Простое гармоническое движение

Периодическое движение вперед и назад в науке и технике

В механике и физика, простое гармоническое движение - это особый тип периодического движения, при котором восстанавливающая сила на движущийся объект прямо пропорциональна на величину смещения объекта и действует в направлении положения равновесия объекта. Это приводит к колебаниям, которые, если их не сдерживают трением или любым другим рассеянием энергии , продолжаются бесконечно.

Простое гармоническое движение может служить математической моделью для множества движений, но типичным примером является колебание массы на пружине когда на него действует линейная упругая восстанавливающая сила, определяемая законом Гука. Движение является синусоидальным во времени и демонстрирует единственную резонансную частоту. Другие явления могут быть смоделированы простым гармоническим движением, включая движение простого маятника, хотя, чтобы быть точной моделью, чистая сила, действующая на объект в конце маятник должен быть пропорционален смещению (и даже в этом случае это хорошее приближение, когда угол поворота небольшой; см. приближение малых углов ). Простое гармоническое движение также можно использовать для моделирования молекулярных колебаний.

Простое гармоническое движение обеспечивает основу для характеристики более сложного периодического движения с помощью методов анализа Фурье.

Содержание

• 1 Введение
• 2 Динамика
• 3 Энергия
• 4 Примеры
  • 4.1 Масса на пружине
  • 4.2 Равномерное круговое движение
  • 4.3 Масса простого маятника
  • 4.4 Скотч-коромысло
• 5 См. Также
• 6 Примечания по простым гармоникам
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Введение

Движение частицы, движущейся по прямой с ускорением , направление которого всегда в направлении фиксированная точка на линии, величина которой пропорциональна расстоянию от фиксированной точки, называется простым гармоническим движением [SHM].

Простое гармоническое движение показано как в реальном пространстве, так и в фазовом пространстве. орбита является периодической. (Здесь оси скорости и положения были перевернуты по сравнению со стандартным соглашением для выравнивания двух диаграмм)

На диаграмме простой гармонический осциллятор, состоящий из груза, прикрепленного к одному концу пружины. Другой конец пружины прикреплен к жесткой опоре, например к стене. Если систему оставляют в состоянии покоя в положении равновесия, то на массу не действует действующая сила. Однако, если масса смещается из положения равновесия, пружина оказывает восстанавливающую упругую силу, которая подчиняется закону Гука.

Математически восстанавливающая сила F задается как

$F\; =\; -\; kx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{F\}\; =\; -k\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\}$

, где F - восстанавливающая сила упругости, создаваемая пружина (в единицах SI : N ), k - жесткость пружины (N · м), а x - смещение из положения равновесия (м).

Для любого простого механического гармонического осциллятора:

• Когда система смещается из положения равновесия, восстанавливающая сила, подчиняющаяся закону Гука, стремится вернуть систему в состояние равновесия.

Как только масса перемещается из положения равновесия. В своем положении равновесия он испытывает чистую восстанавливающую силу. В результате он ускоряет и начинает возвращаться в положение равновесия. Когда масса приближается к положению равновесия, восстанавливающая сила уменьшается. В положении равновесия результирующая восстанавливающая сила исчезает. Однако при x = 0 масса имеет импульс из-за ускорения, которое передает возвращающая сила. Таким образом, масса продолжает движение за положение равновесия, сжимая пружину. Затем результирующая восстанавливающая сила замедляет его до тех пор, пока его скорость не достигнет нуля, после чего он снова ускоряется до положения равновесия.

Пока система не теряет энергии, масса продолжает колебаться. Таким образом, простое гармоническое движение представляет собой тип периодического движения. Обратите внимание, если диаграмма реального и фазового пространства не совпадает с линейной, движение фазового пространства становится эллиптическим. Ограниченная площадь зависит от амплитуды и максимального импульса.

Динамика

В механике Ньютона, для одномерного простого гармонического движения, уравнение движения, которое является линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, может быть получено с помощью 2-го закона Ньютона и закона Гука для массы на пружине.

$F\; net\; =\; md\; 2\; xdt\; 2\; =\; -\; kx,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; mathrm\; \{net\}\}\; =\; m\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -kx,\}$

где m - инерционная масса колеблющегося тела, x - его смещение из равновесного (или среднего) положения, и k - постоянная величина (жесткость пружины для массы на пружине).

Следовательно,

$d\; 2\; xdt\; 2\; =\; -\; kmx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\; x,\}$

Решение дифференциального уравнения выше дает решение, которое является синусоидальной функцией :

$x\; (t)\; =\; c\; 1\; соз\; \; (\omega \; т)\; +\; с\; 2\; грех\; \; (\omega \; т),\; \{\backslash \; Displaystyle\; х\; (т)\; =\; с\_\; \{1\}\; \backslash \; соз\; \backslash \; влево\; (\backslash \; омега\; т\; \backslash \; вправо)\; +\; с\_\; \{2\}\; \backslash \; грех\; \backslash \; влево\; (\backslash \; omega\; t\; \backslash \; right),\; \backslash \; qquad\}$где $\omega \; =\; км.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; qquad\; \backslash \; omega\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\}.\}$

Значение констант $c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$и $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$можно легко найти: установив $t\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0\}$в уравнении выше мы видим, что $x\; (0)\; =\; c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (0)\; =\; c\_\; \{1\}\}$, так что $c\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\}$- начальное положение частицы, $c\; 1\; =\; x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{1\}\; =\; x\_\; \{0\}\}$; взяв производную этого уравнения и оценив в ноль, мы получим, что $x\; \dot{}\; (0)\; =\; \omega \; c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; (0)\; =\; \backslash \; omega\; c\_\; \{2\}\}$, поэтому $c\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\}$- начальная скорость частицы, деленная на угловую частоту, $c\; 2\; =\; v\; 0\; \omega \; \{\backslash \; displaystyle\; c\_\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{v\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; omega\}\}\}$. Таким образом, мы можем записать:

$x\; (t)\; =\; x\; 0\; cos\; \; (k\; m\; t)\; +\; v\; 0\; k\; m\; sin\; \; (k\; m\; t).\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; x\_\; \{0\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\}\; t\; \backslash \; right)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{v\_\; \{0\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\}\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\}\; t\; \backslash \; right).\}$

Это уравнение также можно записать в виде: <319 Икс (T) знак равно A соз ⁡ (ω T - φ), {\ Displaystyle x (t) = A \ cos \ left (\ omega t- \ varphi \ right),}

где

$A\; =\; с\; 1\; 2\; +\; с\; 2\; 2,\; загар\; \; \phi \; знак\; равно\; с\; 2\; с\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{c\_\; \{1\}\}\; ^\; \{2\}\; +\; \{c\_\; \{2\}\}\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; qquad\; \backslash \; tan\; \backslash \; varphi\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{2\}\}\; \{c\_\; \{1\}\}\},\}$

В решении c 1 и c 2 равны две константы, определяемые начальными условиями (в частности, начальное положение в момент времени t = 0 - это c 1, а начальная скорость - c 2 ω), и начало координат установлено на быть положением равновесия. Каждая из этих констант несет физический смысл движения: A - амплитуда (максимальное смещение от положения равновесия), ω = 2πf - угловая частота , а φ - начальная фаза.

Используя методы исчисления, можно найти скорость и ускорение как функцию времени:

$v\; (t)\; знак\; равно\; dxdt\; =\; -\; A\; \omega \; грех\; \; (\omega \; T\; -\; \phi ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; v\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\}\}\; =\; -\; A\; \backslash \; omega\; \backslash \; sin\; (\backslash \; omega\; t-\; \backslash \; varphi),\}$

Скорость:

$\omega \; A\; 2\; -\; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{A\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Максимальная скорость: v = ωA (в точке равновесия)

$a\; (t)\; =\; d\; 2\; xdt\; 2\; =\; -\; A\; \omega \; 2\; cos\; \; (\omega \; t\; -\; \phi ).\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (t)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; ^\; \{2\}\; x\}\; \{\backslash \; mathrm\; \{d\}\; t\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; -\; A\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; (\backslash \; omega\; t-\; \backslash \; varphi).\}$

Максимальное ускорение: Aω (в крайних точках)

По определению, если масса m находится под SHM, ее ускорение прямо пропорционально смещению.

$а\; (х)\; =\; -\; \omega \; 2\; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x)\; =\; -\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; x.\}$

где

$\omega \; 2\; =\; км\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\}$

Поскольку ω = 2πf,

$f\; =\; 1\; 2\; \pi \; км,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{m\}\}\},\; \}$

и, поскольку T = 1 / f, где T - период времени,

$T\; =\; 2\; \pi \; mk.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{k\}\}\}.\}$

Эти уравнения демонстрируют, что простое гармоническое движение изохронно (период и частота не зависят амплитуды и начальной фазы движения).

Энергия

Подставляя ω на k / m, кинетическая энергия K системы в момент времени t равна

$K\; (t)\; =\; 1\; 2\; мВ\; 2\; (\; t)\; знак\; равно\; 1\; 2\; м\; \omega \; 2\; A\; 2\; грех\; 2\; \; (\omega \; T\; -\; \phi )\; =\; 1\; 2\; К\; A\; 2\; грех\; 2\; \; (\omega \; T\; -\; \phi ),\; \{\backslash \; Displaystyle\; K\; (t)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{\; 2\}\}\; mv\; ^\; \{2\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; m\; \backslash \; omega\; ^\; \{2\}\; A\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega\; t-\; \backslash \; varphi)\; =\; \{\; \backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kA\; ^\; \{2\}\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega\; t-\; \backslash \; varphi),\}$

, а потенциальная энергия равна

$U\; (t)\; =\; 1\; 2\; kx\; 2\; (t)\; =\; 1\; 2\; k\; A\; 2\; cos\; 2\; \; (\omega \; t\; -\; \phi ).\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; (t)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kx\; ^\; \{2\}\; (t)\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kA\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cos\; ^\; \{2\}\; (\backslash \; omega\; t-\; \backslash \; varphi).\}$

В отсутствие трения и других потерь энергии общая механическая энергия имеет постоянное значение

$E\; =\; K\; +\; U\; =\; 1\; 2\; k\; A\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; =\; K\; +\; U\; =\; \{\backslash \; tfrac\; \{1\}\; \{2\}\}\; kA\; ^\; \{2\}.\}$

Примеры

Незатухающая система пружина – масса совершает простое гармоническое движение.

Следующие физические системы являются некоторыми примерами простого гармонического осциллятора.

Масса на пружине

Масса m, прикрепленная к пружине с постоянной пружиной k, демонстрирует простое гармоническое движение в закрытом состоянии. пробел. Уравнение для описания периода

$T\; =\; 2\; \pi \; mk\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{k\}\}\}\}$

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды, хотя на практике амплитуда должна быть небольшой. Вышеприведенное уравнение также справедливо в случае, когда к массе прилагается дополнительная постоянная сила, т.е. дополнительная постоянная сила не может изменить период колебаний.

Равномерное круговое движение

Простое гармоническое движение можно рассматривать как одномерную проекцию равномерного кругового движения. Если объект движется с угловой скоростью ω по окружности радиуса r с центром в исходной точке плоскости xy, то его движение по каждой координате является простым гармоническим движением с амплитудой r и угловой частотой ω.

Масса простого маятника

Движение незатухающего маятника приближается к простому гармоническому движению, если угол колебания мал.

В малоугловом В приближении движение простого маятника аппроксимируется простым гармоническим движением. Период массы, прикрепленной к маятнику длиной l с гравитационным ускорением $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$, определяется как

$T\; =\; 2\; \pi \; lg\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; =\; 2\; \backslash \; pi\; \{\; \backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{l\}\; \{g\}\}\}\}$

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но не от ускорения свободного падения, $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$, следовательно, маятник такой же длины на Луне будет качаться медленнее из-за меньшей напряженности гравитационного поля Луны. Поскольку значение $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$незначительно варьируется по поверхности земли, период времени будет немного отличаться от места к месту, а также будет изменяться в зависимости от высоты над уровнем моря.

Это приближение верно только для малых углов, поскольку выражение для углового ускорения α пропорционально синусу угла смещения:

$-\; mgl\; sin\; \; \theta \; =\; I\; \alpha ,\; \{\backslash \; displaystyle\; -mgl\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; =\; I\; \backslash \; alpha,\}$

, где I - момент инерции. Когда θ мало, sin θ ≈ θ, и поэтому выражение становится

$-\; mgl\; \theta \; =\; I\; \alpha \; \{\backslash \; displaystyle\; -mgl\; \backslash \; theta\; =\; I\; \backslash \; alpha\}$

, что делает угловое ускорение прямо пропорциональным θ, удовлетворяя определению простого гармонического движения.

Хомут с кулисой

Механизм с кулисой с кулисой может использоваться для преобразования между вращательным движением и линейным возвратно-поступательным движением. Линейное движение может принимать различные формы в зависимости от формы паза, но основная вилка с постоянной скоростью вращения производит линейное движение, которое имеет простую гармоническую форму.

Анимация скотч-ярма

См. Также

• Ньютоновская механика
• Малоугловая аппроксимация
• Маятник Рэлея – Лоренца
• Изохронный
• Равномерное круговое движение
• Сложное гармоническое движение
• Демпфирование
• Гармонический осциллятор
• Маятник (математика)
• Круговая группа
• Вибрация струны

Простые гармонические примечания

1. ^Выбор использования косинуса в этом уравнении является условным. Другие допустимые формулировки:

   $x\; (t)\; =\; A\; sin\; \; (\omega \; t\; +\; \phi \; \prime ),\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; (t)\; =\; A\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\backslash \; omega\; t\; +\; \backslash \; varphi\; \text{'}\backslash \; right),\}$

   где

   $загар\; \; \phi \; \prime \; =\; c\; 1\; c\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; varphi\; \text{'}=\; \{\backslash \; frac\; \{c\_\; \{1\}\}\; \{c\_\; \{2\}\}\},\}$

   , поскольку cos θ = sin (π / 2 - θ).
2. ^Максимальное смещение (то есть амплитуда), x max, возникает, когда cos (ωt ± φ) = 1, и, следовательно, когда x max = A.

.

Ссылки

1. ^«Простое гармоническое движение - концепции».

• Уокер, Джерл (2011). Принципы физики (9-е изд.). Хобокен, штат Нью-Джерси: Wiley. ISBN 0-470-56158-0.
• Thornton, Stephen T.; Мэрион, Джерри Б. (2003). Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.). Брукс Коул. ISBN 0-534-40896-6.
• Джон Р. Тейлор (2005). Классическая механика. Книги университетских наук. ISBN 1-891389-22-X.
• Грант Р. Фаулз; Джордж Л. Кэссидей (2005). Аналитическая механика (7-е изд.). Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-49492-7.

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Простым гармоническим движением.

• Простым гармоническим движением из HyperPhysics
• Java-моделирование осциллятора пружины и массы