Угловое ускорение

редактировать

Радианы на секунду в квадрате
Система единиц	Производная единица СИ
Единица измерения	Угловое ускорение
Символ	рад / с

В физике, угловое ускорение относится к временной скорости изменения угловой скорости. Поскольку существует два типа угловой скорости, а именно угловая скорость вращения и орбитальная угловая скорость, естественно также существует два типа углового ускорения, называемые угловым ускорением вращения и угловым ускорением орбиты соответственно. Угловое ускорение вращения относится к угловому ускорению твердого тела относительно его центра вращения, а орбитальное угловое ускорение относится к угловому ускорению точечной частицы относительно фиксированного начала координат.

Угловое ускорение измеряется в единицах угла на единицу квадрата времени (в единицах SI это радианы на секунду в квадрате) и обычно обозначается символом альфа (α). В двух измерениях угловое ускорение - это псевдоскаляр, знак которого считается положительным, если угловая скорость увеличивается против часовой стрелки или уменьшается по часовой стрелке, и считается отрицательным, если угловая скорость увеличивается по часовой стрелке или уменьшается против часовой стрелки. В трех измерениях угловое ускорение является псевдовектором .

. Для твердых тел угловое ускорение должно быть вызвано чистым внешним крутящим моментом. Однако это не так для нежестких тел: например, фигуристка может ускорить свое вращение (тем самым получая угловое ускорение), просто сжимая руки и ноги внутрь, что не требует внешнего крутящего момента.

Содержание

1 Орбитальное угловое ускорение точечной частицы
- 1.1 Частица в двух измерениях
- 1.2 Частица в трех измерениях
- 1.3 Связь с крутящим моментом
2 См. Также
3 Ссылки

Орбитальное угловое ускорение точечной частицы

Частица в двух измерениях

В двух измерениях орбитальное угловое ускорение - это скорость, с которой двумерная орбитальная угловая скорость частицы относительно происхождение меняется. Мгновенная угловая скорость ω в любой момент времени определяется выражением

ω = v ⊥ r {\ displaystyle \ omega = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}}

где $r {\ displaystyle r}$ $r$ - расстояние от начала координат, а $v ⊥ {\ displaystyle v _ {\ perp}}$ $v _ {\ perp}$ - поперечно-радиальная составляющая мгновенной скорости (т. е. компонент, перпендикулярный вектору положения), который по соглашению является положительным для движения против часовой стрелки и отрицательным для движения по часовой стрелке.

Следовательно, мгновенное угловое ускорение α частицы определяется выражением

α = ddt (v ⊥ r) {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d} {dt}} ({\ frac {v _ {\ perp}} {r}})}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {d} {dt}} ({\ frac {v _ {\ perp}} {r}})}

Расширяя правую часть с помощью правила произведения из дифференциального исчисления, получаем

α = 1 rdv ⊥ dt - v ⊥ r 2 drdt {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {r}} {\ frac {dv _ {\ perp}} {dt}} - {\ frac {v _ {\ perp}} {r ^ {2}}} {\ frac {dr} {dt}}}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {r}} {\ frac {dv _ {\ perp}} {dt}} - {\ frac {v _ {\ perp}} {r ^ {2}}} {\ frac {dr} {dt}}}

В особом случае, когда частица совершает круговое движение вокруг начала координат, $dv ⊥ dt {\ displaystyle {\ frac {dv _ {\ perp}} {dt}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dv _ {\ perp}} {dt}}}$ становится просто тангенциальным ускорением $a ⊥ {\ displaystyle a _ {\ perp}}$ ${\ disp Laystyle a _ {\ perp}}$ , а $drdt {\ displaystyle {\ frac {dr} {dt}}}$ ${\ frac {dr} {dt}}$ исчезает (поскольку расстояние от начала координат остается постоянным), поэтому приведенное выше уравнение упрощается до

α = a ⊥ r {\ displaystyle \ alpha = {\ frac {a _ {\ perp}} {r }}}

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {a _ {\ perp}} {r}}}

В двух измерениях угловое ускорение - это число со знаком плюс или минус, указывающее ориентацию, но не указателем. тинг в направлении. Знак обычно считается положительным, если угловая скорость увеличивается в направлении против часовой стрелки или уменьшается в направлении по часовой стрелке, и знак считается отрицательным, если угловая скорость увеличивается в направлении по часовой стрелке или уменьшается в направлении против часовой стрелки. Угловое ускорение в таком случае можно назвать псевдоскалярным, числовой величиной, которая меняет знак при инверсии четности, такой как инвертирование одной оси или переключение двух осей.

Частица в трех измерениях

В трех измерениях орбитальное угловое ускорение - это скорость, с которой трехмерный вектор орбитальной угловой скорости изменяется со временем. Вектор мгновенной угловой скорости $ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ boldsymbol \ omega}$ в любой момент времени задается как

ω = r × vr 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}}

где $r {\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ - вектор положения частицы, а $v {\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ - вектор ее скорости.

Следовательно, орбитальное угловое ускорение - это вектор $α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol {\ alpha}}$ , определенный как

α = ddt (r × vr 2) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d} {dt}} ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}) }

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {d} { dt}} ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}})}

Расширяя эту производную с помощью правила произведения для перекрестных произведений и обычного правила частного, получаем:

α = 1 r 2 (r × dvdt + drdt × v) - 2 r 3 drdt (r × v) = 1 r 2 (r × a + v × v) - 2 r 3 drdt (r × v) = r × ar 2 - 2 r 3 drdt (r × v). {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ times {\ frac {d \ mathbf {v) }} {dt}} + {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ times \ mathbf {v}) - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr } {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}) \\\\ = {\ frac {1} {r ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf { a} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v}) - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}) \\\\ = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}} } {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {1} { г ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ times {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} + {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ times \ mathbf {v}) - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}) \\\\ = { \ frac {1} {r ^ {2}}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {v}) - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}) \\\\ = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a }} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r ^ {3}}} {\ frac {dr} {dt}} (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}). \ конец {выровнено}}}

Поскольку $r × v {\ displaystyle \ mathbf {r } \ times \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}}$ - это просто $r 2 ω {\ displaystyle r ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle r ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}$ , второй член можно переписать как $- 2 rdrdt ω {\ displaystyle - {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}}$ . В случае, когда расстояние $r {\ displaystyle r}$ $r$ частицы от начала координат не изменяется со временем (что включает в себя круговое движение как подслучай), второй член исчезает и приведенная выше формула упрощается до

α = r × ar 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha} } = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}}}

Из приведенного выше уравнения можно восстановить поперечное радиальное ускорение в этом частном случае как:

a ⊥ = α × r {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ perp} = {\ boldsymbol {\ alpha }} \ times \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ perp} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r}}

В отличие от двухмерного, угловое ускорение в трех измерениях не обязательно связано с изменением угловой скорости: если вектор положения частицы "скручивается" в пространстве так, что его мгновенная плоскость углового смещения (т. е. мгновенная плоскость, в которой вектор положения охватывает угол) непрерывно изменяется со временем, то даже если угловая скорость (то есть скорость, с которой вектор положения перемещается под углом) постоянна, там w Я все еще буду иметь ненулевое угловое ускорение, потому что направление вектора угловой скорости непрерывно изменяется со временем. Этого не может произойти в двух измерениях, потому что вектор положения ограничен фиксированной плоскостью, так что любое изменение угловой скорости должно происходить через изменение ее величины.

Вектор углового ускорения более правильно называть псевдовектором : он имеет три компонента, которые трансформируются при поворотах так же, как декартовы координаты точки, но которые при отражениях не изменяются. преобразовать как декартовы координаты.

Отношение к крутящему моменту

Чистый крутящий момент на точечной частице определяется как псевдовектор

τ = r × F {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ \ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}

где $F {\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf {F}$ - чистая сила, действующая на частицу.

Крутящий момент - это вращательный аналог силы: он вызывает изменение вращательного состояния системы, точно так же, как сила вызывает изменение поступательного состояния системы. Поскольку результирующая сила, действующая на частицу, может быть связана с ускорением частицы уравнением $F = ma {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ , можно надеемся построить аналогичное соотношение, связывающее чистый крутящий момент на частице с угловым ускорением частицы. Это можно сделать следующим образом:

Сначала подставив $F = ma {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ в приведенное выше уравнение для крутящего момента., получаем

τ = m (r × a) = mr 2 (r × ar 2) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = m (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}) = mr ^ {2} ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}})}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = m (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}) = mr ^ {2} ({\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} { г ^ {2}}})}

Но из предыдущего раздела было получено, что

α = r × ar 2 - 2 rdrdt ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {a}} {r ^ {2}}} - {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}}

где $α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}}}$ ${\ boldsymbol {\ alpha}}$ - это орбитальное угловое ускорение частицы, а $ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ boldsymbol {\ omega}}$ - орбитальная угловая скорость частицы. Следовательно,

τ = m r 2 (α + 2 r d r d t ω) = m r 2 α + 2 m r d r d t ω. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} = mr ^ {2} ({\ boldsymbol {\ alpha}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}) \\\\ = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} + 2mr {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega }}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ tau}} = г-н ^ {2} ({\ boldsymbol {\ alpha}} + { \ frac {2} {r}} {\ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}) \\\\ = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}} + 2mr { \ frac {dr} {dt}} {\ boldsymbol {\ omega}}. \ end {align}}}

В особом случае, когда расстояние $r {\ displaystyle r}$ $r$ частицы от начала координат не изменяется со временем, второй член в приведенном выше уравнении исчезает, а приведенное выше уравнение упрощается до

τ = mr 2 α {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = mr ^ {2} {\ boldsymbol {\ alpha}}}

, что может интерпретироваться как «аналог вращения» $F = ma {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ , где количество $mr 2 {\ displaystyle mr ^ {2}}$ $г-н ^ {2}$ (известный как момент инерции частицы) играет роль массы $m {\ displaystyle m}$ $m$ . Однако, в отличие от $F = m a {\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}}$ , это уравнение не применимо к произвольной траектории. В заключение, общая связь между крутящим моментом и угловым ускорением обязательно более сложная, чем для силы и линейного ускорения.

См. Также

Ссылки