Кристаллографическая точечная группа

редактировать

В кристаллографии кристаллографическая точечная группа представляет собой набор операции симметрии, соответствующие одной из точечных групп в трех измерениях, так что каждая операция оставит структуру кристалла неизменной, т.е. атомы того же типа будут размещены в тех же положениях, что и до трансформация. Например, в примитивной кубической кристаллической системе поворот элементарной ячейки на 90 градусов вокруг оси, перпендикулярной двум параллельным граням куба, пересекающимся в его центре, является операцией симметрии, которая проецирует каждый атом к местоположению одного из его соседей, не затрагивая общую структуру кристалла.

При классификации кристаллов каждая точечная группа определяет так называемый (геометрический) класс кристаллов . Существует бесконечно много трехмерных точечных групп. Однако кристаллографическое ограничение на общие точечные группы приводит к тому, что существует только 32 кристаллографические точечные группы. Эти 32 точечные группы являются одними и теми же 32 типами морфологических (внешних) кристаллических симметрий, выведенными в 1830 г. Иоганном Фридрихом Христианом Гесселем из рассмотрения наблюдаемых кристаллических форм.

Точечная группа кристалла определяет, среди прочего, изменение физических свойств по направлению, обусловленное его структурой, включая оптические свойства, такие как двойное лучепреломление или электрооптические функции, такие как эффект Поккельса. Для периодического кристалла (в отличие от квазикристалла ) группа должна поддерживать трехмерную трансляционную симметрию, которая определяет кристалличность.

Содержание

1 Обозначение
- 1.1 Обозначение Шенфлиса
- 1.2 Обозначение Германа – Могена
- 1.3 Соответствие между различными обозначениями
2 Изоморфизмы
3 Получение кристаллографической точечной группы (кристаллический класс) из пространственной группы
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Обозначение

Группы точек названы в соответствии с симметрией их компонентов. Кристаллографы, минералоги и физики.

используют несколько стандартных обозначений. Соответствие двух систем ниже см. В системе кристаллов.

нотации Шенфлиса

В системе обозначений Schoenflies точечные группы обозначаются буквенным символом с нижним индексом. Символы, используемые в кристаллографии, означают следующее:

Cn(для циклический ) указывает, что группа имеет n-кратную ось вращения. C nh представляет собой C n с добавлением плоскости зеркала (отражения), перпендикулярной оси вращения. C nv - это C n с добавлением n зеркальных плоскостей, параллельных оси вращения.
S2n(для Spiegel, немецкий язык для mirror ) означает группа только с 2n-кратной осью вращения-отражения.
Dn(для двугранной или двусторонней) указывает, что группа имеет n-кратную ось вращения плюс n двумерных осей, перпендикулярных этой ось. D nh имеет, кроме того, плоскость зеркала, перпендикулярную оси n-го порядка. D nd имеет, в дополнение к элементам D n, зеркальные плоскости, параллельные оси n-кратности.
Буква T (для тетраэдр ) указывает, что группа имеет симметрию тетраэдра. T d включает неправильные операции поворота, T исключает неправильные операции поворота, а T h - это T с добавлением инверсии.
буква O (для октаэдра ) указывает, что группа имеет симметрию октаэдра (или куба ) с (O h) или без (O) несоответствующей операции (те, которые изменяют ручку).

Из-за теоремы кристаллографического ограничения n = 1, 2, 3, 4 или 6 в 2- или 3-мерном пространстве.

n	1	2	3	4	6
Cn	C1	C2	C3	C4	C6
Cnv	C1v=C1h	C2v	C3v	C4v	C6v
Cnh	C1h	C2h	C3h	C4h	C6h
Dn	D1=C2	D2	D3	D4	D6
Dnh	D1h=C2v	D2h	D3h	D4h	D6h
Dnd	D1d=C2h	D2d	D3d	D4d	D6d
S2n	S2	S4	S6	S8	S12

D4dи D 6d фактически запрещены, потому что они содержат неправильные вращения с n = 8 и 12 соответственно. 27 точечных групп в таблице плюс T, T d, T h, O и O h составляют 32 кристаллографические точечные группы.

Нотация Германа – Могена

Сокращенная форма нотации Германа – Могена, обычно используемая для пространственных групп, также служит для описания кристаллографических точечных групп. Имена групп:

Класс	Имена групп
Кубическая	23	m3		432	43m	m3m
Гексагональная	6	6	⁄m	622	6мм	6м2	6 / ммм
Тригональный	3	3		32	3m	3m
Тетрагональный	4	4	⁄m	422	4мм	42м	4 / ммм
Орторомбическая				222		мм2	ммм
Моноклиническая	2		⁄m		m
Триклиническая	1	1						Отношения подгрупп 32 кристаллографических точечных групп. (строки представляют порядки групп из снизу вверх как: 1,2,3,4,6,8,12,16,24 и 48.)

Соответствие между разными обозначениями

Кристаллическая система	Герман-Моген		Шубников	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Order
Кристаллическая система	(полный)	(короткий)	Шубников	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Order
Triclinic	1	1	$1 {\ displaystyle 1 \}$ $1 \$	C1	11	[]	1
Triclinic	1	1	$2 ~ {\ displaystyle {\ tilde {2}}}$ $\ tilde {2}$	Ci= S 2	×	[2,2]	2
Моноклинический	2	2	$2 {\ displaystyle 2 \}$ $2 \$	C2	22	[2]	2
	m	m	$m {\ displaystyle m \}$ $m \$	Cs= C 1h	*	[]	2
	$2 m {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$ $\ tfrac {2} {m}$	2 / m	$2: m {\ Displaystyle 2: м \}$ $2: m \$	C2h	2*	[2,2 ]	4
Орторомбический	222	222	$2: 2 {\ Displaystyl е 2: 2 \}$ $2: 2 \$	D2= V	222	[2,2]	4
	мм2	мм2	$2 ⋅ м {\ displaystyle 2 \ cdot m \}$ $2 \ cdot m \$	C2v	*22	[2]	4
	$2 м 2 м 2 м {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m} } {\ tfrac {2} {m}}}$ $\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$	ммм	$m ⋅ 2: m {\ displaystyle m \ cdot 2: m \}$ $m \ cdot 2: m \$	D2h= V h	* 222	[2,2]	8
Тетрагональный	4	4	$4 {\ displaystyle 4 \}$ $4 \$	C4	44	[4]	4
	4	4	$4 ~ {\ displaystyle {\ tilde {4}}}$ $\tilde{4}$	S4	2×	[2,4]	4
	$4 м {\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}}}$ $\tfrac{4}{m}$	4 / м	$4: m {\ displaystyle 4: m \}$ $4: m \$	C4h	4*	[2,4]	8
	422	422	$4: 2 {\ displaystyle 4: 2 \}$ $4: 2 \$	D4	422	[4,2 совершено	8
	4 мм	4 мм	$4 ⋅ м {\ displaystyle 4 \ cdot m \}$ $4 \ cdot m \$	C4v	*44	[4 impression	8
	42m	42m	$4 ~ ⋅ m {\ displaystyle {\ тильда {4}} \ cdot m}$ $\ tilde {4} \ cdot m$	D2d= V d	2 * 2	[2,4]	8
	$4 m 2 m 2 m {\ displaystyle {\ tfrac {4} { m}} {\ tfrac {2} {m}} {\ tfrac {2} {m}}}$ $\tfrac{4}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$	4 / ммм	$m ⋅ 4: m {\ displaystyle m \ cdot 4: m \}$ $m \ cdot 4: m \$	D4h	* 422	[4,2]	16
Тригональный	3	3	$3 {\ displaystyle 3 \}$ $3 \$	C3	33	[3]	3
	3	3	$6 ~ {\ displaystyle {\ tilde {6}}}$ $\ tilde {6}$	C3i= S 6	3×	[2,6]	6
	32	32	$3: 2 {\ displaystyle 3: 2 \}$ $3: 2 \$	D3	322	[3,2]	6
	3m	3m	$3 ⋅ m {\ displaystyle 3 \ cdot m \}$ $3 \ cdot m \$	C3v	*33	[3]	6
	3 $2 м {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$ $\ tfrac {2} {m}$	3m	$6 ~ ⋅ m {\ displaystyle {\ tilde {6 }} \ cdot m}$ $\ tilde {6} \ cdot m$	D3d	2*3	[2,6 ]	12
Гексагональный	6	6	$6 {\ displaystyle 6 \}$ $6 \$	C6	66	[6]	6
	6	6	$3: m {\ displaystyle 3: m \}$ $3: м \$	C3h	3*	[2,3]	6
	$6 m {\ displaystyle {\ tfrac {6} {m}}}$ $\ tfrac {6 } {m}$	6 / m	$6: m {\ displaystyle 6: m \}$ $6: m \$	C6h	6*	[2,6 visible	12
	622	622	$6: 2 {\ displaystyle 6: 2 \ }$ $6: 2 \$	D6	622	[6,2 посетителей	12
	6мм	6мм	$6 ⋅ м {\ displaystyle 6 \ cdot m \}$ $6 \ cdot m \$	C6v	* 66	[6]	12
	6m2	6m2	$m ⋅ 3: m {\ displaystyle m \ cdot 3: m \}$ $m \ cdot 3: m \$	D3h	*322	[3,2 ]	12
	$6 м 2 м 2 м {\ displaystyle {\ tfrac {6} {m}} {\ tfrac {2 } {m}} {\ tfrac {2} {m}}}$ $\tfrac{6}{m}\tfrac{2}{m}\tfrac{2}{m}$	6 / ммм	$m ⋅ 6: m {\ displaystyle m \ cdot 6: m \}$ $m \ cdot 6: m \$	D6h	* 622	[6,2]	24
Кубический	23	23	$3/2 {\ displaystyle 3/2 \}$ $3/2 \$	T	332	[3,3]	12
	$2 м {\ display стиль {\ tfrac {2} {m}}}$ $\ tfrac {2} {m}$ 3	m3	$6 ~ / 2 {\ displaystyle {\ tilde {6}} / 2}$ $\tilde{6}/2$	Th	3*2	[3,4]	24
	432	432	$3/4 {\ displaystyle 3/4 \}$ $3/4 \$	O	432	[4,3]	24
	43m	43m	$3/4 ~ {\ displaystyle 3 / {\ tilde {4}}}$ $3 / \ tilde {4}$	Td	*332	[3,3]	24
	$4 м {\ displaystyle {\ tfrac {4} {m}}}$ $\tfrac{4}{m}$ 3 $2 м {\ displaystyle {\ tfrac {2} {m}}}$ $\ tfrac {2} {m}$	м3 м	$6 ~ / 4 {\ displaystyle {\ tilde {6}} / 4}$ $\tilde{6}/4$	Oh	*432	[4,3 impression	48

Изоморфизмы

Многие кристаллографические точечные группы имеют одинаковую внутреннюю структуру. Например, точечные группы 1, 2 и m содержат различные операции геометрической симметрии (инверсия, поворот и отражение, соответственно), но все они имеют структуру циклической группы Z2. Все изоморфные группы имеют один и тот же порядок, но не все группы одного и того же порядка изоморфны. Изоморфные точечные группы показаны в следующей таблице:

Герман-Моген	Шенфлис	Порядок	Абстрактная группа
1	C1	1	Z1
1	Ci= S 2	2	Z2
2	C2	2
m	Cs= C 1h	2
3	C3	3	Z3
4	C4	4	Z4
4	S4	4	Z4
2 / m	C2h	4	D2 = Z 2 × Z 2
222	D2= V	4
мм2	C2v	4
3	C3i= S 6	6	Z6
6	C6	6
6	C3h	6
32	D3	6	D3
3m	C3v	6	D3
ммм	D2h= V h	8	D2× Z 2
4 / м	C4h	8	Z4× Z 2
422	D4	8	D4
4 мм	C4v	8
42 м	D2d= V d	8
6 / м	C6h	12	Z6× Z 2
23	T	12	A4
3m	D3d	12	D6
622	D6	12
6 мм	C6v	12
6м2	D3h	12
4 / ммм	D4h	16	D4× Z 2
6 / ммм	D6h	24	D6× Z 2
m3	Th	24	A4× Z 2
432	O	24	S4
43м	Td	24	S4
м3м	Oh	48	S4× Z 2

В этой таблице используются циклические группы (Z1, Z 2, Z 3, Z 4, Z 6), диэдральные группы (D2, D 3, D 4, D 6), один из чередующиеся группы (A4) и одна из симметричных групп (S4). Здесь символ «×» указывает на прямое произведение.

Получение кристаллографической точечной группы (кристаллический класс) из пространственной группы

Без типа Браве
Преобразование всех элементов симметрии с трансляционными компонентами в соответствующие элементы симметрии без трансляционной симметрии (плоскости скольжения преобразуются в простые зеркальные плоскости; винтовые оси преобразуются в простые оси вращения)
Оси вращения, оси вращения и зеркальные плоскости остаются неизменными.

См. также

Ссылки

^«Архивная копия». Архивировано с оригинального 04.07.2013. Проверено 25 ноября 2011 г. CS1 maint: заархивированная копия в виде заголовка (ссылка )
^Новак, I (1995-07-18). "Molecular isomorphism". European Journal of Physics. IOP Publishing. 16 (4): 151–153. doi : 10.1088 / 0143-0807 / 16/4/001. ISSN 0143-0807.

Внешние ссылки

Викискладе есть средства массовой информации, связанные с точечными группами.