Поглощающий элемент

В математике, поглощающий элемент(или уничтожающий элемент) является спецификацией ial тип элемента набора по отношению к бинарной операции на этом наборе. Результатом сочетания поглощающего элемента с любым элементом набора является сам поглощающий элемент. В теории полугруппы поглощающий элемент называется нулевым элементом , потому что нет риска путаницы с другими понятиями нуля, с примечательное исключение: в аддитивных обозначениях ноль может, вполне естественно, обозначать нейтральный элемент моноида. В этой статье «нулевой элемент» и «поглощающий элемент» являются синонимами.

• 1 Определение
• 2 Свойства
• 3 Примеры
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки
• 7 Внешние ссылки

Формально, пусть (S, •) будет множеством S с закрытой бинарной операцией • над ним (известной как magma ). Нулевой элемент - это такой элемент z, что для всех s в S z • s = s • z = z. Уточнением являются понятия левого нуля, где требуется только, чтобы z • s = z, и правого нуля, где s • z = z.

Поглощающие элементы особенно интересны для полугрупп, особенно мультипликативной полугруппы полукольца. В случае полукольца с 0 определение поглощающего элемента иногда ослабляется, так что не требуется поглощать 0; в противном случае 0 был бы единственным поглощающим элементом.

• Если магма имеет и левый ноль z, и правый нуль z ′, то она имеет ноль, поскольку z = z • z ′ = z ′.
• Магма может иметь не более одного нулевого элемента.

• Самый известный пример поглощающего элемента исходит из элементарной алгебры, где любое число, умноженное на ноль, равно нулю. Таким образом, ноль является поглощающим элементом.
• Нуль любого кольца также является поглощающим элементом. Для элемента r кольца R r = r (1 + 0) = r + r0, поэтому r0 = 0, так как ноль - единственный элемент a, для которого r + a = r для любого r в кольце R.
• Арифметика с плавающей точкой, как определено в стандарте IEEE-754, содержит специальное значение, называемое Not-a-Number ("NaN"). Это поглощающий элемент для каждой операции; т.е. x + NaN = NaN + x = NaN, x - NaN = NaN - x = NaN и т. д.
• Набор двоичных отношений над набором X вместе с композиция отношений образует моноид с нулем, где нулевым элементом является пустое отношение (пустое множество ).
• Замкнутый интервал H = [0 , 1] с x • y = min (x, y) также является моноидом с нулем, а нулевой элемент равен 0.
• Дополнительные примеры:

• Идемпотент (теория колец) - элемент x кольца такой, что x = x
• Элемент идентичности
• Нулевая полугруппа

• Хауи, Джон М. ( 1995). Основы теории полугрупп. Кларендон Пресс. ISBN 0-19-851194-9.
• M. Килп, У. Кнауэр, А.В. Михалев, Моноиды, действия и категории с приложениями к сплетениям и графам, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7.
• Голан, Джонатан С. (1999). Полукольца и их приложения. Springer. ISBN 0-7923-5786-8.

• Поглощающий элемент в PlanetMath