Аддитивная идентичность

редактировать

В математике, аддитивная идентичность из набора который снабжен операцией из сложение представляет собой элемент , который при добавлении к любому элементу x в наборе дает x. Одним из наиболее известных аддитивных тождеств является число 0 из элементарной математики, но аддитивные тождества встречаются в других математических структурах, где определено сложение, например в группах и кольца.

Содержание

1 Элементарные примеры
2 Формальное определение
3 Дополнительные примеры
4 Свойства
- 4.1 Аддитивная идентичность уникальна в группе
- 4.2 Аддитивная идентичность аннулирует элементы кольца
- 4.3 Аддитивные и мультипликативные тождества различны в нетривиальном кольце
5 См. также
6 Ссылки
7 Библиография
8 Внешние ссылки

Элементарные примеры

Аддитивная идентичность, известная из элементарной математики, равна нулю, обозначенному 0. Например,
$5 + 0 = 5 = 0 + 5 {\ displaystyle 5 + 0 = 5 = 0 + 5}$ ${\ displaystyle 5 + 0 = 5 = 0 + 5}$
В натуральных числах Nи во всех его надмножествах (целые числа Z, рациональные числа Q, действительные числа Rили комплексные числа C), аддитивная идентичность равна 0. Таким образом для любого из этих чисел n,
$n + 0 = n = 0 + n {\ displaystyle n + 0 = n = 0 + n}$ ${\ displaystyle n + 0 = n = 0 + n}$

Формальное определение

Пусть N будет группой, которая закрывается при выполнении операции из сложения, обозначенной +. Аддитивная идентичность для N, обозначаемая e, - это элемент в N такой, что для любого элемента n в N

e + n = n = n + e

Пример: формула n + 0 = n = 0 + п.

Дополнительные примеры

В группе аддитивная идентичность - это элемент идентичности группы, часто обозначается 0 и является уникальной (см. Ниже для доказательство).
A кольцо или поле представляет собой группу при операции сложения и, таким образом, они также имеют уникальную аддитивную идентичность 0. Это определено как отличное от мультипликативной идентичности 1, если кольцо (или поле) имеет более одного элемента. Если аддитивная идентичность и мультипликативная идентичность совпадают, то кольцо тривиально (доказано ниже).
В кольце M m × n (R) матрицы m на n над кольцом R, аддитивная единица - это нулевая матрица, обозначенная O или 0 , и матрица m на n, элементы которой полностью состоит из элемента идентичности 0 в R. Например, в матрицах 2 на 2 над целыми числами M 2(Z) аддитивная идентичность равна
$0 = (0 0 0 0) {\ displaystyle 0 = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ end {pmatrix}}}$ $0 = {\ begin {pmatrix} 0 0 \\ 0 0 \ конец {pmatrix}}$
В кватернионах 0 является аддитивным тождеством.
В кольце функций от R до R функция , отображающая каждое число в 0, является аддитивной идентичностью.
В аддитивной группе из векторов в R , начало или нулевой вектор является аддитивной идентичностью.

Свойства

Аддитивная идентичность уникальна в группа

Пусть (G, +) - группа, и пусть 0 и 0 'в G обозначают аддитивные тождества es, поэтому для любого g в G

0 + g = g = g + 0 и 0 '+ g = g = g + 0'

Из вышеизложенного следует, что

0 '= 0' + 0 = 0 '+ 0 = 0

Аддитивная идентичность аннигилирует элементы кольца

В системе с операцией умножения, которая распределяется по сложению, аддитивная идентичность является мультипликативным поглощающим элементом, что означает, что для любого s из S s · 0 = 0. Это видно потому, что:

s ⋅ 0 = s ⋅ (0 + 0) = s ⋅ 0 + s ⋅ 0 ⇒ s ⋅ 0 = s ⋅ 0 - s ⋅ 0 ⇒ s ⋅ 0 знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {выровнено} s \ cdot 0 = s \ cdot (0 + 0) = s \ cdot 0 + s \ cdot 0 \\\ Rightarrow s \ cdot 0 = s \ cdot 0-s \ cdot 0 \\\ Rightarrow s \ cdot 0 = 0 \ end {align}}}

{\ begin {align} s \ cdot 0 = s \ cdot (0 + 0) = s \ cdot 0 + s \ cdot 0 \\\ Rightarrow s \ cdot 0 = s \ cdot 0-s \ cdot 0 \\\ Rightarrow s \ cdot 0 = 0 \ end {align}}

Аддитивное и мультипликативное тождества различны в нетривиальном кольце

Пусть R - кольцо и предположим, что аддитивная единица 0 и мультипликативная единица 1 равны, или 0 = 1. Пусть r - любой элемент кольца R. Тогда

r = r × 1 = r × 0 = 0

, что доказывает, что R тривиально, то есть R = {0}. Таким образом, показано противоположное , что если R нетривиально, то 0 не равно 1.

См. Также

Ссылки

^«Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Проверено 7 сентября 2020 г.
^ «Полный список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Проверено 7 сентября 2020 г.
^Вайсштейн, Эрик У. «Аддитивная идентичность». mathworld.wolfram.com. Проверено 07.09.2020.

Библиография

Дэвид С. Даммит, Ричард М. Фут, Абстрактная алгебра, Wiley (3-е изд.): 2003, ISBN 0 -471-43334-9.

Внешние ссылки

Уникальность аддитивной идентичности в кольце на PlanetMath.org.