Тонкий треугольник - 2017 PDC Players Championship 1

Рис. 1 Равнобедренный тонкий треугольник

A тонкий треугольник в тригонометрии - это треугольник, высота которого намного больше его основания. Решение таких треугольников можно значительно упростить, используя приближение, согласно которому синус малого угла равен углу в радианах. Решение особенно просто для тонких треугольников, которые также являются равнобедренными или прямоугольными треугольниками : в этих случаях можно полностью отказаться от тригонометрических функций или таблиц.

Тонкий треугольник находит применение в геодезии, астрономии и стрельбе.

• 1 Равнобедренный треугольник
• 2 Прямоугольный треугольник
• 3 Приложения
  • 3.1 Астрономия
  • 3.2 Артиллерия
  • 3.3 Авиация
• 4 См. Также
• 5 Ссылки
• 6 Библиография

Таблица синусоидальных малоугловых ошибок аппроксимации

Большие углы	Малые углы
угол ошибка (градусы) (радианы) (%) 1 0,017 0,005 2 0,035 0,02 5 0,087 0,13 10 0,175 0,51 15 0,262 1,15 20 0,349 2,06 25 0,436 3,25 30 0,524 4,72 35 0,611 6,50 40 0,698 8,61 45 0,785 11,07 50 0,873 13,92 55 0,960 17,19 60 1,047 20,92	угол погрешность ( минут) (радианы) (ppm ) 1 0,0003 0,01 2 0,0006 0,06 5 0,0015 0,35 10 0,0029 1,41 15 0,0044 3,17 20 0,0058 5,64 25 0,0073 8,81 30 0,0087 12,69 35 0,0102 17,28 40 0,0116 2 2,56 45 0,0131 28,56 50 0,0145 35,26 55 0,0160 42,66 60 0,0175 50,77

Приблизительное решение тонкого равнобедренного треугольника, относящегося к фиг.1, есть;

$б\; \simeq \; р\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; simeq\; r\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

$площадь\; \simeq \; 1\; 2\; \theta \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{area\}\}\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \}\; \backslash \; theta\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

Это основано на аппроксимации малых углов ;

$sin\; \; \theta \; \simeq \; \theta ,\; \theta \; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; simeq\; \backslash \; theta,\; \backslash \; quad\; \backslash \; theta\; \backslash \; ll\; 1\; \backslash ,\}$

и,

$cos\; \; \theta \; =\; sin\; \; (\pi \; 2\; -\; \theta )\; \simeq \; 1,\; \theta \; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}\}\; -\; \backslash \; theta\; \backslash \; right)\; \backslash \; simeq\; 1,\; \backslash \; quad\; \backslash \; theta\; \backslash \; ll\; 1\}$

при $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \backslash \; theta\}$находится в радианах.

Доказательство решения тонкого треугольника следует из приближения малого угла с применением закона синусов. Снова обращаясь к фиг.1;

$б\; грех\; \; \theta \; =\; р\; грех\; \; (\pi \; -\; \theta \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\; \backslash \; pi\; -\; \backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

Термин $\pi \; -\; \theta \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; -\; \backslash \; theta\}\; \{2\}\}\}$представляет базовый угол треугольника и является этим значением, потому что сумма внутренних углов любого треугольника (в данном случае два базовых угла плюс θ) равна π. Применение приближения малых углов к закону синусов выше приводит к:

$b\; \theta \; \simeq \; r\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash \; theta\}\}\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; frac\; \{r\}\; \{1\}\}\}$

желаемый результат.

Рис.2 Длина дуги l приближается к длине хорды b по мере уменьшения угла θ

Этот результат эквивалентен предположению, что длина основания треугольник равен длине дуги окружности радиуса r, образуемой углом θ. Ошибка составляет 10% или меньше для углов менее примерно 43 ° и увеличивается квадратично : когда угол уменьшается в k раз, ошибка уменьшается на k.

Формула сторона-угол-сторона для площади треугольника:

$area\; =\; sin\; \; \theta \; 2\; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{area\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\; \{2\}\}\; r\; ^\; \{2\}\}$

Применение результатов аппроксимации малых углов в;

$площадь\; \simeq \; 1\; 2\; \theta \; r\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{area\}\}\; \backslash \; simeq\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; theta\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\}$

Рис.3 Правый тонкий треугольник

Таблица ошибок аппроксимации малых углов касательной

больших углов	малых углов
угла ошибок (градусы) (радианы) (%) 1 0.017 -0.01 5 0.087 -0.25 10 0,175 -1,02 15 0,262 -2,30 20 0,349 -4,09 25 0,436 -6,43 30 0,524 −9,31 35 0,611 −12,76 40 0,698 −16,80 45 0,785 −21,46 50 0,873 - 26,77 55 0,960 -32,78 60 1,047 -39,54	угол ошибка (минут) (радианы) (ppm) 1 0,0003 -0,03 5 0,0015 -0,71 10 0,0029 -2,82 15 0,0044 -6,35 20 0,0058 -11,28 25 0,0073 -17,63 30 0,0087 -25,38 35 0,0102 -34,55 40 0,0116 -45,13 45 0,0131 -57,12 50 0,0145 -70,51 55 0,0160 -85,32 60 0,0175 -101,54

. Приближенное решение для правого тонкого треугольника со ссылкой на рисунок 3:

$b\; \simeq \; час\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; b\; \backslash \; simeq\; h\; \backslash \; theta\}$

Это основано на приближении малых углов;

$загар\; \; \theta \; \simeq \; \theta ,\; \theta \; \ll \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \; simeq\; \backslash \; theta,\; \backslash \; quad\; \backslash \; theta\; \backslash \; ll\; 1\}$

который при замене в точное решение;

$b\; =\; h\; tan\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; b\; =\; h\; \backslash \; tan\; \backslash \; theta\; \backslash \}$

дает желаемый результат.

Ошибка этого приближения составляет менее 10% для углов 31 ° или меньше.

Применение тонкого треугольника происходит в любой ситуации, когда расстояние до Дальний объект подлежит определению. Это может происходить в геодезии, астрономии, а также в военных целях.

Астрономия

Тонкий треугольник часто используется в астрономии для измерения расстояния до объектов солнечной системы. Основание треугольника образовано расстоянием между двумя измерительными станциями, а угол θ - это угол параллакса , образованный объектом, видимым двумя станциями. Эта базовая линия обычно очень длинная для лучшей точности; в принципе станции могут быть на противоположных сторонах Земли. Однако это расстояние все еще мало по сравнению с расстоянием до измеряемого объекта (высота треугольника), и решение тонкого треугольника может быть применено и по-прежнему обеспечивает высокую точность. Альтернативный метод измерения базовых углов теоретически возможен, но не так точен. Базовые углы очень близки к прямым, и их необходимо измерять с гораздо большей точностью, чем угол параллакса, чтобы получить такую ​​же точность.

Можно применить тот же метод измерения углов параллакса и применения тонкого треугольника. используется для измерения расстояний до звезд, по крайней мере, до ближайших. Однако в случае звезд обычно требуется более длинная базовая линия, чем диаметр Земли. Вместо использования двух станций на базовой линии, два измерения выполняются с одной и той же станции в разное время года. В течение промежуточного периода орбита Земли вокруг Солнца перемещает измерительную станцию ​​на большое расстояние, обеспечивая очень длинную базовую линию. Длина этой базовой линии может быть равна большой оси земной орбиты или, что эквивалентно, двум астрономическим единицам (AU). Расстояние до звезды с углом параллакса только в одну угловую секунду, измеренное на базовой линии в одну а.е., является единицей, известной в астрономии как парсек (пк), и равно примерно 3,26. световых лет. Между расстоянием в парсеках и углом в угловых секундах существует обратная зависимость. Например, две угловые секунды соответствуют расстоянию в 0,5 пк, а 0,5 угловой секунды соответствуют расстоянию в два парсека.

Стрельба

Тонкий треугольник полезен при стрельбе, поскольку он позволяет соотносить рассчитываться между дальностью и размером цели без необходимости стрелку вычислять или искать какие-либо тригонометрические функции. Военные и охотничьи оптические прицелы часто имеют сетку, откалиброванную в миллирадианах, в данном контексте обычно называемых мил или мил-точками. Мишень высотой 1 метр и размером в 1 мил в прицеле соответствует дальности 1000 метров. Существует обратная зависимость между углом, измеренным в прицеле снайпера, и расстоянием до цели. Например, если размер этой же цели в прицеле составляет 2 мил, то дальность составляет 500 метров.

Еще одна единица измерения, которая иногда используется в прицелах, - это угловая минута (МОА). Расстояния, соответствующие угловым минутам, не являются точными числами в метрической системе , как в миллирадианах; однако существует удобное приблизительное соответствие целых чисел в имперских единицах. Мишень высотой 1 дюйм и размером 1 МОА в прицеле соответствует дальности 100 ярдов. Или, что может быть более полезно, цель высотой 6 футов и размером 4 MOA соответствует дальности 1800 ярдов (чуть больше мили).

Авиация

Простая форма авиационной навигации, точный расчет, основывается на оценке скорости ветра на больших расстояниях для расчета желаемого курса. Поскольку прогнозируемая или сообщаемая скорость ветра редко бывает точной, необходимо регулярно корректировать курс самолета. Тонкие треугольники составляют основу правила 1 из 60, которое гласит: «После 60 миль ваш курс отклоняется на один градус на каждую милю, на которую вы отклоняетесь от курса». «60» очень близко к 180 / π = 57,30.

• Бесконечно малые колебания маятника

• Джордж Огден Абелл, Дэвид Моррисон, Сидни К. Вольф, Исследование Вселенной, Saunders College Pub., 1987 ISBN 0-03-005143-6.
• Джим Брайтхаупт, Физика для продвинутого уровня, Нельсон Торнс, 2000 ISBN 0-7487-4315-4.
• Чарльз Х. Холброу, Джеймс Н. Ллойд, Джозеф К. Амато, Энрике Гальвез, Бет Паркс, Modern Introductory Physics, Springer, 2010 ISBN 0-387-79079-9.
• Срини Васан, Основы фотоники и оптики, Trafford Publishing, 2004 ISBN 1-4120-4138-4.
• Том А. Варлоу, Огнестрельное оружие, право и судебная баллистика, Taylor Francis, 1996 ISBN 0-7484-0432-5.