Теорема сжатия

редактировать

О вычислении пределов путем ограничения функции между двумя другими функциями

Иллюстрация теоремы сжатия

Когда последовательность находится между две другие сходящиеся последовательности с тем же пределом, она также сходится к этому пределу.

В исчислении используется теорема сжатия, также известная как теорема защемления, теорема о сэндвиче, правило сэндвича, теорема о полиции и иногда лемма о сжатии - это теорема относительно ограничения функции. В Италии теорема также известна как теорема карабинеров .

Теорема сжатия используется в исчислении и математическом анализе. Обычно он используется для подтверждения предела функции путем сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны или легко вычисляются. Впервые он был геометрически использован математиками Архимедом и Евдоксом в попытке вычислить π, а в современных терминах он был сформулирован Карл Фридрих Гаусс.

Во многих языках (например, французском, немецком, итальянском, венгерском и русском) теорема о сжатии также известна как теорема о двух полицейских (и пьяном) или в другом варианте. из них. История состоит в том, что если двое полицейских сопровождают пьяного заключенного между собой, и оба полицейских идут в камеру, то (независимо от пройденного пути и того факта, что заключенный может колебаться между полицейскими), заключенный также должен закончить в камере.

Содержание

1 Утверждение
- 1.1 Доказательство
2 Утверждение для серии
- 2.1 Доказательство
3 Примеры
- 3.1 Первый пример
- 3.2 Второй пример
- 3.3 Третий пример
- 3.4 Четвертый пример
4 Ссылки
5 Внешние ссылки

Утверждение

Теорема сжатия формально сформулирована следующим образом.

Пусть I будет интервалом, имеющим точка a как предельная точка. Пусть g, f и h - функции, определенные на I, за исключением, возможно, самого a. Предположим, что для любого x в I, не равного a, имеем

g (x) ≤ f (x) ≤ h (x) {\ displaystyle g (x) \ leq f (x) \ leq h (x) }

{\ displaystyle g (x) \ leq f (x) \ leq h (x)}

, а также предположим, что

lim x → ag (x) = lim x → ah (x) = L. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} g (x) = \ lim _ {x \ to a} h (x) = L.}

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} g (x) = \ lim _ {x \ to a} h (x) = L.}

Тогда $lim x → af (x) = L. {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} f (x) = L.}$ $\ lim_ {x \ to a} f (x) = L.$

Функции $g {\ textstyle g}$ ${\ textstyle g}$ и $h {\ textstyle h}$ ${\ textstyle h}$ называется нижней и верхней границами (соответственно) $f {\ textstyle f}$ ${\ textstyle f}$ .
Здесь $a {\ textstyle a}$ ${\ textstyle a}$ не обязательно должен находиться в внутренней части $I {\ textstyle I}$ ${\ textstyle I}$ . В самом деле, если $a {\ textstyle a}$ ${\ textstyle a}$ является конечной точкой $I {\ textstyle I}$ ${\ textstyle I}$ , то вышеуказанные ограничения являются левыми или правыми..
Аналогичное утверждение справедливо для бесконечных интервалов: например, если $I = (0, ∞) {\ textstyle I = (0, \ infty)}$ ${\ textstyle I = (0, \ infty)}$ , то Заключение верно, принимая пределы как $x → ∞ {\ textstyle x \ rightarrow \ infty}$ ${\ textstyle x \ rightarrow \ infty}$ .

Эта теорема также верна для последовательностей. Пусть $(an), (cn) {\ displaystyle (a_ {n}), (c_ {n})}$ ${\ displaystyle (a_ {n}), (c_ {n})}$ две последовательности, сходящиеся к $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ и $(bn) {\ displaystyle (b_ {n})}$ $(b_ {n})$ последовательность. Если $∀ N ⩾ N, N ∈ N {\ displaystyle \ forall n \ geqslant N, N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ forall n \ geqslant N, N \ in \ mathbb {N}}$ , мы имеем $an ⩽ bn ⩽ cn {\ displaystyle a_ {n} \ leqslant b_ {n} \ leqslant c_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ leqslant b_ {n} \ leqslant c_ {n}}$ , затем $(bn) {\ displaystyle (b_ {n})}$ $(b_ {n})$ также сходится к $ℓ {\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$ .

Доказательство

В соответствии с приведенными выше гипотезами, принимая предел нижнего и высшего:

L = lim x → ag (Икс) ≤ lim inf x → af (x) ≤ lim sup x → af (x) ≤ lim x → ah (x) = L, {\ displaystyle L = \ lim _ {x \ to a} g (x) \ leq \ liminf _ {x \ to a} f (x) \ leq \ limsup _ {x \ to a} f (x) \ leq \ lim _ {x \ to a} h (x) = L,}

{\ displaystyle L = \ lim _ {x \ to a} g (x) \ leq \ liminf _ {x \ to a} f (x) \ leq \ limsup _ {x \ to а} е (х) \ leq \ lim _ {х \ к а} час (х) = L,}

Итак, все неравенства действительно являются равенствами, и тезис сразу следует.

Прямым доказательством, использующим $(ϵ, δ) {\ displaystyle (\ epsilon, \ delta)}$ $(\ epsilon, \ delta)$ -определение предела, было бы доказательство того, что для всех реальных $ϵ>0 {\ textstyle \ epsilon>0}$ ${\textstyle \epsilon>0}$ существует реальное $δ>0 {\ displaystyle \ delta>0}$ $\ delta>0$ таким образом, чтобы для всех $x {\ displaystyle x}$ $x$ с 123>| х - а | < δ {\displaystyle |x-a|<\delta } $| x - a | <\ delta$ , имеем $| f (x) - L | < ϵ {\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon }$ $| f (x) - L | <\ epsilon$ . Символически,

∀ ϵ>0, ∃ δ>0: ∀ x, (| x - a | < δ ⇒ | f ( x) − L | < ϵ). {\displaystyle \forall \epsilon>0, \ exists \ delta>0: \ forall x, (| xa | <\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).}

\forall \epsilon>0, \ существует \ delta>0: \ forall x, (| xa | <\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon).

lim x → ag (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} g (x) = L}

\ lim_ {x \ to a} g (x) = L

означает, что

∀ ε>0, ∃ δ 1>0: ∀ x (| x - a | < δ 1 ⇒ | g ( x) − L | < ε). ( 1) {\displaystyle \forall \varepsilon>0, \ exists \ \ delta _ {1}>0: \ forall x \ (| xa | <\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon).\qquad (1)}

\forall \varepsilon>0, \ существует \ \ delta _ {1}>0: \ forall x \ (| xa | <\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon).\qquad (1)

lim x → ah (x) = L {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a} h (x) = L}

\ lim_ {x \ to a} h (x) = L

означает, что

∀ ε>0, ∃ δ 2>0: ∀ x (| x - a | < δ 2 ⇒ | h ( x) − L | < ε), ( 2) {\displaystyle \forall \varepsilon>0, \ exists \ \ delta _ { 2}>0: \ forall x \ (| xa | <\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon),\qquad (2)}

\forall \varepsilon>0, \ exists \ \ delta _ {2}>0: \ forall x \ (| xa | <\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon),\qquad (2)

, то мы имеем

г (Икс) ≤ е (Икс) ≤ час (Икс) {\ Displaystyle г (х) \ Leq F (х) \ Leq ч (х)}

{\ displaystyle g (x) \ leq f (x) \ leq h (x)}

г (х) - L ≤ F (х) - L ≤ час (x) - L {\ displaystyle g (x) -L \ leq f (x) -L \ leq h (x) -L}

{\ displaystyle g (x) -L \ leq f (x) -L \ leq h (x) - L}

Мы можем выбрать $δ: = min {δ 1, δ 2} {\ displaystyle \ delta: = \ min \ left \ {\ delta _ {1}, \ delta _ {2} \ right \}}$ $\ delta : = \ min \ left \ {\ delta _ {1}, \ delta _ {2} \ right \}$ . Тогда, если $| x - a | < δ {\displaystyle |x-a|<\delta }$ $| x - a | <\ delta$ , объединяя (1) и (2), мы получаем

- ε < g ( x) − L ≤ f ( x) − L ≤ h ( x) − L < ε, {\displaystyle -\varepsilon

- \ varepsilon <g (x) - L \ leq f (x) - L \ leq h (x) - L \ <\ varepsilon,

- ε < f ( x) − L < ε {\displaystyle -\varepsilon

- \ varepsilon <f (x) - L <\ varepsilon

, что завершает доказательство. $◼ {\ displaystyle \ blacksquare}$ $\ blacksquare$

Доказательство для последовательностей очень похоже, используя $ϵ {\ displaystyle \ epsilon}$ $\ epsilon$ -определение предела последовательности.

Утверждение для серии

Существует также теорема сжатия для серий, которую можно сформулировать следующим образом:

Пусть $∑ nan, ∑ ncn {\ displaystyle \ sum _ { n} a_ {n}, \ sum _ {n} c_ {n}}$ ${\ displa ystyle \ sum _ {n} a_ {n}, \ sum _ {n} c_ {n}}$ - два сходящихся ряда. Если $∃ N ∈ N {\ displaystyle \ существует N \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ exists N \ in \ mathbb {N}}$ такое, что $∀ n>N, an ⩽ bn ⩽ cn {\ displaystyle \ forall n>N, a_ {n} \ leqslant b_ {n} \ leqslant c_ {n}}$ $\forall n>N, a_ {n} \ leqslant b_ {n} \ leqslant c_ {n}$ затем $∑ nbn {_ \ nbn {\ displaystyle} \ sum b_ {n}}$ $\ sum_n b_n$ также сходится.

Доказательство

Пусть $∑ nan, ∑ ncn {\ displaystyle \ sum _ {n} a_ {n}, \ sum _ {n} c_ {n}}$ ${\ displa ystyle \ sum _ {n} a_ {n}, \ sum _ {n} c_ {n}}$ два сходящихся ряда. Следовательно, последовательности $(∑ k = 1 nak) n = 1 ∞, (∑ k = 1 nck) n = 1 ∞ { \ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}, \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n } c_ {k} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ { k} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}, \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty} }$ являются Коши. То есть для фиксированного $ϵ>0 {\ displaystyle \ epsilon>0}$ $\epsilon>0$ ,

$∃ N 1 ∈ N {\ displaystyle \ exists N_ {1} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ exists N_ {1} \ in \ mathbb {N}}$ такой, что $∀ n>m>N 1, | ∑ k = 1 n a k - ∑ k = 1 m a k | < ϵ ⟹ | ∑ k = m + 1 n a k | < ϵ ⟹ − ϵ < ∑ k = m + 1 n a k < ϵ {\displaystyle \forall n>m>N_ {1}, \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} \ right | <\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}<\epsilon }$ $\forall n>m>N_ {1}, \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} a_ {k} \ right | <\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}a_{k}<\epsilon$ (1)

и аналогично $∃ N 2 ∈ N {\ displaystyle \ exists N_ {2} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle \ существует N_ {2} \ in \ mathbb {N}}$ такой, что $∀ n>m>N 2, | ∑ k = 1 n c k - ∑ k = 1 m c k | < ϵ ⟹ | ∑ k = m + 1 n c k | < ϵ ⟹ − ϵ < ∑ k = m + 1 n c k < ϵ {\displaystyle \forall n>m>N_ {2}, \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} c_ {k} \ right | <\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}<\epsilon }$ $\forall n>m>N_ {2}, \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} c_ {k} \ right | <\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}c_{k}<\epsilon$ (2).

Мы знаем, что $∃ N 3 ∈ N {\ displaystyle \ существует N_ {3} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle \ exists N_ {3} \ in \ mathbb {N}}$ такое, что $∀ n>N 3, an ⩽ bk ⩽ ck {\ displaystyle \ forall n>N_ {3}, a_ {n} \ leqslant b_ {k} \ leqslant c_ {k}}$ $\forall n>N_ {3}, a_ {n} \ leqslant b_ {k} \ leqslant c_ {k}$ . Следовательно, $∀ n>m>max {N 1, N 2, N 3} {\ displaystyle \ forall n>m>\ max \ {N_ {1}, N_ {2}, N_ {3} \}}$ $\forall n>m>\ max \ {N_ {1}, N_ {2}, N_ {3} \}$ , мы объединяем (1) и (2):

$an ⩽ bk ⩽ ck ⟹ ∑ k = m + 1 nak ⩽ ∑ k = m + 1 nbk ⩽ ∑ k = m + 1 nck ⟹ - ϵ < ∑ k = m + 1 n b k < ϵ ⟹ | ∑ k = m + 1 n b k | < ϵ ⟹ | ∑ k = 1 n b k − ∑ k = 1 m b k | < ϵ {\displaystyle a_{n}\leqslant b_{k}\leqslant c_{k}\Longrightarrow \sum _{k=m+1}^{n}a_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\leqslant \sum _{k=m+1}^{n}c_{k}\Longrightarrow -\epsilon <\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=m+1}^{n}b_{k}\right|<\epsilon \Longrightarrow \left|\sum _{k=1}^{n}b_{k}-\sum _{k=1}^{m}b_{k}\right|<\epsilon }$ ${\ displaystyle a_ {n} \ leqslant b_ {k} \ leqslant c_ {k} \ Longrightarrow \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} a_ {k} \ leqslant \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} \ leqslant \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} c_ {k} \ Longrightarrow - \ epsilon <\ sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} <\ epsilon \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} b_ {k} \ right | <\ epsilon \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {m} b_ {k} \ right | <\ epsilon}$ .

Следовательно, $(∑ k = 1 nbk) n = 1 ∞ {\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} \ справа) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ - последовательность Коши. Итак, $∑ n b n {\ displaystyle \ sum _ {n} b_ {n}}$ $\ sum_n b_n$ сходится. $◼ {\ displaystyle \ blacksquare}$ $\ blacksquare$

Примеры

Первый пример

x sin (1 / x) сжимается в пределе, когда x достигает 0

Предел

lim x → 0 x 2 sin ⁡ (1 x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}

\ lim_ {x \ to 0} x ^ 2 \ sin (\ tfrac {1} {x})

не может быть определено через предельный закон

lim x → a (f (x) ⋅ g (x)) = lim x → af (x) ⋅ lim x → ag (x), {\ displaystyle \ lim _ {x \ to a } (f (x) \ cdot g (x)) = \ lim _ {x \ to a} f (x) \ cdot \ lim _ {x \ to a} g (x),}

\ lim_ {x \ to a} (f (x) \ cdot g (x)) = \ lim_ {x \ to a} f (x) \ cdot \ lim_ {x \ to a} g (x),

потому что

lim x → 0 грех ⁡ (1 x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}

\ lim_ {x \ to 0} \ sin (\ tfrac {1} {x})

не существует.

Однако по определению синусоидальной функции,

- 1 ≤ sin ⁡ (1 x) ≤ 1. {\ displaystyle -1 \ leq \ sin ({\ tfrac {1} { x}}) \ leq 1.}

{\ displaystyle -1 \ leq \ sin ({\ tfrac {1} {x}}) \ leq 1.}

Отсюда следует, что

- x 2 ≤ x 2 sin ⁡ (1 x) ≤ x 2 {\ displaystyle -x ^ {2} \ leq x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}}) \ leq x ^ {2}}

{\ displaystyle -x ^ {2} \ leq x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}}) \ leq x ^ {2}}

Поскольку $lim x → 0 - x 2 = lim x → 0 x 2 = 0 {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} -x ^ {2} = \ lim _ {x \ to 0} x ^ {2} = 0}$ $\ lim_ {x \ to 0} -x ^ 2 = \ lim_ {x \ to 0} x ^ 2 = 0$ , по теореме сжатия $lim x → 0 x 2 sin ⁡ (1 x) {\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} x ^ {2} \ sin ({\ tfrac {1} {x}})}$ $\ lim_ {x \ to 0} x ^ 2 \ sin (\ tfrac {1} {x})$ также должно быть 0.

Второй пример

Сравнение областей:.

A (△ ADF) ≥ A (сектор ADB) ≥ A (△ ADB) ⇒ 1 2 ⋅ tan ⁡ (x) ⋅ 1 ≥ x 2 π ⋅ π ≥ 1 2 ⋅ sin ⁡ (x) ⋅ 1 ⇒ sin ⁡ (x) cos ⁡ (x) ≥ x ≥ sin ⁡ (x) ⇒ cos ⁡ (x) sin ⁡ (x) ≤ 1 x ≤ 1 грех ⁡ (Икс) ⇒ соз ⁡ (Икс) ≤ грех ⁡ (Икс) Икс ≤ 1 {\ Displaystyle {\ begin {align} \, A (\ треугольник ADF) \ GEQ A ({\ text {сектор}} \, ADB) \ geq A (\ треугольник ADB) \\\ Rightarrow \, {\ frac {1} {2}} \ cdot \ tan (x) \ cdot 1 \ geq {\ frac {x} {2 \ pi }} \ cdot \ pi \ geq {\ frac {1} {2}} \ cdot \ sin (x) \ cdot 1 \\\ Rightarrow \, {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \ geq x \ geq \ sin (x) \\\ Rightarrow \, {\ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)}} \ leq {\ frac {1} {x}} \ leq {\ frac {1} {\ sin (x)}} \\\ Rightarrow \, \ cos (x) \ leq {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ leq 1 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \, A (\ треугольник ADF) \ geq A ({\ text {сектор}} \, ADB) \ geq A (\ треугольник ADB) \\\ Rightarrow \, {\ frac {1} {2}} \ cdot \ tan (x) \ cdot 1 \ geq {\ frac {x} {2 \ pi}} \ cdot \ pi \ geq {\ frac {1} {2}} \ cdot \ sin (x) \ cdot 1 \\ \ Rightarrow \, {\ frac {\ sin (x)} {\ cos (x)}} \ geq x \ geq \ sin (x) \\\ Rightarrow \, {\ frac {\ cos (x)} {\ sin (x)}} \ leq {\ frac {1} {x}} \ leq {\ frac {1} {\ sin (x)}} \\\ Rightarrow \, \ cos (x) \ leq {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ le q 1 \ конец {выровненный}}}

Вероятно, самые известные примеры нахождения предела сжатием - это доказательства равенств

lim x → 0 sin ⁡ (x) x = 1, lim x → 0 1 - cos ⁡ (x) x = 0. {\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (x)} {x}} = 1, \\ [10pt] \ lim _ {x \ до 0} {\ frac {1- \ cos (x)} {x}} = 0. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin (x)} {x}} = 1, \\ [10pt] \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {1- \ cos (x)} {x}} = 0. \ end {align}}}

Первый предел следует с помощью теоремы сжатия из того факта, что

cos ⁡ x ≤ sin ⁡ (x) x ≤ 1 {\ displaystyle \ cos x \ leq {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ leq 1}

{\ displaystyle \ cos x \ leq {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ leq 1 }

для x, достаточно близкого к 0. Правильность что для положительного x можно увидеть с помощью простых геометрических рассуждений (см. рисунок), которые также могут быть расширены до отрицательного x. Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

0 ≤ 1 - cos ⁡ (x) x ≤ x {\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {1- \ cos (x)} {x}} \ leq x}

{\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {1- \ cos (x)} {x}} \ leq x}

для x, достаточно близкого к 0. Это можно получить, заменив $sin ⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ в предыдущем факте на $1 - cos ⁡ (x) 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1- \ cos (x) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1- \ cos (x) ^ {2}}}}$ и возведение полученного неравенства в квадрат.

Эти два ограничения используются для доказательства того факта, что производная синусоидальной функции является косинусоидальной функцией. На этот факт опираются и другие доказательства производных тригонометрических функций.

Третий пример

Можно показать, что

dd θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ {\ displaystyle {\ frac {d} {d \ theta}} \ tan \ theta = \ sec ^ {2} \ theta}

\ frac {d} {d \ theta} \ tan \ theta = \ sec ^ 2 \ theta

путем сжатия, как показано ниже.

На иллюстрации справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга составляет

сек 2 ⁡ θ Δ θ 2, {\ displaystyle {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, \ Delta \ theta} {2}},}

\ frac {\ sec ^ 2 \ theta \, \ Delta \ theta} {2},

, поскольку радиус равен sec θ, а дуга на единичной окружности имеет длину Δθ. Аналогично, площадь большего из двух заштрихованных секторов составляет

сек 2 ⁡ (θ + Δ θ) Δ θ 2. {\ displaystyle {\ frac {\ sec ^ {2} (\ theta + \ Delta \ theta) \, \ Delta \ theta} {2}}.}

\ frac {\ sec ^ 2 (\ theta + \ Delta \ theta) \, \ Delta \ theta} {2}.

То, что зажато между ними, - это треугольник, основанием которого является вертикальный сегмент, конечными точками которого являются две точки. Длина основания треугольника равна tan (θ + Δθ) - tan (θ), а высота равна 1. Следовательно, площадь треугольника

tan ⁡ (θ + Δ θ) - tan ⁡ (θ) 2. {\ displaystyle {\ frac {\ tan (\ theta + \ Delta \ theta) - \ tan (\ theta)} {2}}.}

\ frac {\ tan ( \ theta + \ Delta \ theta) - \ tan (\ theta)} {2}.

Из неравенств

sec 2 ⁡ θ Δ θ 2 ≤ tan ⁡ (θ + Δ θ) - загар ⁡ (θ) 2 ≤ сек 2 ⁡ (θ + Δ θ) Δ θ 2 {\ displaystyle {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, \ Delta \ theta} { 2}} \ leq {\ frac {\ tan (\ theta + \ Delta \ theta) - \ tan (\ theta)} {2}} \ leq {\ frac {\ sec ^ {2} (\ theta + \ Delta \ theta) \, \ Delta \ theta} {2}}}

\ frac { \ sec ^ 2 \ theta \, \ Delta \ theta} {2} \ le \ frac {\ tan (\ theta + \ Delta \ theta) - \ tan (\ theta)} {2} \ le \ frac {\ sec ^ 2 (\ theta + \ Delta \ theta) \, \ Delta \ theta} {2}

выводим, что

sec 2 ⁡ θ ≤ tan ⁡ (θ + Δ θ) - tan ⁡ (θ) Δ θ ≤ sec 2 ⁡ ( θ + Δ θ), {\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta \ leq {\ frac {\ tan (\ theta + \ Delta \ theta) - \ tan (\ theta)} {\ Delta \ theta}} \ leq \ sec ^ {2} (\ theta + \ Delta \ theta),}

\ sec ^ 2 \ theta \ le \ frac {\ tan (\ theta + \ Delta \ theta) - \ tan (\ theta)} {\ Delta \ theta} \ le \ сек ^ 2 (\ theta + \ Delta \ theta),

при условии Δθ>0, и неравенства отменяются, если Δθ < 0. Since the first and third expressions approach secθ as Δθ → 0, and the middle expression approaches (d/dθ) tan θ, the desired result follows.

Четвертый пример

Теорема сжатия может по-прежнему использоваться в многомерном исчислении, но нижняя (и верхняя функции) должны быть ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и это работает только в том случае, если функция действительно имеет предел t Вот. Следовательно, его можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но его нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке.

lim (x, y) → ( 0, 0) Икс 2 Yx 2 + Y 2 {\ Displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

\ lim _ {(x, y) \ to (0, 0)} \ гидроразрыв {x ^ 2 y} {x ^ 2 + y ^ 2}

нельзя найти, взяв любое количество ограничений вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1 {\ displaystyle 0 \ leq { \ frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq 1}

0 \ leq \ frac {x ^ 2} {x ^ 2 + y ^ 2} \ leq 1

- | y | ≤ y ≤ | y | {\ displaystyle - \ left | y \ right \ vert \ leq y \ leq \ left | y \ right \ vert}

- \ left | y \ right \ vert \ leq y \ leq \ left | y \ right \ vert

- | y | ≤ x 2 y x 2 + y 2 ≤ | y | {\ displaystyle - \ left | y \ right \ vert \ leq {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq \ left | y \ right \ vert}

- \ left | y \ right \ vert \ leq \ frac {x ^ 2 y} {x ^ 2 + y ^ 2} \ leq \ left | y \ right \ vert

lim (x, y) → (0, 0) - | y | Знак равно 0 {\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} - \ left | y \ right \ vert = 0}

\ lim _ {(x, y) \ to (0, 0)} - \ left | y \ right \ vert = 0

lim (x, y) → (0, 0) | y | Знак равно 0 {\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} \ left | y \ right \ vert = 0}

\ lim _ {(x, y) \ to (0, 0)} \ left | y \ right \ vert = 0

0 ≤ lim (x, y) → (0, 0) Икс 2 Yx 2 + Y 2 ≤ 0 {\ Displaystyle 0 \ Leq \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ leq 0}

0 \ leq \ lim _ {(x, y) \ to (0, 0)} \ frac {x ^ 2 y} {x ^ 2 + y ^ 2} \ leq 0

, следовательно, по теореме сжатия

lim (x, y) → (0, 0) x 2 yx 2 + y 2 = 0 {\ displaystyle \ lim _ {(x, y) \ to (0,0)} {\ frac {x ^ {2} y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = 0}

\ lim _ {(x, y) \ to (0, 0)} \ frac {x ^ 2 y} {x ^ 2 + y ^ 2} = 0

Ссылки

^Сохраб, Хушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Биркхойзер. п. 104. ISBN 978-1-4939-1840-9.
^Селим Г. Крейн, В.Н. Uschakowa: Vorstufe zur höheren Mathematik. Springer, 2013, ISBN 9783322986283, стр. 80-81 (немецкий). См. Также Сал Хан : Доказательство: предел (sin x) / x при x = 0 (видео, Khan Academy )
^Стюарт, Джеймс (2008). «Глава 15.2 Пределы и непрерывность». Многомерное исчисление (6-е изд.). Стр. 909–910. ISBN 0495011630.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик У. «Теорема сжатия». MathWorld.
Теорема сжатия Брюса Этвуда (Колледж Белойт) после работы Селвина Холлиса (Атлантический государственный университет Армстронга), Вольфрам Демонстрации Проект.
Теорема сжатия на ProofWiki.