Деформация

Внезапное изменение формы конструктивного элемента под нагрузкой Панели обшивки с пряжками на самолете B-52. Панели из тонкой обшивки изгибаются при очень низких нагрузках. В показанном здесь случае вес передней конструкции фюзеляжа перед носовой частью шасси достаточен для того, чтобы панели изгибались. Панели с пряжкой по-прежнему эффективны в переносе сдвига при диагональном растяжении.

В проектировании конструкций, коробление - это внезапное изменение формы (деформация ) структурный компонент при нагрузке, такой как изгиб колонны при сжатии или сморщивание плиты при сдвиге. Если конструкция подвергается постепенно возрастающей нагрузке, когда нагрузка достигает критического уровня, элемент может внезапно изменить форму, и считается, что конструкция и компонент изгибаются. Критическая нагрузка Эйлера и Джонсона параболическая формула используется для определения напряжения изгиба в тонких колоннах.

Изгиб может возникнуть, даже если напряжения, возникающие в конструкции, значительно ниже тех, которые необходимы для того, чтобы вызвать разрушение в материале, из которого составлена ​​конструкция. Дальнейшая нагрузка может вызвать значительные и несколько непредсказуемые деформации, что может привести к полной потере несущей способности элемента. Однако, если деформации, возникающие после изгиба, не вызывают полного разрушения этого элемента, элемент будет продолжать выдерживать нагрузку, которая вызвала его изгиб. Если изогнутый элемент является частью более крупного набора компонентов, такого как здание, любая нагрузка, приложенная к изогнутой части конструкции, сверх той, которая вызвала изгибание элемента, будет перераспределена внутри конструкции. Некоторые самолеты сконструированы для тонких панелей обшивки, чтобы продолжать нести нагрузку даже в изогнутом состоянии.

• 1 Формы продольного изгиба
  • 1.1 Столбцы
    • 1.1.1 Самоизгибание
  • 1.2 Изгиб пластин
  • 1.3 Изгибно-крутильное изгибание
  • 1.4 Боковое продольное изгибание
  • 1.5 Пластическое изгибание
  • 1,6 Деформирование
  • 1,7 Диагональное растяжение
  • 1,8 Динамическое изгибание
• 2 Теория
  • 2.1 Энергетический метод
  • 2.2 Модели с одной степенью свободы
• 3 Технические примеры
  • 3.1 Велосипедные колеса
  • 3.2 Дороги
  • 3.3 Железнодорожные пути
  • 3.4 Трубы и сосуды под давлением
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Дополнительная литература
• 7 Внешние ссылки

Колонны

Колонна под действием концентрической осевой нагрузки, демонстрирующая характерную деформацию потери устойчивости Эксцентриситет осевой силы приводит к изгибающему моменту, действующему на балочный элемент.

Отношение эффективной длины столбца к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения называется коэффициентом гибкости (иногда выражается греческой буквой лямбда, λ). Это соотношение позволяет классифицировать колонны и их режимы отказа. Коэффициент гибкости важен с точки зрения дизайна. Все следующие значения являются приблизительными, используемыми для удобства.

Если нагрузка на колонну приложена через центр тяжести (центр тяжести) ее поперечного сечения, это называется осевой нагрузкой. Нагрузка в любой другой точке поперечного сечения известна как эксцентрическая нагрузка. Короткая колонна под действием осевой нагрузки выйдет из строя в результате прямого сжатия до того, как она прогнется, но длинная колонна, нагруженная таким же образом, выйдет из строя, внезапно отскочив наружу в боковом направлении (изгиб) в режиме изгиба. Режим прогиба с продольным изгибом считается режимом разрушения и обычно возникает до того, как осевые сжимающие напряжения (прямое сжатие) могут вызвать разрушение материала из-за податливости или разрушения этого сжимающего элемента. Однако колонны средней длины выйдут из строя из-за сочетания прямого сжимающего напряжения и изгиба.

В частности:

• Короткая стальная колонна - это колонна, коэффициент гибкости которой не превышает 50; Стальная колонна промежуточной длины имеет коэффициент гибкости в диапазоне от 50 до 200, и ее поведение определяется пределом прочности материала, в то время как длинная стальная колонна может иметь коэффициент гибкости более 200, и ее поведение является определяющим. модулем упругости материала.
• Короткая бетонная колонна - это колонна, у которой отношение длины без опоры к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Если отношение больше 10, он считается длинным столбцом (иногда называемым тонким столбцом).
• Столбцы Timber могут быть классифицированы как короткие столбцы, если отношение длины к наименьшему размеру поперечного сечения равно до или менее 10. Граница между колоннами из промежуточной и длинной древесины не может быть легко оценена. Одним из способов определения нижнего предела длинных деревянных колонн было бы установить его как наименьшее значение отношения длины к наименьшей площади поперечного сечения, которое просто превышало бы некоторую постоянную K материала. Поскольку K зависит от модуля упругости и допустимого сжимающего напряжения, параллельного зерну, можно видеть, что этот произвольный предел будет варьироваться в зависимости от разновидностей древесина. Значение K приводится в большинстве структурных справочников.

Теория поведения колонн была исследована в 1757 году математиком Леонардом Эйлером. Он вывел формулу, формулу Эйлера, которая дает максимальную осевую нагрузку, которую длинная, тонкая, идеальная колонна может нести без потери устойчивости. Идеальная колонна - это колонна, которая идеально прямая, сделана из однородного материала и не подвержена начальным напряжениям. Когда приложенная нагрузка достигает нагрузки Эйлера, иногда называемой критической нагрузкой, колонна приходит в состояние нестабильного равновесия. При такой нагрузке приложение малейшей поперечной силы вызовет отказ колонны из-за внезапного «прыжка» в новую конфигурацию, и говорят, что колонна изогнулась. Это то, что происходит, когда человек стоит на пустой алюминиевой банке, а затем коротко стучит по сторонам, в результате чего она мгновенно раздавливается (вертикальные стороны банки можно понимать как бесконечную серию чрезвычайно тонких столбцов). Формула, полученная Эйлером для длинных тонких столбцов, приведена ниже.

$F\; =\; \pi \; 2\; EI\; (KL)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; EI\}\; \{(KL)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Чтобы получить математическую демонстрацию, прочтите: критическая нагрузка Эйлера

где

$F\; \{\backslash \; displaystyle\; F\}$, максимальная или критическая сила (вертикальная нагрузка на колонну),

$E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, модуль упругости,

$I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$, наименьший момент инерции площади (второй момент площади) поперечного сечения колонны,

$L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$, неподдерживаемая длина столбца,

$K\; \{\backslash \; displaystyle\; K\}$, коэффициент эффективной длины столбца, значение которого зависит от условий конечной поддержки столбец, как показано ниже.

Если оба конца закреплены (шарнирно, свободно вращаются), $K\; =\; 1,0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 1.0\}$.

Для обоих концов зафиксировано, $K\; =\; 0,50\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 0,50\}$.

Если один конец закреплен, а другой конец закреплен, $K\; =\; 2/2\; \approx \; 0,7071\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{2\}\}\; /\; 2\; \backslash \; приблизительно\; 0,7071\}$.

Для одного закрепленного конца а другой конец может свободно перемещаться в боковом направлении, $K\; =\; 2.0\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 2.0\}$.

$KL\; \{\backslash \; displaystyle\; KL\}$- эффективная длина колонны.

Исследование эта формула показывает следующие факты относительно несущей способности тонких колонн.

• эластичность материала колонны, а не прочность на сжатие материала колонны определяет нагрузку продольного изгиба колонны.
• Изгибающая нагрузка равна прямо пропорционально второму моменту площади поперечного сечения.
• Граничные условия оказывают значительное влияние на критическую нагрузку тонких колонн. Граничные условия определяют режим изгиба колонны и расстояние между точками перегиба на кривой смещения отклоненной колонны. Точки перегиба в форме прогиба колонны - это точки, в которых кривизна колонны меняет знак, а также точки, в которых внутренние изгибающие моменты колонны равны нулю. Чем ближе точки перегиба, тем больше результирующая осевая нагрузка (растягивающая нагрузка) колонны.

Демонстрационная модель, иллюстрирующая различные режимы потери устойчивости "Эйлера". Модель показывает, как граничные условия влияют на критическую нагрузку тонкой колонны. Обратите внимание, что колонны идентичны, за исключением граничных условий.

Вывод из вышеизложенного состоит в том, что нагрузку на изгиб колонны можно увеличить, заменив ее материал на материал с более высоким модулем упругости (E) или изменив конструкция поперечного сечения колонны таким образом, чтобы увеличить ее момент инерции. Последнее можно сделать без увеличения веса колонны, распределив материал как можно дальше от главной оси поперечного сечения колонны. Для большинства целей наиболее эффективным материалом колонны является материал трубчатой ​​секции.

Другой вывод, который можно почерпнуть из этого уравнения, - это влияние длины на критическую нагрузку. Увеличение длины колонны без опоры вдвое снижает допустимую нагрузку. Сдерживание, обеспечиваемое концевыми соединениями колонны, также влияет на ее критическую нагрузку. Если соединения абсолютно жесткие (не позволяют вращать его концы), критическая нагрузка будет в четыре раза больше, чем для аналогичной колонны, где концы закреплены (позволяя вращать ее концы).

Поскольку радиус инерции определяется как квадратный корень из отношения момента инерции колонны относительно оси к ее площади поперечного сечения, приведенная выше формула Эйлера может быть переформатирована путем замены радиуса инерции $A\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; Ar\; ^\; \{2\}\}$для $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$:

$\sigma \; =\; FA\; =\; \pi \; 2\; E\; (l\; /\; r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; \{\backslash \; frac\; \{F\}\; \{A\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; E\}\; \{(l\; /\; r)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

где $\sigma \; =\; F\; /\; A\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; =\; F\; /\; A\}$- это напряжение, вызывающее коробление колонны, а $l\; /\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; l\; /\; r\}$- коэффициент гибкости.

Поскольку несущие колонны обычно имеют промежуточную длину, формула Эйлера не имеет практического применения для обычного проектирования. Проблемы, вызывающие отклонение от чистого поведения колонны Эйлера, включают несовершенство геометрии колонны в сочетании с пластичностью / нелинейным напряжением и деформацией материала колонны. Следовательно, был разработан ряд эмпирических формул столбцов, которые согласуются с данными испытаний, и все они отражают коэффициент гибкости. Из-за неопределенности поведения колонн при проектировании в эти формулы вводятся соответствующие коэффициенты запаса. Одной из таких формул является формула Перри Робертсона, которая оценивает критическую нагрузку потери устойчивости на основе предполагаемой малой начальной кривизны, следовательно, эксцентриситета осевой нагрузки. Формула Ренкина Гордона (названная в честь Уильяма Джона Маккуорна Рэнкина и Перри Хьюгесворта Гордона (1899-1966)) также основана на экспериментальных результатах и ​​предполагает, что колонна будет изгибаться при нагрузке F max задается по формуле:

$1\; F\; max\; =\; 1\; F\; e\; +\; 1\; F\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{F\; \_\; \{\backslash \; max\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{F\_\; \{e\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{F\_\; \{c\}\}\}\}$

где $F\; e\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{e\}\}$- максимальная нагрузка Эйлера, а $F\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{c\}\}$- максимальная сжимающая нагрузка. Эта формула обычно дает консервативную оценку $F\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$.

Самоизгибание

Чтобы получить математическую демонстрацию, прочтите: Самоизгибание

Отдельно стоящий вертикальный столбец с плотностью $\rho \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\}$, модулем Юнга $E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$и площадью поперечного сечения. $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$, будет прогибаться под собственным весом, если его высота превышает определенное критическое значение:

$h\; crit\; =\; (9\; B\; 2\; 4\; EI\; \rho \; g\; A)\; 1\; 3\; \{\; \backslash \; displaystyle\; h\; \_\; \{\backslash \; text\; \{crit\}\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{9B\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{EI\}\; \{\backslash \; rho\; gA\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{\backslash \; frac\; \{\; 1\}\; \{3\}\}\}$

где $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- ускорение свободного падения, $I\; \{\backslash \; displaystyle\; I\}$- это второй момент площади поперечного сечения балки, и $B\; \{\backslash \; displaystyle\; B\}$- первый ноль функции Бесселя первого рода. порядка -1/3, что равно 1,86635086…

Изгиб пластины

A пластина представляет собой трехмерную Размерная структура определяется как имеющая ширину, сопоставимую с ее длиной, с толщиной, которая очень мала по сравнению с двумя другими ее размерами. Подобно колоннам, тонкие пластины испытывают деформацию продольного изгиба вне плоскости при воздействии критических нагрузок; однако, в отличие от изгиба колонны, плиты под действием изгибающих нагрузок могут продолжать нести нагрузки, называемые местным изгибом. Это явление невероятно полезно во многих системах, поскольку позволяет проектировать системы для обеспечения большей грузоподъемности.

Для прямоугольной пластины, поддерживаемой вдоль каждого края, нагруженной равномерной сжимающей силой на единицу длины, полученное основное уравнение можно сформулировать следующим образом:

$\partial \; 4\; w\; \partial \; x\; 4\; +\; 2\; \partial \; 4\; w\; \partial \; Икс\; 2\; \partial \; Y\; 2\; +\; \partial \; 4\; вес\; \partial \; Y\; 4\; знак\; равно\; 12\; (1\; -\; \nu \; 2)\; E\; T\; 3\; (-\; N\; x\; \partial \; 2\; w\; \partial \; x\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{4\}\; w\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{4\}\}\}\; +\; 2\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{4\}\; w\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{2\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{4\; \}\; w\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{4\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{12\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\; \{Et\; ^\; \{3\}\}\}\; \backslash \; left\; (-N\_\; \{x\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; w\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\}$

где

$w\; \{\backslash \; displaystyle\; w\}$, вне отклонение плоскости

$N\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{x\}\}$, равномерно распределенная сжимающая нагрузка

$\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$, коэффициент Пуассона

$E\; \{\backslash \; displaystyle\; E\}$, модуль упругости

$t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$, толщина

Решение отклонения может быть разложено на две показанные гармонические функции:

$w\; =\; \sum \; m\; =\; 1\; \infty \; \sum \; N\; знак\; равно\; 1\; \infty \; wmn\; грех\; \; (м\; \pi \; xa)\; грех\; \; (n\; \pi \; yb)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{m\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; w\_\; \{mn\}\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{m\; \backslash \; pi\; x\}\; \{a\}\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{n\; \backslash \; pi\; y\}\; \{b\}\}\; \backslash \; right)\}$

где

$m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$, количество полусинусоидальных искривлений, возникающих по длине

$n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, количество полусинусоидальных искривлений, возникающих по ширине

$a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, длина образца

$b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$, ширина образца

Предыдущее уравнение может быть заменено на предыдущее дифференциальное уравнение, где $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$равно 1. $N\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{x\}\}$можно разделить, предоставив уравнение для критической сжимающей нагрузки плиты:

$N\; x,\; cr\; =\; kcr\; \pi \; 2\; E\; t\; 3\; 12\; (1\; -\; \nu \; 2)\; b\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{x,\; cr\}\; =\; k\_\; \{cr\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; Et\; ^\; \{3\}\}\; \{12\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; b\; ^\; \{2\; \}\}\}\}$

где

$kcr\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{cr\}\}$, коэффициент потери устойчивости, определяемый по формуле:

$kcr\; =\; (mba\; +\; amb)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\_\; \{cr\; \}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{mb\}\; \{a\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\}\; \{mb\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Коэффициент потери устойчивости зависит от формы образца, $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$/ $b\; \{\backslash \; displaystyle\; \{b\}\}$, и количество продольных изгибов. Для увеличивающегося числа таких кривизны соотношение сторон дает изменяющийся коэффициент потери устойчивости; но каждое отношение обеспечивает минимальное значение для каждого $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$. Это минимальное значение затем можно использовать в качестве константы, независимо от соотношения сторон и $m\; \{\backslash \; displaystyle\; m\}$.

Если напряжение определяется нагрузкой на единицу площади, для критического напряжения находится следующее выражение :

$\sigma \; cr\; =\; kcr\; \pi \; 2\; E\; 12\; (1\; -\; \nu \; 2)\; (bt)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{cr\}\; =\; k\_\; \{cr\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; E\}\; \{12\; \backslash \; left\; (1-\; \backslash \; nu\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{t\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Из полученных уравнений видно, что близкое сходство между критическим напряжением для колонны и для плиты. По мере того как ширина $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$сжимается, пластина действует больше как колонна, поскольку увеличивает сопротивление изгибу по ширине пластины. Увеличение $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$позволяет увеличить количество синусоидальных волн, создаваемых изгибом по длине, но также увеличивает сопротивление изгибу по ширине. Благодаря этому пластина предпочитает изгибаться таким образом, чтобы количество изгибов было одинаковым как по ширине, так и по длине. Из-за граничных условий, когда плита нагружена критическим напряжением и изгибается, края, перпендикулярные нагрузке, не могут деформироваться вне плоскости и, следовательно, будут продолжать нести напряжения. Это создает неравномерную сжимающую нагрузку по концам, где напряжения действуют на половину эффективной ширины с обеих сторон образца, определяемую следующим образом:

$b\; eff\; b\; \approx \; \sigma \; cr\; \sigma \; y\; (1\; -\; 1.022\; \sigma \; cr\; \sigma \; y)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}\; \{b\}\}\; \backslash \; приблизительно\; \{\backslash \; sqrt\; \{\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{cr\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\}\; \}\; \backslash \; left\; (1-1.022\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{cr\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\}\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

где

$b\; eff\; \{\backslash \; displaystyle\; b\_\; \{\backslash \; text\; \{eff\}\}\}$, эффективная ширина

$\sigma \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; \_\; \{y\}\}$, напряжение текучести

По мере увеличения нагруженного напряжения, полезная ширина продолжает сокращаться; если напряжения на концах когда-либо достигнут предела текучести, пластина выйдет из строя. Это то, что позволяет изогнутой конструкции продолжать выдерживать нагрузки. Когда осевая нагрузка, превышающая критическую, отображается в зависимости от смещения, отображается основной путь. Демонстрирует сходство плиты с колонной при изгибе; однако после потери устойчивости основной путь раздваивается на вторичный путь, который изгибается вверх, обеспечивая возможность подвергаться более высоким нагрузкам, превышающим критическую нагрузку.

Изгиб-крутильный изгиб

Изгиб-крутильный изгиб можно описать как комбинацию изгиба и скручивания элемента при сжатии. Такой режим отклонения необходимо учитывать при проектировании. В основном это происходит в колоннах с «открытыми» поперечными сечениями и, следовательно, имеющих низкую жесткость на кручение, таких как каналы, конструкционные тройники, формы с двойным углом и одноугольные с равными опорами. Круглые поперечные сечения не испытывают такой формы потери устойчивости.

Боковое продольное изгибание

Боковое продольное изгибание двутавровой балки с вертикальной силой в центре: а) продольный вид, б) поперечное сечение около опоры, в) поперечное сечение в центре с поперечно-крутильным коробление

Когда балка с простой опорой нагружается при изгибе, верхняя сторона находится в состоянии сжатие, а нижняя сторона находится в состоянии растяжения. Если балка не поддерживается в боковом направлении (т. Е. Перпендикулярно плоскости изгиба), а изгибная нагрузка возрастает до критического предела, балка будет испытывать боковое отклонение сжатой полки, поскольку она локально изгибается. Боковое отклонение сжатой полки ограничивается стенкой балки и натяжной полкой, но для открытого участка режим скручивания более гибкий, поэтому балка как скручивается, так и отклоняется в поперечном направлении в режиме отказа, известном как продольное изгибание при кручении. В широкополочных профилях (с высокой жесткостью на боковой изгиб) режим прогиба будет в основном скрученным при кручении. В секциях с узкими полками жесткость на изгиб ниже, а прогиб колонны будет ближе к таковому в режиме поперечного изгиба.

Использование закрытых секций, таких как квадратная полая секция, будет смягчать эффекты продольного изгиба при кручении благодаря их высокой жесткости на кручение.

Cb- это коэффициент модификации, используемый в уравнение для номинальной прочности на изгиб при определении продольного изгиба при кручении. Причина этого фактора состоит в том, чтобы учесть неоднородные диаграммы моментов, когда концы сегмента балки скреплены. Консервативное значение для C b можно принять равным 1, независимо от конфигурации балки или нагрузки, но в некоторых случаях оно может быть чрезмерно консервативным. C b всегда равно или больше 1, но не меньше. Для консолей или выступов, свободный конец которых не закреплен, C b равно 1. Существуют таблицы значений C b для балок с простой опорой.

Если соответствующее значение C b не указано в таблицах, его можно получить по следующей формуле:

$C\; b\; =\; 12,5\; M\; max\; 2,5\; M\; max\; +\; 3\; MA\; +\; 4\; МБ\; +\; 3\; MC\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{b\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{12,5M\; \_\; \{\backslash \; max\}\}\; \{2,5M\; \_\; \{\backslash \; max\}\; +\; 3M\_\; \{A\}\; +\; 4M\_\; \{B\}\; +\; 3M\_\; \{C\}\}\}\}$

где

$M\; max\; \{\backslash \; displaystyle\; M\; \_\; \{\backslash \; max\}\}$, абсолютное значение максимального момента в свободном сегменте,

$MA\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{A\}\}$, абсолютное значение максимального момента в точке четверти свободного сегмента,

$MB\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{B\}\}$, абсолютное значение максимального момента на средней линии незакрепленного сегмента,

$MC\; \{\backslash \; displaystyle\; M\_\; \{C\}\}$, абсолютное значение максимального момента в точке трех четвертей свободного сегмента,

Результат одинаков для всех систем единиц.

Пластическое продольное изгибание

Прочность при продольном изгибе элемента меньше, чем прочность при упругом изгибе конструкции, если материал элемента подвергается напряжению за пределами диапазона упругости материала и в нелинейную ( пластик) диапазон поведения материала. Когда сжимающая нагрузка близка к нагрузке изгиба, конструкция будет значительно изгибаться, и материал колонны будет отклоняться от линейного поведения напряженно-деформированного состояния. Напряженно-деформированное поведение материалов не является строго линейным даже ниже предела текучести, следовательно, модуль упругости уменьшается по мере увеличения напряжения и значительно уменьшается по мере приближения напряжений к пределу текучести материала. Эта уменьшенная жесткость материала снижает сопротивление продольному изгибу конструкции и приводит кнагрузке при продольном изгибе, меньшей, чем прогноз в предположении линейного упругого поведения.

Более точное приближение нагрузки при продольном изгибе можно получить, используя касательный модуль упругости, E t, который меньше модуля упругости, вместо модуля упругости. эластичность. Касательная равна модулю упругости, а уменьшается сверх пропорционально предела. Касательный модуль - это линия, касательная к кривой напряжения-деформации при определенном значении деформации (на упругом участке кривой напряжения-деформации касательный модуль равен модулю упругости). Графики касательного модуля упругости для различных доступных в стандартных справочных материалах.

Покалывание

Секции, состоящие из фланцевых пластин, например швеллер, могут по-прежнему нести локальные нагрузки в углах послегиба фланцев. Покалывание - это отказ всей секции.

Диагональное растяжение

Из-за тонкой оболочки, обычно используемой в аэрокосмической отрасли, обшивка может деформироваться при низких уровнях нагрузки. Однако, однажды изогнутые, вместо того, чтобы настроить поперечные силы, они все еще не могут нагрузку через диагонального растяжения (DT) в стенке. Это приводит к нелинейному поведению несущей способности этих деталей. Отношение фактической нагрузки к нагрузке, при которой возникает коробление, известно как коэффициент потери устойчивости. Высокие коэффициенты коробления могут привести к чрезмерному сморщиванию листов, которое затем может разрушиться из-за с образованием складок. Хотя они могут коробиться, тонкие листы не деформируются и постоянно не возвращаются в расстегнутое состояние при снятии приложенной нагрузки. Повторяющееся коробление может привести к усталостным отказам.

Листы, находящиеся под диагональным растяжением, поддерживаются ребрами жесткости, которые в результате продольного изгиба несут распределенную нагрузку по всей длине, что, в свою очередь, может привести к разрушению этих структурных элементов при продольном изгибе.

Более толстые пластины могут частично образовывать диагональное натяжение и продолжать нести часть нагрузки за счет сдвига. Это известно как неполное диагональное натяжение (IDT). Это поведение было изучено Вагнером, и эти балки иногда называют балками Вагнера.

Диагональное натяжение может также привести к растягивающей силе на любых крепежных элементах, таких как заклепки, которые используются для крепления полотна к опорным элементам. Крепежные детали и листы должны быть спроектированы таким образом, чтобы их нельзя было сорвать с опор.

Динамическое продольное изгибание

Если колонна нагружается внезапно, а затем нагрузка снимается, колонна может выдержать более высокую нагрузку, чем ее статическая (медленно прикладываемая) нагрузка при продольном изгибе. Это может произойти в длинной колонне без опоры, используемой в качестве отбойного молотка. Продолжительность сжатия на ударном конце - это время, необходимое для того, чтобы волна напряжения прошла вдоль колонны до другого (свободного) конца и вернулась вниз в виде волны разгрузки. Максимальное продольное изгибание происходит около ударного конца при длине волны, намного меньше, чем длина стержня, и при напряжении, во много раз превышает напряжение изгиба статически нагруженной колонны. Критическое условие для того, чтобы амплитуда продольного изгиба была меньше чем примерно в 25 превышающих эффективную прямолинейность стержня на длине волны изгиба, составляет

$\sigma \; L\; =\; \rho \; c\; 2\; h\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; L\; =\; \backslash \; rho\; c\; ^\; \{2\}\; h\}$

где $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$- ударное напряжение, $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$- длина стержня, $c\; \{\; \backslash \; displaystyle\; c\}$- скорость упругой волны, а $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$- меньший поперечный размер прямоугольного стержня. Длина волны изгиба зависит только от $\sigma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\}$и $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$, эта же формула верна для тонких цилиндрических оболочек толщиной $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$.

Энергетический метод

Часто очень трудно определить точную нагрузку при продольном изгибе в сложных конструкциях с использованием формулы Эйлера из-за сложности при определении константы K Поэтому максимальная нагрузка при продольном изгибе часто аппроксимируется с использованием структурного анализа энергетическим методом.

Первый шаг в этом методе - принять режим с размером и функцию, которая представляет это смещение. Эта функция должна соответствовать важным граничным условиям, как смещение и вращение. Чем точнее функция с ущерба, тем точнее будет результат.

Метод предполагает, что система (колонна) является консервативной системой, в которой энергия не рассеивается в виде тепла, следовательно, энергия, добавленная к колонке приложенными внешними силами, сохраняется в колонке в виде энергии деформации.

$U\; применено\; =\; U\; деформация\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{application\}\}\; =\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{напряжения\}\}\}$

В этом методе использованы два уравнения (для малых деформаций) для аппроксимации "" энергии деформации "(потенциальная энергия, запасенная в виде упругой деформации конструкции) и" приложенная энергия (работа, совершаемая в системе внешними силами).

$U\; деформация\; =\; E\; 2\; \int \; I\; (x)\; (wxx\; (x))\; 2\; dx\; U\; применено\; =\; P\; крит\; 2\; \int \; (wx\; (x))\; 2\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{деформация\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{E\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; I\; (x)\; (w\_\; \{xx\}\; (x))\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \backslash \; U\; \_\; \{\backslash \; text\; \{application\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{P\; \_\; \{\backslash \; text\; \{crit\}\}\}\; \{2\}\}\; \backslash \; int\; (\; w\_\; \{x\}\; (x))\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где $w\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; (x)\}$- функция с ущербом, а индексы $x\; \{\backslash \; displaystyle\; x\}$и $xx\; \{\backslash \; displaystyle\; xx\}$к первой и второй производным повреждениям.

Модели с Одна степенью свободы

Используя концепцию полной потенциальной энергии, $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$, можно выделить четыре основных потери формы устойчивости, обнаруженные в конструктивных моделях с одной степенью свободы. Начнем с выражения

$V\; =\; U\; -\; P\; \Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; V\; =\; UP\; \backslash \; Delta\}$

, где $U\; \{\backslash \; displaystyle\; U\}$- энергия деформации, накопленная в конструкции, $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$- приложенная консервативная нагрузка, а $\Delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\}$- расстояние, на которое $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$в его направлении. Используя аксиомы теории упругой устойчивости, а именно, что равновесие - это любая точка, в которой $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$неподвижен относительно координат, измеряющей степени (ы) свободы, и что эти точки стабильно только в том случае, если $V\; \{\backslash \; displaystyle\; V\}$является локальным минимумом и нестабильно в случае опасности (например, максимум или точка перегиба).

Эти четыре формы упругого изгиба составляют 132>бифуркация седло-узел или предельная точка; сверхкритическая или стабильно-симметричная бифуркация; докритическая или неустойчиво-симметричная бифуркация; и транскритическая или асимметричная бифуркация. Все эти примеры, кроме первого, представить собой форму раздвоения вил. Простые модели для каждого из этих типов поведения демонстрируются на рисунках ниже вместе с бифуркационными диаграммами.

Модели жестких звеньев с одной степенью свободы (SDoF), отображающие различные типа явлений устойчивости. Пружина в каждой не напряжена, когда $q\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; 0\}$.

Limit Point	Стабильно-симметричная бифуркация модели	Нестабильно-симметричная бифуркация	Асимметричная бифуркация
Модель фермы с наклонными звеньями и горизонтальной пружиной.	Модель звена с вращающейся пружиной	Модель звена с поперечной пружиной	Модель звена с наклонной пружиной

Диаграммы бифуркации (синий) для приведенных выше моделей с функцией энергии (красный), анимированной при помощи значений нагрузки, $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$(черный). Обратите внимание, нагрузка находится на вертикальной оси. Все графики представлены в безразмерном виде.

	$ПК\; =\; c\; /\; (2\; L)\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{C\}\; =\; c\; /\; (2L)\}$	$ПК\; =\; k\; L\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{C\}\; =\; kL\; /\; 2\}$	$PC\; =\; k\; L\; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; ^\; \{C\}\; =\; kL\; /\; 2\}$

Велосипедные колеса

Обычное велосипедное колесо состоит из тонкого обода, находящегося под высоким сжимающим напряжением (примерно нормальным) внутрь большого количества спиц. Его можно рассматривать как нагруженную колонну, согнутую по кругу. Если натяжение спиц превышает безопасный уровень, колесо самопроизвольно принимает характерную седловидную форму (иногда называемую «тако» или «шип »)) как трехмерный столбец Эйлера. Если это чисто упругая деформация, обод вернется в свою правильную плоскую форму, если будет уменьшено натяжение спиц или приложена поперечная сила с противоположного направления.

Дороги

Износ также является режимом разрушения материалов дорожного покрытия, в первую очередь с бетоном, поскольку асфальт более гибкий. Лучистое тепло от солнца поглощается поверхность, заставляя ее , заставляя соседние части прижиматься друг к другу. Если напряжение достаточно велико, тротуар может внезапно подняться и потрескаться. Переезд через изогнутый участок может быть очень неприятным для водителей автомобилей, описанных как наезд на горку на скоростях шоссе.

Железнодорожные пути

Железнодорожные пути в Нидерландах, подверженные солнечному изгибу.

Аналогично, железнодорожные пути также расширяются при нагревании, и может выйти из строя из-за изгиба - явления, называемого солнечным изгибом. Рельсы чаще перемещаются в боковом направлении, часто тянут за собой нижележащие шпалы (шпалы).

Эти аварии были сочтены связанными с солнечным изломом (дополнительная информация доступна на Список железнодорожных аварий (2000–2009) ):

• 18 апреля 2002 г. Amtrak Авто-поезд крушение с рельсов CSX возле Кресент-Сити, Флорида.
• 29 июля 2002 г. Амтрак Capitol Limited сход с рельсов CSX возле Кенсингтон, Мэриленд.
• 8 июля 2010 г. Крушение поезда CSX в Уокшоу, Северная Каролина.
• 6 июля 2012 г. WMATA Metrorail крушение поезда возле станции West Hyattsville, Maryland.

Трубы и сосуды высокого давления

Трубы и сосуды высокого давления, подверженные внешнему избыточному давлению, вызванному, например, паровым охлаждением внутри труба и конденсация в воду с последующим значительным падением давления, риск деформации из-за сжимающих кольцевых напряжений. Правила расчета необходимой толщины стенок или армирующих колец приведены в различных нормах для трубопроводов и сосудов высокого давления.

• Критическая нагрузка Эйлера
• Формула Перри Робертсона
• Напряжение рельсов
• Жесткость
• Метод дерева
• Потеря устойчивости по Йошимуре

• Тимошенко, ИП ; Гир, Дж. М. (1961). Теория упругой устойчивости (2-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Ненезич, М. (2004). «Механика термопластической сплошной среды». Журнал аэрокосмических структур. 4.
• Койтер, В. Т. (1945). Устойчивость упругого равновесия (PDF) (докторская диссертация).
• Раджеш, Дхакал; Маэкава, Коичи (2002). «Устойчивость арматуры и разрушение бетонного покрытия в железобетонных элементах». Журнал структурной инженерии. 128 (10): 1253–1262. doi : 10.1061 / (ASCE) 0733-9445 (2002) 128: 10 (1253). HDL : 10092/4229.
• Сегуи, Виллиан Т. (2007). Steel Design (Четвертое изд.). США: Томсон. ISBN 0-495-24471-6.
• Брун, Э. Ф. (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов. Индианаполис: Джейкобс.
• Элишакофф, I. (2004). Разрешение загадки двадцатого века в области упругой устойчивости. Сингапур: World Scientific / Imperial College Press. ISBN 978-981-4583-53-4.

• Полная теория и примеры экспериментальных результатов для длинных столбцов доступны в виде 39-страничного документа PDF по адресу http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm
• " Боковое продольное изгибание при кручении " (PDF). Архивировано из исходного (PDF) 1 апреля 2010 года. `