Малоугловая аппроксимация

редактировать

Примерно одинаковое поведение некоторых (тригонометрических) функций при x → 0

Малоугловая аппроксимация можно использовать для аппроксимации значений основных тригонометрических функций, при условии, что рассматриваемый угол невелик и измеряется в радианах :

sin ⁡ θ ≈ θ cos ⁡ θ ≈ 1 - θ 2 2 ≈ 1 загар ⁡ θ ≈ θ {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ sin \ theta \ приблизительно \ theta \\\ cos \ theta \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2} } {2}} \ приблизительно 1 \\\ tan \ theta \ приблизительно \ theta \ end {выровнено}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta \ приблизительно \ theta \\ \ cos \ theta \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}} \ приблизительно 1 \\\ tan \ theta \ приблизительно \ theta \ end {align}}}

Эти приближения имеют широкий спектр применения в разделах физики и инженерное дело, включая механику, электромагнетизм, оптику, картографию, астрономию и информатика. Одна из причин этого заключается в том, что они могут значительно упростить дифференциальные уравнения, на которые нет необходимости отвечать с абсолютной точностью.

Есть несколько способов продемонстрировать справедливость малоугловых приближений. Самый прямой метод - усечь ряд Маклорена для каждой из тригонометрических функций. В зависимости от порядка аппроксимации, $cos ⁡ θ {\ displaystyle \ textstyle \ cos \ theta}$ ${ \ displaystyle \ textstyle \ cos \ theta}$ аппроксимируется как $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ или как $1 - θ 2 2 {\ displaystyle \ textstyle 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ textstyle 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ .

Содержание

1 Обоснование
- 1.1 Графический
- 1.2 Геометрический
- 1.3 Вычисляющий
- 1.4 Алгебраический
2 Погрешность аппроксимации
3 Сумма и разность углов
4 Особые области применения
- 4.1 Астрономия
- 4.2 Движение маятник
- 4.3 Оптика
- 4.4 Волновые помехи
- 4.5 Механика конструкций
- 4.6 Пилотирование
- 4.7 Интерполяция
5 См. также
6 Ссылки

Обоснования

Графика

Точность аппроксимации можно увидеть ниже на Рисунке 1 и Рисунке 2. Поскольку мера угла приближается к нулю, разница между аппроксимацией и исходной функцией также приближается к нулю.

Рисунок 1. Сравнение основных нечетных тригонометрических функций с θ. Видно, что по мере приближения угла к 0 приближения становятся лучше.
Рисунок 2. Сравнение cos θ с 1 - θ / 2. Видно, что с приближением угла к 0 приближение становится лучше.

Геометрический объект

Красный участок справа, d, представляет собой разницу между длинами гипотенузы H и прилегающей стороны A. Как показано, H и A имеют почти одинаковую длину, что означает cos θ близко к 1, а θ / 2 помогает убрать красный цвет.

cos ⁡ θ ≈ 1 - θ 2 2 {\ displaystyle \ cos {\ theta} \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}

\ соз {\ тета} \ приблизительно 1 - \ гидроразрыва {\ тета ^ 2} {2}

Противоположная нога, O, примерно равна длине синей дуги, с. Сбор фактов из геометрии, s = Aθ, из тригонометрии, sin θ = O / H и tan θ = O / A, и из рисунка, O ≈ s и H ≈ A приводит к:

sin ⁡ θ = OH ≈ OA = tan ⁡ θ = OA ≈ s A = A θ A = θ. {\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \ приблизительно {\ frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ приблизительно {\ frac {s} {A}} = {\ frac {A \ theta} {A}} = \ theta.}

{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {O} {H}} \ приблизительно {\ frac {O} {A}} = \ tan \ theta = {\ frac {O} {A}} \ приблизительно {\ frac {s} {A}} = {\ frac {A \ theta} {A}} = \ theta.}

Упрощая листья,

sin ⁡ θ ≈ tan ⁡ θ ≈ θ. {\ displaystyle \ sin \ theta \ приблизительно \ tan \ theta \ приблизительно \ theta.}

{\ Displaystyle \ грех \ тета \ примерно \ загар \ тета \ примерно \ тета.}

Исчисление

Используя теорему сжатия, мы можем доказать, что $lim θ → 0 грех ⁡ (θ) θ = 1, {\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ sin (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$ который является формальным повторением аппроксимации $sin ⁡ (θ) ≈ θ {\ displaystyle \ sin (\ theta) \ приблизительно \ theta}$ $\ sin (\ theta) \ приблизительно \ theta$ для малых значений θ.

Более тщательное применение теоремы о сжатии доказывает, что $lim θ → 0 tan ⁡ (θ) θ = 1, {\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ tan (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ tan (\ theta)} {\ theta}} = 1,}$ из чего мы заключаем, что $tan ⁡ (θ) ≈ θ {\ displaystyle \ tan (\ theta) \ приблизительно \ theta}$ ${\ displaystyle \ tan (\ theta) \ примерно \ тета}$ для малых значений θ.

Наконец, правило Л'Опиталя говорит нам, что $lim θ → 0 cos ⁡ (θ) - 1 θ 2 = lim θ → 0 - sin ⁡ (θ) 2 θ Знак равно - 1 2, {\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ cos (\ theta) -1} {\ theta ^ {2}}} = \ lim _ {\ theta \ to 0 } {\ frac {- \ sin (\ theta)} {2 \ theta}} = - {\ frac {1} {2}},}$ ${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ cos (\ theta) -1} {\ theta ^ {2}}} = \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {- \ sin (\ theta)} {2 \ theta}} = - {\ frac {1} {2}},}$ который преобразуется в $cos ⁡ (θ) ≈ 1 - θ 2 2 {\ displaystyle \ cos (\ theta) \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cos (\ theta) \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ для малых значений θ. В качестве альтернативы мы можем использовать формулу двойного угла $cos ⁡ 2 A ≡ 1-2 sin 2 ⁡ A {\ displaystyle \ cos 2A \ Equiv 1-2 \ sin ^ {2} A}$ ${\ displaystyle \ cos 2A \ Equiv 1-2 \ sin ^ {2} A}$ . Допуская $θ = 2 A {\ displaystyle \ theta = 2A}$ ${\ Displaystyle \ theta = 2A}$ , мы получаем, что $cos ⁡ θ = 1-2 sin 2 ⁡ θ 2 ≈ 1 - θ 2 2 {\ displaystyle \ cos \ theta = 1-2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ theta = 1-2 \ sin ^ {2} {\ frac {\ theta} {2}} \ приблизительно 1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2}}}$ .

Алгебраический

Малоугловое приближение для синусоидальной функции.

Разложение Маклорена (разложение Тейлора около 0) соответствующей тригонометрической функции равно

sin ⁡ θ = ∑ n = 0 ∞ (- 1) n ( 2 п + 1)! θ 2 N + 1 знак равно θ - θ 3 3! + θ 5 5! - θ 7 7! + ⋯ {\ displaystyle {\ begin {align} \ sin \ theta = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)! }} \ theta ^ {2n + 1} \\ = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} + {\ frac {\ theta ^ {5}} {5!}} - {\ frac {\ theta ^ {7}} {7!}} + \ cdots \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ sin \ theta = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} \ Theta ^ {2n + 1} \\ = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} + {\ frac {\ theta ^ {5}} {5!}} - {\ frac {\ theta ^ {7}} {7!}} + \ cdots \ end {align}}}

где θ - угол в радианах. Проще говоря,

грех ⁡ θ = θ - θ 3 6 + θ 5 120 - θ 7 5040 + ⋯ {\ displaystyle \ sin \ theta = \ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {6 }} + {\ frac {\ theta ^ {5}} {120}} - {\ frac {\ theta ^ {7}} {5040}} + \ cdots}

\ sin \ theta = \ theta - \ frac {\ th эта ^ 3} {6} + \ frac {\ theta ^ 5} {120} - \ frac {\ theta ^ 7} {5040} + \ cdots

Нетрудно заметить, что второй по значимости член (третьего порядка) спадает как куб первого члена; таким образом, даже для не такого уж маленького аргумента, такого как 0,01, значение второго наиболее значимого члена будет порядка 0,000001 или 1/10000 первого члена. Таким образом, можно безопасно аппроксимировать:

грех ⁡ θ ≈ θ {\ displaystyle \ sin \ theta \ приблизительно \ theta}

\ sin \ theta \ приблизительно \ theta

В более широком смысле, поскольку косинус малого угла очень близок к 1, а тангенс задается формулой синус, деленный на косинус,

tan ⁡ θ ≈ sin ⁡ θ ≈ θ {\ displaystyle \ tan \ theta \ приблизительно \ sin \ theta \ приблизительно \ theta}

\ загар \ тета \ приблизительно \ грех \ тета \ приблизительно \ тета

Ошибка аппроксимации

Рисунок 3. График относительных ошибок для аппроксимаций малых углов.

На рисунке 3 показаны относительные ошибки аппроксимаций малых углов. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:

tan θ ≈ θ примерно при 0,176 радиан (10 °).
sin θ ≈ θ примерно при 0,244 радиан (14 °).
cos θ ≈ 1 - θ / 2 на расстоянии около 0,664 радиана (38 °).

Сумма и разность углов

Теоремы сложения и вычитания углов сводятся к следующее, когда один из углов мал (β ≈ 0):

cos (α + β)	≈ cos (α) - βsin (α),
cos (α - β)	≈ cos (α) + βsin (α),
sin (α + β)	≈ sin (α) + βcos (α),
sin (α - β)	≈ sin (α) - βcos (α).

Особые области применения

Астрономия

В астрономии угловой размер или угол, образующийся при изображении удаленного объекта, часто является всего лишь несколько угловых секунд, поэтому он хорошо подходит для аппроксимации малых углов. Линейный размер (D) связан с угловым размером (X) и расстоянием от наблюдателя (d) по простой формуле:

D = X d 206 265 {\ displaystyle D = X {\ frac {d} {206 \, 265}}}

{\ displaystyle D = X {\ frac {d} {206 \, 265}}}

где X измеряется в угловых секундах.

Число 206265 приблизительно равно количеству угловых секунд в круге (1296000), деленному на 2π.

Точная формула:

D = d tan ⁡ (X 2 π 1 296 000) {\ displaystyle D = d \ tan \ left (X {\ frac {2 \ pi} {1 \, 296 \, 000}} \ right)}

{\ displaystyle D = d \ tan \ left (X {\ frac {2 \ pi} {1 \, 296 \, 000}} \ right)}

и приведенное выше приближение следует, когда tan X заменяется на X.

Движение маятника

Косинусное приближение второго порядка особенно полезно при вычислении потенциальной энергии маятника , которая затем может быть применена с лагранжианом для нахождения косвенного (энергетического) уравнения движения.

При вычислении периода простого маятника используется малоугловая аппроксимация для синуса, позволяющая легко решить полученное дифференциальное уравнение путем сравнения с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение.

Оптика

В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения.

Волновые помехи

Синусоидальные и тангенциальные малоугловые приближения используются в отношении эксперимента с двумя щелями или дифракционной решетки для упрощения уравнений, например 'расстояние между полосами' = 'длина волны' × 'расстояние от щелей до экрана' ÷ 'разделение щелей'.

Структурная механика

Малоугловое приближение также используется в строительной механике, особенно в стабильности и бифуркационный анализ (в основном осевой нагруженной колонны, готовой к потере устойчивости ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.

Пилотирование

Правило 1 из 60, используемое в аэронавигации, основано на малоугловом приближении плюс тот факт, что один радиан составляет примерно 60 градусов.

Интерполяция

Формулы для сложения и вычитания с малым углом могут использоваться для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы. :

Пример: sin (0.755)

sin(0.755)	= sin (0.75 + 0.005)
	≈ sin (0.75) + (0.005) cos (0.75)
	≈ (0,6816) + (0,005) (0,7317)	[Значения sin (0,75) и cos (0,75) получены из тригонометрической таблицы]
	≈ 0,6853.

См. Также

Литература