Арифметическая производная

В теории чисел, арифметическая производная Лагариаса или числовая производная, это функция, определенная для целых чисел на основе разложения на простые множители по аналогии с правилом произведения для производной функции, который используется в математическом анализе.

Существует множество версий «арифметических производных», в том числе обсуждаемая в этой статье (арифметическая производная Лагариаса), например арифметическая производная Ихара и арифметическая производная Буйума.

• 1 Ранняя история
• 2 Определение
• 3 Расширения за пределами натуральных чисел
• 4 Элементарные свойства
• 5 Связанные функции
• 6 Неравенства и границы
• 7 Порядок среднего
• 8 Соответствие теории чисел
• 9 См. Также
• 10 Примечания
• 11 Источники

Арифметическая производная была введена испанским математиком Хосе Мингот Шелли в 1911 году. арифметическая производная также появилась в 1950 г. Putnam Competition.

Для натуральных чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$арифметическая производная $D\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (n)\}$определяется следующим образом:

• $D\; (p)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (p)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; 1\}$для любого простого числа $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.
• $D\; (pq)\; =\; D\; (p)\; q\; +\; p\; D\; (q)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (pq)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; D\; (p)\; q\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; pD\; (q)\}$для любых $p,\; q\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \{\backslash \; textrm\; \{,\}\}\; \backslash ,\; q\; \backslash ;\; \backslash \; in\; \backslash ;\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$(Правило Лейбница ).

Эдвард Дж. Барбо расширяют преобразовал его ко всем целым числам, доказав, что $D\; (-\; x)\; =\; -\; D\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (-x)\; \backslash ;\; =\; \backslash ;\; -\; D\; (x)\}$однозначно определяет производная по целым числам. Барбо также расширил его до рациональных чисел, показав, что знакомое правило частного дает четко определенную производную на $Q\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{Q\}\}$:

$D\; (pq)\; =\; D\; (p)\; q\; -\; p\; D\; (q)\; q\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{p\}\; \{q\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{D\; (p)\; q-pD\; (q)\}\; \{q\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash .\}$

и расширил его до некоторых иррациональных значений. В этих расширениях по-прежнему применяется приведенная выше формула, но показатели степени простых чисел $ei\; \{\backslash \; displaystyle\; e\_\; \{i\}\}$могут быть произвольными рациональными числами, что позволяет использовать такие выражения, как $D\; (3)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (\{\backslash \; sqrt\; \{3\}\})\}$для вычисления.

Арифметическая производная также может быть расширена до любой уникальной области факторизации, например, целых чисел Гаусса и целых чисел Эйзенштейна и связанных с ними поле дробей. Если UFD является кольцом многочленов, то арифметическая производная такая же, как вывод над указанным кольцом многочленов. Например, обычная производная является арифметической производной для колец одномерного действительного и комплексного многочлена и рациональные функции, которые могут быть доказаны с помощью фундаментальной теоремы алгебры.

Арифметическая производная также была расширена до кольца целых чисел по модулю n.

Правило Лейбница подразумевает, что $D\; (0)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (0)\; =\; 0\}$(возьмите $p\; =\; q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; q\; =\; 0\}$) и $D\; (1)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (1)\; =\; 0\}$(возьмите $p\; =\; q\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; =\; q\; =\; 1\}$).

Правило мощности также действительно для арифметической производной. Для любых целых чисел p и n ≥ 0:

$D\; (p\; n)\; =\; n\; p\; n\; -\; 1\; D\; (p).\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (p\; ^\; \{n\})\; =\; np\; ^\; \{n-1\}\; D\; (p).\}$

Это позволяет вычислить производную от простого факторизации целого числа, $x\; =\; \prod \; i\; Знак\; равно\; 1\; \omega \; (x)\; pivpi\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; \backslash \; prod\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; omega\; (x)\}\; \{p\_\; \{i\}\}\; ^\; \{v\_\; \{p\_\; \{i\}\}\; (x)\}\; \}$:

$D\; (x)\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; \omega \; (x)\; [vpi\; (x)\; (\prod \; j\; =\; 1\; i\; -\; 1\; pjvpj\; (x))\; pivpi\; -\; 1\; (\prod \; j\; =\; i\; +\; 1\; \omega \; (x)\; pjvpj\; (х))]\; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; \omega \; (x)\; vpi\; (x)\; pix\; =\; \sum \; p\; простое\; число\; p\; \mid \; xvp\; (x)\; px\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; omega\; (x)\}\; \backslash \; left\; [v\_\; \{p\_\; \{i\}\}\; (x)\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{i-1\}\; \{p\_\; \{j\}\}\; ^\; \{v\_\; \{p\_\; \{j\}\}\; (\; x)\}\; \backslash \; right)\; p\_\; \{i\}\; ^\; \{v\_\; \{p\_\; \{i\}\}\; -\; 1\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; prod\; \_\; \{j\; =\; i\; +\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; omega\; (x)\}\; \{p\_\; \{j\}\}\; ^\; \{v\_\; \{p\_\; \{j\}\}\; (x)\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; omega\; (x)\}\; \{\backslash \; frac\; \{v\_\; \{p\_\; \{i\}\}\; (x)\}\; \{p\_\; \{i\}\}\}\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; stackrel\; \{p\; \backslash \; mid\; x\}\; \{p\; \{\backslash \; text\; \{prime\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{v\_\; \{p\}\; (x)\}\; \{p\}\}\; x\}$

где $\omega \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; (x)\}$, простая омега-функция, является количеством различных простых множителей в $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $vp\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; v\_\; \{p\}\; (x)\}$- это p-адическая оценка of $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$.

Например:

$D\; (60)\; =\; D\; (2\; 2\; \cdot \; 3\; \cdot \; 5)\; =\; (2\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; 1\; 5)\; \cdot \; 60\; =\; 92,\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; (60)\; =\; D\; (2\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; 3\; \backslash \; cdot\; 5)\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; 60\; =\; 92,\}$

или

$D\; (81)\; =\; D\; (3\; 4)\; =\; 4\; \cdot \; 3\; 3\; \cdot \; D\; (3)\; знак\; равно\; 4\; \cdot \; 27\; \cdot \; 1\; знак\; равно\; 108.\; \{\backslash \; Displaystyle\; D\; (81)\; =\; D\; (3\; ^\; \{4\})\; =\; 4\; \backslash \; cdot\; 3\; ^\; \{3\}\; \backslash \; cdot\; D\; (3)\; =\; 4\; \backslash \; cdot\; 27\; \backslash \; cdot\; 1\; =\; 108.\}$

Начинается последовательность числовых производных для k = 0, 1, 2,... (последовательность A003415 в OEIS ):

$0,\; 0,\; 1,\; 1,\; 4,\; 1,\; 5,\; 1,\; 12,\; 6,\; 7,\; 1,\; 16,\; 1,\; 9,\dots \; \{\backslash \; displaystyle\; 0,0,1,1,4,1,5,1,\; 12,6,7,1,16,1,9,\; \backslash \; ldots\}$

Логарифмическая производная $ld\; \; (x)\; =\; D\; (x)\; x\; =\; \sum \; p\; prime\; p\; \mid \; xvp\; (x)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ld\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{D\; (x)\}\; \{x\}\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; stackrel\; \{p\; \backslash \; mid\; x\}\; \{p\; \{\backslash \; text\; \{\; prime\}\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{v\_\; \{p\}\; (x)\}\; \{p\}\}\}$- полностью аддитивная функция : $ld\; \; (x\; \cdot \; y)\; =\; ld\; \; (x)\; +\; ld\; \; (y).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; operatorname\; \{ld\}\; (x\; \backslash \; cdot\; y)\; =\; \backslash \; operatorname\; \{ld\}\; (x)\; +\; \backslash \; operatorname\; \{ld\}\; (y).\}$

E. Ж. Барбо исследовал границы арифметической производной. Он обнаружил, что

$D\; (n)\; \le \; n\; log\; 2\; \; n\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (n)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; log\; \_\; \{2\}\; n\}\; \{2\}\}\}$

и

$D\; (n)\; \ge \; \Omega \; (n)\; n\; \Omega \; (n)\; -\; 1\; \Omega \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (n)\; \backslash \; geq\; \backslash \; Omega\; (n)\; n\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\; (n)\; -1\}\; \{\; \backslash \; Omega\; (n)\}\}\}$

где $\Omega \; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; (n)\}$, простая омега-функция, - это количество простые множители в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$. В обеих приведенных выше границах равенство всегда возникает, когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является полной степенью двойки, то есть $n\; =\; 2\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; n\; =\; 2\; ^\; \{m\}\; \}$для некоторого $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$.

Даль, Олссон и Лойко обнаружили, что арифметическая производная натуральных чисел ограничена

$D\; (n)\; \le \; n\; log\; p\; \; np\; \{\; \backslash \; displaystyle\; D\; (n)\; \backslash \; leq\; \{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; log\; \_\; \{p\}\; n\}\; \{p\}\}\}$

где $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$- наименьшее простое число в $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$и равенство сохраняется, когда $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$является степенью $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$.

, и обнаружил, что невозможно найти аналогичные оценки для арифметической производной, расширенной до рациональных чисел, путем доказательства того, что между любыми двумя рациональными числами есть другие рациональные числа с произвольными большими или малыми производными.

Мы имеем

$\sum \; n\; \le \; x\; D\; (n)\; n\; =\; T\; 0\; x\; +\; O\; (log\; \; x\; log\; \; log\; \; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; leq\; x\}\; \{\backslash \; frac\; \{D\; (n)\}\; \{n\}\}\; =\; T\_\; \{0\}\; x\; +\; O\; (\backslash \; log\; x\; \backslash \; log\; \backslash \; log\; x)\}$

и

$\sum \; n\; \le \; Икс\; D\; (N)\; знак\; равно\; (1/2)\; T\; 0\; Икс\; 2\; +\; О\; (Икс\; 1\; +\; \delta )\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{п\; \backslash \; Leq\; x\}\; D\; (п)\; =\; (1/2)\; T\_\; \{0\}\; х\; ^\; \{2\}\; +\; O\; (x\; ^\; \{1+\; \backslash \; delta\})\}$

для любого δ>0, где

$T\; 0\; =\; \sum \; p\; 1\; p\; (p\; -\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\_\; \{0\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{p\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{p\; (p-1)\}\}.\}$

и подробное описание связи функции к известным теоретико-числовым гипотезам, таким как гипотеза о простых числах близнецов, гипотеза о тройных числах простых чисел и гипотеза Гольдбаха. Например, гипотеза Гольдбаха будет означать для каждого $k>1\; \{\backslash \; displaystyle\; k>1\}$существование $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, так что $D\; (n)\; =\; 2\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; (n)\; =\; 2k\}$. Гипотеза о двойных простых числах подразумевает, что существует бесконечно много $k\; \{\backslash \; displaystyle\; k\}$, для которых $D\; 2\; (k)\; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; D\; ^\; \{2\}\; (k)\; =\; 1\}$.

• Арифметическая функция
• Вывод (дифференциальная алгебра)
• p-вывод

• Barbeau, EJ (1961). «Замечания по арифметической производной». Canadian Mathematical Bulletin. 4: 117–122. doi : 10.4153 / CMB-1961-013-0. Zbl 0101.03702.
• Уфнаровски, Виктор; Аландер, Бо (2003). «Как отличить Число ". Журнал целочисленных последовательностей. 6. Статья 03.3.4. ISSN 153 0-7638. Zbl 1142.11305.
• Arithmetic Derivative, Planet Math, по состоянию на 04:15, 9 апреля 2008 г. (UTC)
• L. Вестрик (2003). Исследования числовой производной.
• Петерсон, И. Математический путь: определение структуры чисел.
• Стей, Майкл (2005). «Обобщенные числовые производные». Журнал целочисленных последовательностей. 8. Статья 05.1.4. arXiv : math / 0508364. ISSN 1530-7638. Zbl 1065.05019.
• Даль Н., Олссон Дж., Лойко А., Исследование свойств арифметической производной.
• Бальзаротти, Джорджио; Лава, Паоло Пьетро (2013). La Derivata aritmetica. Alla scoperta di un Nuovo Approccio alla teoria dei numeri. Милан: Хёпли. ISBN 978-88-203-5864-8.
• Ковиц, Юрий (2012). «Арифметическая производная и первообразная» (PDF). Журнал целочисленных последовательностей. 15 (3.8).
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Асимптотика частных сумм ряда Дирихле арифметической производной». Математические коммуникации. 25.
• Хаукканен, Пентти; Мерикоски, Йорма К.; Тоссавайнен, Тимо (2020). «Арифметические субпроизводные: p-адическая прерывность и непрерывность». Журнал целочисленных последовательностей. 23. Статья 20.7.3. ISSN 1530-7638.