой равны нулю на главной диагонали и ± 1 на диагонали, то есть матрица сигнатуры вида

$D\; =\; (\pm \; 1\; 0\; \cdots \; 0\; 0\; 0\; \pm \; 1\; \cdots \; 0\; 0\; ⋮\; ⋮\; \ddots \; ⋮\; ⋮\; 0\; 0\; \cdots \; \pm \; 1\; 0\; 0\; 0\; \cdots \; 0\; \pm \; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; pm\; 1\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \; cdots\; 0\; 0\; \backslash \backslash \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; ddots\; \backslash \; vdots\; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; \backslash \; pm\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; \backslash \; cdots\; 0\; \backslash \; pm\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

удовлетворяет (1), т.е. является матрицей линейная инволюция. Оказывается, что все матрицы, удовлетворяющие (1), имеют вид

A = UDU,

где U обратима, а D такая же, как указано выше. Иными словами, матрица любой линейной инволюции имеет форму от D до a матричного подобия. Геометрически это означает, что любую линейную инволюцию можно получить, взяв наклонные отражения против любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через начало координат. (Термин "косое отражение", используемый здесь, включает обычные отражения.)

Можно легко проверить, что A представляет линейную инволюцию тогда и только тогда, когда A имеет вид

A = ± (2P - I)

для линейной проекции стр.

Если A представляет линейную инволюцию, то x → A (x − b) + b является аффинной инволюцией. Можно проверить, что любая аффинная инволюция действительно имеет такой вид. Геометрически это означает, что любая аффинная инволюция может быть получена путем косого отражения от любого числа от 0 до n гиперплоскостей, проходящих через точку b.

Аффинные инволюции можно классифицировать по размерности аффинного пространства неподвижных точек ; это соответствует количеству значений 1 на диагонали аналогичной матрицы D (см. выше), то есть размерности собственного подпространства для собственного значения 1.

Аффинные инволюции в 3D:

• идентичность
• наклонное отражение относительно плоскости
• наклонное отражение относительно линии
• отражение относительно точки.

В случае, когда собственное подпространство для собственного значения 1 является ортогональным дополнением для собственного значения −1, т. Е. Каждое собственный вектор с собственным значением 1 является ортогональным каждому собственному вектору с собственным значением -1, такая аффинная инволюция является изометрией. Два крайних случая, к которым это всегда применимо, - это функция тождества и инверсия в точке.

. Другие инволютивные изометрии - это инверсия в линии (в 2D, 3D и выше; это в 2D - отражение, а в 3D - поворот вокруг линии на 180 °), инверсия в плоскости (в 3D и выше; в 3D это отражение в плоскости), инверсия в трехмерном пространстве (в трехмерном: тождество) и т. д.