Расширение ряда

В математике расширение серии метод вычисления функции, которая не может быть выражена только элементарными операторами (сложение, вычитание, умножение и деление).

Результирующая так называемая серия часто может быть ограничена конечным числом членов, что дает приближение функции. Чем меньше членов последовательности используется, тем проще будет это приближение. Часто результирующая неточность (т. Е. частичная сумма пропущенных членов) может быть описана уравнением с использованием нотации Big O (см. Также асимптотическое разложение ). Расширение ряда на открытом интервале также будет приближением для не- аналитических функций.

Существует несколько видов расширений ряда, например:

• Ряд Тейлора : A степенной ряд на основе функции производных в одной точке.
• Серия Маклорена : особый случай ряда Тейлора с центром в нуле.
• Ряд Лорана : расширение ряда Тейлора, допускающее отрицательные значения показателя степени.
• Ряд Дирихле : используется в теории чисел.
• ряд Фурье : описывает периодические функции как ряд синус и косинус функции. В акустике, например, основной тон и обертоны вместе образуют пример ряда Фурье.
• Ньютоновский ряд
• полиномы Лежандра : Используется в физике для описания произвольного электрического поля как суперпозиции поля диполя, поля квадруполя, октупольное поле и т. д.
• полиномы Цернике : используются в оптике для расчета аберраций оптических систем. Каждый член в этой серии описывает определенный тип аберрации.
• Серия Стирлинга : используется в качестве приближения для факторов.