Порядок приближения

В науке, инженерии и других количественных дисциплинах порядок приближения относится к формальным или неформальным выражениям того, насколько точным является приближение.

• 1 Использование в науке и технике
  • 1.1 Нулевой порядок
  • 1.2 Первый порядок
  • 1.3 Второй порядок
  • 1.4 Высший порядок
• 2 Разговорное употребление
• 3 См. Также
• 4 Ссылки

В формальных выражениях порядковый номер, используемый перед словом order, относится к наивысший порядок производной в разложении ряда, используемом в приближении. Выражения: приближение нулевого порядка, приближение первого порядка, приближение второго порядка и т. Д. Используются как фиксированные фразы.. Распространено также выражение нулевого приближения. Кардинальные числа иногда используются в таких выражениях, как приближение нулевого порядка, приближение первого порядка и т. Д.

Отсутствие порядка слов приводит к фразам, в которых меньше формальное значение. Такие фразы, как в первом приближении или в первом приближении, могут относиться к примерно приблизительному значению величины. Фраза в нулевом приближении указывает на безумную догадку. Порядок аппроксимации выражения иногда неофициально используется для обозначения числа значащих цифр в порядке увеличения точности или до порядка величины. Однако это может сбивать с толку, поскольку эти формальные выражения не относятся напрямую к порядку производных.

Выбор расширения ряда зависит от научного метода, используемого для исследования явления. Ожидается, что выражение порядок приближения будет указывать на все более точные приближения функции в заданном интервале. Выбор порядка аппроксимации зависит от цели исследования . Можно упростить известное аналитическое выражение, чтобы разработать новое приложение, или, наоборот, попытаться подогнать кривую к точкам данных. Более высокий порядок приближения не всегда более полезен, чем более низкий. Например, если величина постоянна на всем интервале, аппроксимация ее с помощью ряда Тейлора второго порядка не повысит точность.

В случае гладкой функции аппроксимация n-го порядка представляет собой полином степени n, который получается усечением Ряд Тейлора до этой степени. Формальное использование порядка приближения соответствует пропуску некоторых членов ряда серии, используемых в разложении (обычно более высоких членов). Это влияет на точность. Ошибка обычно колеблется в пределах интервала. Таким образом, числа нулевой, первый, второй и т. Д., Используемые формально в приведенном выше значении, не дают напрямую информации о процентной ошибке или значащих цифрах.

нулевого порядка

нулевого- приближение порядка - это термин, который ученые используют для первого приблизительного ответа. Делается много упрощающих предположений, и когда требуется число, часто выдается ответ по порядку величины (или ноль значащих цифр ). Например, вы можете сказать «в городе несколько тысяч жителей», когда в действительности в нем проживает 3 914 человек. Это также иногда называют приближением порядка. Ноль «нулевого порядка» представляет собой тот факт, что даже единственное заданное число, «несколько», само по себе определяется слабо.

Аппроксимация нулевого порядка функции (то есть математически определение формулы для соответствия нескольким точкам данных ) будет константой или плоской линией без наклона : многочлен степени 0. Например,

$x\; =\; [0,\; 1,\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [0,1,2]\; \backslash ,\}$

$y\; =\; [3,\; 3,\; 5]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; [3,3,5]\; \backslash ,\}$

$y\; \sim \; е\; (x)\; =\; 3,67\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sim\; f\; (x)\; =\; 3,67\; \backslash ,\}$

могло бы быть - если была указана точность точки данных - приблизительным соответствием данным, полученным путем простого усреднения значений x и значения y. Однако точки данных представляют результаты измерений и действительно отличаются от точек в евклидовой геометрии. Таким образом, цитирование среднего значения, содержащего три значащих цифры в выходных данных, с одной значащей цифрой во входных данных может быть признано примером ложной точности. При предполагаемой точности точек данных, равной ± 0,5, приближение нулевого порядка могло бы в лучшем случае дать результат для y, равный ~ 3,7 ± 2,0 в интервале x от -0,5 до 2,5, с учетом стандартного отклонения.

Если точки данных представлены как

$x\; =\; [0.00,\; 1.00,\; 2.00]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [0.00,1.00,2.00]\; \backslash ,\}$

$y\; =\; [3.00,\; 3.00,\; 5.00]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; [3.00,3.00,5.00]\; \backslash ,\}$

нулевое приближение приводит к

$y\; \sim \; f\; (x)\; =\; 3.67\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sim\; f\; (x)\; =\; 3.67\; \backslash ,\}$

Точность результата оправдывает попытку вывести мультипликативную функцию для этого среднего, например,

$y\; \sim \; x\; +\; 2.67\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sim\; \backslash \; x\; +\; 2.67\}$

Однако следует быть осторожным, потому что мультипликативный функция будет определена для всего интервала. Если доступны только три точки данных, никто не знает об остальной части интервала, которая может составлять большую его часть. Это означает, что y может иметь другой компонент, равный 0 на концах и в середине интервала. Известен ряд функций, обладающих этим свойством, например y = sin πx. Ряд Тейлора полезен и помогает предсказать аналитическое решение, но одно только приближение не дает убедительных доказательств.

Первый порядок

Приближение первого порядка - это термин, который ученые используют для чуть лучшего ответа. Делаются некоторые упрощающие предположения, и когда требуется число, часто дается ответ только с одной значащей цифрой («в городе 4 × 10 или четыре тысячи жителей»). В случае приближения первого порядка по крайней мере одно приведенное число является точным. В приведенном выше примере нулевого порядка указано количество «несколько», но в примере первого порядка дано число «4».

Аппроксимация функции первого порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет линейной аппроксимацией, прямой линией с наклоном: полиномом степени 1. Например,

$х\; =\; [0,00,\; 1,00,\; 2,00]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [0,00,1,00,2,00]\; \backslash ,\}$

$y\; =\; [3,00,\; 3,00,\; 5,00]\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; [3,00,3,00,5,00]\; \backslash ,\}$

$y\; \sim \; f\; (x)\; =\; x\; +\; 2,67\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sim\; f\; (x)\; =\; x\; +\; 2,67\; \backslash ,\}$

является приблизительным соответствием данным. В этом примере есть приближение нулевого порядка, такое же, как и в первом порядке, но метод получения отличается; то есть дикий удар в темноте в отношениях оказался столь же хорош, как и «обоснованное предположение».

Второй порядок

Аппроксимация второго порядка - это термин, который ученые используют для получения качественного ответа. Делается несколько упрощающих предположений, и когда требуется число, обычно дается ответ с двумя или более значащими цифрами («в городе 3,9 × 10 или тридцать девятьсот жителей»). В финансовой математике приближения второго порядка известны как поправки на выпуклость. Как и в приведенных выше примерах, термин «2-й порядок» относится к количеству точных цифр, указанных для неточного количества. В этом случае «3» и «9» даны как два последовательных уровня точности, а не просто «4» из первого порядка или «несколько» из нулевого порядка, как в приведенных выше примерах.

Аппроксимация функции второго порядка (то есть математическое определение формулы для соответствия нескольким точкам данных) будет квадратичным полиномом, геометрически параболой : многочлен степени 2. Например,

$x\; =\; [0.00,\; 1.00,\; 2.00]\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; =\; [0.00,1.00,2.00]\; \backslash ,\}$

$y\; =\; [3.00,\; 3.00,\; 5.00]\; \{\; \backslash \; displaystyle\; y\; =\; [3.00,3.00,5.00]\; \backslash ,\}$

$y\; \sim \; f\; (x)\; =\; x\; 2\; -\; x\; +\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; \backslash \; sim\; f\; (x)\; =\; x\; ^\; \{2\}\; -x\; +\; 3\; \backslash ,\}$

приблизительно соответствует данным. В этом случае, имея только три точки данных, парабола является точным соответствием на основе предоставленных данных. Однако точки данных для большей части интервала недоступны, что требует осторожности (см. «нулевой порядок »).

Высший порядок

Хотя приближения более высокого порядка существуют и имеют решающее значение для лучшего понимания и описания реальности, их обычно не называют числами.

Продолжая вышесказанное, потребуется аппроксимация третьего порядка для точного соответствия четырем точкам данных и так далее. См. полиномиальная интерполяция.

Эти термины также используются в разговорной речи учеными и инженерами для описания явлений, которые можно игнорировать как незначительные (например, «Конечно, вращение Земли влияет на наш эксперимент, но это эффект настолько высокого порядка, что мы не сможем его измерить »или« При таких скоростях относительность - это эффект четвертого порядка, о котором мы беспокоимся только при ежегодной калибровке ».) В этом использовании порядковый номер приближения не точен, но используется для того, чтобы подчеркнуть его незначительность; чем выше использованное число, тем менее важен эффект. Терминология в этом контексте представляет собой высокий уровень точности, необходимый для учета эффекта, который считается очень небольшим по сравнению с общим предметом изучения. Чем выше порядок, тем больше требуется точности для измерения эффекта и, следовательно, малости эффекта по сравнению с общим измерением.

• Линеаризация
• Теория возмущений
• Ряд Тейлора
• Метод Чепмена-Энскога
• Нотация Big O