Решение треугольников

редактировать

Решение треугольников (Латинское : solutio triangulorum) является основным тригонометрическим проблема нахождения характеристик треугольника (углы и длины сторон), когда некоторые из них известны. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере . Приложения, требующие треугольных решений, включают геодезию, астрономию, строительство и навигацию.

Содержание

1 Решение плоских треугольников
- 1.1 Тригономический отношения
  - 1.1.1 Примечания
- 1.2 Заданы три стороны (SSS)
- 1.3 Две стороны и заданный угол наклона (SAS)
- 1.4 Указаны две стороны и заданный угол без учета (SSA)
- 1.5 Заданная сторона и два смежных угла (ASA)
- 1.6 Заданная сторона, один смежный угол и противоположный угол (AAS)
- 1.7 Другие заданные длины
2 Решение сферических треугольников
- 2.1 Заданы три стороны (сферическая SSS)
- 2.2 Указаны две стороны и включенный угол (сферическая SAS)
- 2.3 Указаны две стороны и невключенный угол (сферическая SSA)
- 2.4 Заданы сторона и два смежных угла (сферическая ASA)
- 2.5 Заданная сторона, один смежный угол и противоположный угол (сферический AAS)
- 2.6 Заданы три угла (сферический AAA)
- 2.7 Решение прямоугольных сферических треугольников
3 Некоторые приложения
- 3.1 Триангуляция
- 3.2 Дис. соотношение между двумя точками на земном шаре
4 См. также
5 Ссылки
6 Внешние ссылки

Решение плоских треугольников

Стандартное обозначение треугольника

Треугольник общей формы имеет шесть основных характеристик ( см. рисунок): три линейных (длины сторон a, b, c) и три угловых (α, β, γ). Задача классической плоской тригонометрии состоит в том, чтобы задать три из шести характеристик и определить остальные три. Треугольник может быть однозначно определен в этом смысле, если задан любой из следующих факторов:

Три стороны (SSS )
Две стороны и включенный угол (SAS )
Две стороны и угол без учета между ними (SSA ), если длина стороны, прилегающей к углу, короче, чем длина другой стороны.
Сторона и два смежных угла (ASA )
Сторона, противоположный ей угол и прилегающий к ней угол (AAS ).

Для всех случаев в плоскости должна быть указана как минимум одна из длин сторон. Если указаны только углы, сторона длины не могут быть определены, потому что любой подобный треугольник является решением.

Тригономические отношения

Обзор конкретных шагов и инструментов, используемых при решении плоских треугольников

Стандартный метод решения проблема заключается в использовании фундаментальных соотношений.

Закон косинусов: $a 2 = b 2 + c 2 - 2 bc cos ⁡ α {\ displaystyle a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ соз \ альфа}$ $a ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} -2bc \ cos \ alpha$; $b 2 = a 2 + c 2 - 2 ac cos ⁡ β {\ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos \ beta}$ $b ^ {2} = a ^ {2} + c ^ {2} -2ac \ cos \ beta$; $c 2 = a 2 + b 2-2 ab cos ⁡ γ {\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}$ $c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma$
Закон синусов: $грех ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ {\ displaystyle {\ frac {a} {\ sin \ alpha} } = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}}$ ${\ frac {a} {\ sin \ alpha}} = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}}$
Сумма углов: $α + β + γ = 180 ∘ {\ displaystyle \ alpha + \ beta + \ gamma = 180 ^ {\ circ}}$ $\ alpha + \ beta + \ gamma = 180 ^ {\ circ }$
Закон касательных: $a - ba + b = tan ⁡ [1 2 (α - β)] tan ⁡ [1 2 (α + β)]. {\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)]} {\ tan [{\ frac { 1} {2}} (\ alpha + \ beta)]}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {ab} {a + b}} = {\ frac {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta)]} {\ tan [{\ frac {1} {2}} (\ alpha + \ beta)]}}.}$

Есть и другие (иногда практически полезные) универсальные отношения: закон котангенсов и формула Моллвейде.

Примечания

Чтобы найти неизвестный угол, закон косинусов безопаснее, чем закон синусов. Причина в том, что значение синус для угла треугольника не определяет этот угол однозначно. Например, если sin β = 0,5, угол β может быть равен 30 ° или 150 °. Использование закона косинусов позволяет избежать этой проблемы: в интервале от 0 ° до 180 ° величина косинуса однозначно определяет его угол. С другой стороны, если угол мал (или близок к 180 °), то численно более надежно определить его по синусу, чем по косинусу, потому что функция арккосинуса имеет расходящуюся производную в 1 (или -1)..
Мы предполагаем, что взаимное расположение указанных характеристик известно. В противном случае решением будет и зеркальное отражение треугольника. Например, три длины стороны однозначно определяют либо треугольник, либо его отражение.

Заданы три стороны (SSS)

Заданы три стороны

Пусть заданы три длины сторон a, b, c. Чтобы найти углы α, β, можно использовать закон косинусов :

α = arccos ⁡ b 2 + c 2 - a 2 2 bc β = arccos ⁡ a 2 + c 2 - b 2 2 ак. {\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha = \ arccos {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}} \\ [4pt] \ beta = \ arccos {\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}}. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha = \ arccos {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2 }} {2bc}} \\ [4pt] \ beta = \ arccos {\ frac {a ^ {2} + c ^ {2} -b ^ {2}} {2ac}}. \ End {выравнивается}} }

Тогда угол γ = 180 ° - α - β.

Некоторые источники рекомендуют находить угол β из закона синусов, но (как указано в примечании 1 выше) есть риск спутать значение острого угла с тупым.

Другой метод вычисления углов от известных сторон состоит в применении закона котангенсов.

Две стороны и заданный включенный угол (SAS)

Две стороны и заданный включенный угол

Здесь известны длины сторон a, b и угол γ между этими сторонами. Третья сторона может быть определена из закона косинусов:

c = a 2 + b 2 - 2 a b cos ⁡ γ. {\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}.}

c = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \ cos \ gamma}}.

Теперь мы используем закон косинусов, чтобы найти второй угол:

α = arccos ⁡ b 2 + c 2 - a 2 2 до н.э. {\ displaystyle \ alpha = \ arccos {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}}.}

\ alpha = \ arccos {\ frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {2bc}}.

Наконец, β = 180 ° - α - γ.

Даны две стороны и невключенный угол (SSA)

Даны две стороны и невключенный угол

Два решения для треугольника

Этот случай разрешим не во всех случаях; решение гарантированно будет уникальным только в том случае, если длина стороны, прилегающей к углу, короче, чем длина другой стороны. Предположим, что известны две стороны b, c и угол β. Уравнение для угла γ может быть выведено из закона синусов :

sin ⁡ γ = c b sin ⁡ β. {\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {b}} \ sin \ beta.}

{\ displaystyle \ sin \ gamma = {\ frac {c} {b}} \ sin \ beta.}

Далее обозначим D = c / b sin β (правая часть уравнения). Возможны четыре случая:

Если D>1, такого треугольника не существует, потому что сторона b не достигает линии BC. По той же причине решение не существует, если угол β ≥ 90 ° и b ≤ c.
Если D = 1, существует единственное решение: γ = 90 °, т. Е. Треугольник равен под прямым углом.
Если D < 1 two alternatives are possible.
1. Если b ≥ c, то β ≥ γ (большая сторона соответствует большему углу). Поскольку ни в одном треугольнике не может быть двух тупых углов, γ - острый угол, и решение γ = arcsin D уникально.
2. Если b < c, the angle γ may be acute: γ = arcsin D or obtuse: γ′ = 180° − γ. The figure on right shows the point C, the side b and the angle γ as the first solution, and the point C′, side b′ and the angle γ′ as the second solution.

После получения γ третий угол α = 180 ° - β - γ.

Третью сторону можно найти из закона синусов:

a = b sin ⁡ α sin ⁡ β {\ displaystyle a = b \ {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta}}}

a = b \ {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ beta} }

или

a = c cos ⁡ β ± b 2 - c 2 sin 2 ⁡ β {\ displaystyle a = c \ cos \ beta \ pm {\ sqrt {b ^ {2} - c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}}}

{\ displaystyle a = c \ cos \ beta \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -c ^ {2} \ sin ^ {2} \ beta}}}

Заданы сторона и два смежных угла (ASA)

Заданы одна сторона и два смежных угла

Известными характеристиками являются сторона c и углы α, β. Третий угол γ = 180 ° - α - β.

Две неизвестные стороны могут быть вычислены по закону синусов:

a = c sin ⁡ α sin ⁡ γ; b = c sin ⁡ β sin ⁡ γ. {\ displaystyle a = c \ {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ gamma}}; \ quad b = c \ {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ gamma}}.}

a = c \ {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ gamma}}; \ quad b = c \ {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ gamma}}.

или

a = c грех ⁡ α sin ⁡ α cos ⁡ β + sin ⁡ β cos ⁡ α {\ displaystyle a = c {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ грех \ бета \ соз \ альфа}}

{\ displaystyle a = c {\ frac {\ sin \ alpha} {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ beta \ cos \ alpha}}}

б = с грех ⁡ β грех ⁡ α соз ⁡ β + грех ⁡ β соз ⁡ α {\ displaystyle b = c {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ beta \ cos \ alpha}}

{\ displaystyle b = c {\ frac {\ sin \ beta} {\ sin \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ beta \ cos \ alpha}} }

Заданная сторона, один смежный угол и противоположный угол (AAS)

Процедура решения треугольника AAS такая же как для треугольника ASA: сначала найдите третий угол, используя свойство суммы углов треугольника, затем найдите две другие стороны, используя закон синусов .

Другие заданные длины

В Во многих случаях треугольники могут быть решены с учетом трех частей информации, некоторые из которых являются длинами медиан треугольника, высот или биссектрис угла. Позаментьер и Леманн перечисляют результаты по вопросу о разрешимости, используя не более чем квадратные корни (т.е. конструктивность ) для каждого из 95 различных случаев; 63 из них можно построить.

Решение сферических треугольников

Сферический треугольник

Общий сферический треугольник полностью определяется тремя из шести его характеристик (3 стороны и 3 угла). Длины сторон a, b, c сферического треугольника - это их центральные углы, измеренные в угловых единицах, а не в линейных. (На единичной сфере угол (в радианах ) и длина вокруг сферы численно одинаковы. На других сферах угол (в радианах) равен длине вокруг сферы, деленной на радиус.)

Сферическая геометрия отличается от планарной евклидовой геометрии, поэтому решение сферических треугольников строится по другим правилам. Например, сумма трех углов α + β + γ зависит от размера треугольника. Кроме того, похожие треугольники не могут быть неравными, поэтому задача построения треугольника с заданными тремя углами имеет единственное решение. Основные соотношения, используемые для решения проблемы, аналогичны отношениям в плоском случае: см. Сферический закон косинусов и Сферический закон синусов.

Среди других соотношений, которые могут быть полезны, являются формула половинной стороны и аналогии Напьера :

$tan ⁡ c 2 cos ⁡ α - β 2 = tan ⁡ a + b 2 cos ⁡ α + β 2 {\ displaystyle \ tan {\ frac {c } {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {a + b} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2} } = \ tan {\ frac {a + b} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}$
$загар ⁡ c 2 грех ⁡ α - β 2 = загар ⁡ a - b 2 грех ⁡ α + β 2 {\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ sin {\ frac { \ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {ab} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}$ ${\ displaystyle \ tan {\ frac {c} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} = \ tan {\ frac {ab} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}$
$кроватка ⁡ γ 2 cos ⁡ a - б 2 знак равно загар ⁡ α + β 2 соз ⁡ a + b 2 {\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cos {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {a + b} {2}}}$ ${\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ cos {\ frac {ab} { 2}} = \ tan {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {a + b} {2}}}$
$кроватка ⁡ γ 2 sin ⁡ a - b 2 = tan ⁡ α - β 2 sin ⁡ a + Би 2. {\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ sin {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ sin {\ frac {a + b} {2}}.}$ ${\ displaystyle \ cot {\ frac {\ gamma} {2}} \ sin {\ frac {ab} {2}} = \ tan {\ frac {\ альфа - \ бета} {2}} \ sin {\ frac {a + b} {2}}.}$

Заданы три стороны

Заданы три стороны (сферическая SSS)

Известны: стороны a, b, c (в угловых единицах). Углы треугольника вычисляются с использованием сферического закона косинусов :

α = arccos ⁡ (cos ⁡ a - cos ⁡ b cos ⁡ c sin ⁡ b sin ⁡ c), {\ displaystyle \ alpha = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos a- \ cos b \ \ cos c} {\ sin b \ \ sin c}} \ right),}

\ alpha = \ arccos \ left ({\ frac { \ cos a- \ cos b \ \ cos c} {\ sin b \ \ sin c}} \ right),

β = arccos ⁡ (cos ⁡ b - cos ⁡ c cos ⁡ a грех ⁡ с грех ⁡ a), {\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos b- \ cos c \ \ cos a} {\ sin c \ \ sin a}} \ right),}

\ beta = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos b- \ cos c \ \ cos a} {\ sin c \ \ sin a}} \ right),

γ = arccos ⁡ (cos ⁡ c - cos ⁡ a cos ⁡ b sin ⁡ a sin ⁡ b). {\ displaystyle \ gamma = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos c- \ cos a \ \ cos b} {\ sin a \ \ sin b}} \ right).}

\ gamma = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos c- \ cos a \ \ cos b} {\ sin a \ \ sin b}} \ right).

Две стороны и включенные заданный угол

Две стороны и заданный угол наклона (сферическая SAS)

Известные: стороны a, b и угол γ между ними. Сторона c может быть найдена из сферического закона косинусов:

c = arccos ⁡ (cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ γ). {\ displaystyle c = \ arccos \ left (\ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos \ gamma \ right).}

c = \ arccos \ left (\ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos \ gamma \ right).

Углы α, β можно вычислить, как указано выше, или используя аналогии Нэпьера :

α знак равно arctan ⁡ 2 грех ⁡ a загар ⁡ (γ 2) грех ⁡ (b + a) + кроватка ⁡ (γ 2) sin ⁡ (b - a), {\ displaystyle \ alpha = \ arctan \ { \ frac {2 \ sin a} {\ tan ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (b + a) + \ cot ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin ( ba)}},}

\ alpha = \ arctan \ {\ frac {2 \ sin a} { \ tan ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (b + a) + \ cot ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (ba)}},

β = arctg 2 sin ⁡ b tan ⁡ (γ 2) sin ⁡ (a + b) + cot ⁡ (γ 2) sin ⁡ (a - b). {\ displaystyle \ beta = \ arctan \ {\ frac {2 \ sin b} {\ tan ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (a + b) + \ cot ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (ab)}}.}

{\ displaystyle \ beta = \ arctan \ {\ frac {2 \ sin b} {\ tan ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (a + b) + \ кроватка ({\ frac {\ gamma} {2}}) \ sin (ab)}}.}

Эта проблема возникает в навигационной задаче нахождения большого круга между двумя точками на Земле, заданными их широтой и долготой; в этом приложении важно использовать формулы, которые не допускают ошибок округления. Для этой цели можно использовать следующие формулы (которые могут быть получены с помощью векторной алгебры):

c = arctan ⁡ (sin ⁡ a cos ⁡ b - cos ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ γ) 2 + (sin ⁡ b sin ⁡ γ) 2 cos ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ a sin ⁡ b cos ⁡ γ, α = arctan ⁡ sin ⁡ a sin ⁡ γ sin ⁡ b cos ⁡ a - cos ⁡ b sin ⁡ a cos ⁡ γ, β знак равно arctan ⁡ грех ⁡ б грех ⁡ γ грех ⁡ a соз ⁡ b - соз ⁡ a грех ⁡ b соз ⁡ γ, {\ displaystyle {\ begin {align} c = \ arctan {\ frac {\ sqrt {(\ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma) ^ {2} + (\ sin b \ sin \ gamma) ^ {2}}} {\ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos \ gamma}}, \\\ alpha = \ arctan {\ frac {\ sin a \ sin \ gamma} {\ sin b \ cos a- \ cos b \ sin a \ cos \ gamma}}, \\\ beta = \ arctan {\ frac {\ sin b \ sin \ gamma} {\ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma}}, \ end {align}}}

{\ begin {align} c = \ arctan {\ frac {\ sqrt {(\ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma) ^ {2} + (\ sin b \ sin \ gamma) ^ {2}}} {\ cos a \ cos b + \ sin a \ sin b \ cos \ gamma}}, \\\ alpha = \ arctan {\ frac {\ sin a \ sin \ gamma} {\ sin b \ cos a- \ cos b \ sin a \ cos \ gamma}}, \\\ beta = \ arctan {\ frac {\ sin b \ sin \ gamma} {\ sin a \ cos b- \ cos a \ sin b \ cos \ gamma}}, \ end {выровнено} }

где Знаки числителей и знаменателей в этих выражениях следует использовать для определения квадранта арктангенса.

Заданы две стороны и задан невключенный угол.

Даны две стороны и задан невключенный угол (сферическая SSA)

Эта проблема не решается во всех случаях; решение гарантированно будет уникальным только в том случае, если длина стороны, прилегающей к углу, короче, чем длина другой стороны. Известно: стороны b, c и угол β не между ними. Решение существует, если выполняется следующее условие:

b>arcsin ⁡ (sin ⁡ c sin ⁡ β). {\ displaystyle b>\ arcsin (\ sin c \, \ sin \ beta).}

b>\ arcsin (\ sin c \, \ sin \ beta).

Угол γ может быть найден из сферического закона синусов :

γ знак равно arcsin ⁡ (грех ⁡ с грех ⁡ β грех ⁡ b), {\ displaystyle \ gamma = \ arcsin \ left ({\ frac {\ sin c \, \ sin \ beta} {\ sin b}} \ справа).}

\ gamma = \ arcsin \ left ({\ frac {\ sin c \, \ sin \ beta} {\ sin b}} \ right).

Что касается плоского случая, если b < c then there are two solutions: γ and 180° - γ.

Мы можем найти другие характеристики, используя аналогии Напьера:

a = 2 arctan ⁡ [tan ⁡ (1 2 (b - c)) sin ⁡ (1 2 (β + γ)) sin ⁡ (1 2 (β - γ))], α = 2 arccot ​​⁡ [tan ⁡ (1 2 (β - γ)) sin ⁡ (1 2 (b + c)) грех ⁡ (1 2 (b - c))]. {\ displaystyle {\ begin {align} a = 2 \ arctan \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (bc) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ beta + \ gamma) \ right)} {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ beta - \ gamma) \ right)}} \ right], \\ [4pt] \ alpha = 2 \ operatorname {arccot} \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} ( \ beta - \ gamma) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (b + c) \ right)} {\ sin \ left ({\ tfrac {1} { 2}} (bc) \ right)}} \ right]. \ End {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a = 2 \ arctan \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (bc) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ beta + \ gamma) \ right)} { \ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ beta - \ gamma) \ right)}} \ right], \\ [4pt] \ alpha = 2 \ operatorname {arccot} \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ beta - \ gamma) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (b + c) \ right)} {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (bc) \ right)}} \ right]. \ end {align}}}

Заданы одна сторона и два смежных угла

Заданы сторона и два смежных угла (сферическая ASA)

Известны: сторона c и углы α, β. Сначала мы определяем угол γ, используя сферический закон косинусов :

γ = arccos ⁡ (sin ⁡ α sin ⁡ β cos ⁡ c - cos ⁡ α cos ⁡ β). {\ displaystyle \ gamma = \ arccos (\ sin \ alpha \ sin \ beta \ cos c- \ cos \ alpha \ cos \ beta). \,}

\ gamma = \ arccos (\ sin \ alpha \ sin \ beta \ cos c- \ cos \ alpha \ cos \ beta). \,

Мы можем найти две неизвестные стороны сферического закона косинусов (используя рассчитанный угол γ):

a = arccos ⁡ (cos ⁡ α + cos ⁡ β cos ⁡ γ sin ⁡ β sin ⁡ γ), {\ displaystyle a = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ alpha + \ cos \ beta \ cos \ gamma} {\ sin \ beta \ sin \ gamma}} \ right),}

a = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ alpha + \ cos \ beta \ cos \ gamma} {\ sin \ beta \ sin \ g amma}} \ right),

b = arccos ⁡ (cos ⁡ β + cos ⁡ α cos ⁡ γ sin ⁡ α sin ⁡ γ), {\ displaystyle b = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ beta + \ cos \ alpha \ cos \ gamma} {\ sin \ alpha \ sin \ gamma}} \ right),}

{\ displaystyle b = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ beta + \ cos \ alpha \ cos \ gamma} {\ sin \ alpha \ sin \ gamma}} \ right),}

или используя аналогии Напье:

a = arctan ⁡ [2 sin ⁡ α cot ⁡ (c 2) sin ⁡ (β + α) + tan ⁡ (c 2) sin ⁡ (β - α)], b = arctan ⁡ [2 sin ⁡ β cot (c 2) sin ⁡ (α + β) + tan ⁡ (c 2) sin ⁡ (α - β)]. {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} a = \ arctan \ left [{\ frac {2 \ sin \ alpha} {\ cot ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ beta + \ alpha) + \ tan ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ beta - \ alpha)}} \ right], \\ [4pt] b = \ arctan \ left [{\ frac {2 \ sin \ бета} {\ cot ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ alpha + \ beta) + \ tan ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ alpha - \ beta) }} \ right]. \ end {align}}}

{\ displaystyle { \ begin {align} a = \ arctan \ left [{\ frac {2 \ sin \ alpha} {\ cot ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ beta + \ alpha) + \ tan ( {\ frac {c} {2}}) \ sin (\ beta - \ alpha)}} \ right], \\ [4pt] b = \ arctan \ left [{\ frac {2 \ sin \ beta} {\ кроватка ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ alpha + \ beta) + \ tan ({\ frac {c} {2}}) \ sin (\ alpha - \ beta)}} \ right ]. \ end {align}}}

Одна сторона, один смежный угол и противоположный угол заданы

Сторона, один смежный угол и задан противоположный угол (сферический AAS)

Известно: сторона a и углы α, β. Сторона b может быть найдена из сферического закона синусов :

b = arcsin ⁡ (sin ⁡ a sin ⁡ β sin ⁡ α). {\ displaystyle b = \ arcsin \ left ({\ frac {\ sin a \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}} \ right).}

b = \ arcsin \ left ({\ frac {\ sin a \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}} \ right).

Если угол для стороны a острый и α>β, существует другое решение:

b = π - arcsin ⁡ (sin ⁡ a sin ⁡ β sin ⁡ α). {\ displaystyle b = \ pi - \ arcsin \ left ({\ frac {\ sin a \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}} \ right).}

b = \ pi - \ arcsin \ left ({\ frac {\ sin a \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha}} \ right).

Мы можем найти другие характеристики, используя Napier's аналогии:

c = 2 arctan ⁡ [tan ⁡ (1 2 (a - b)) sin ⁡ (1 2 (α + β)) sin ⁡ (1 2 (α - β))], γ = 2 arccot ⁡ [tan ⁡ (1 2 (α - β)) sin ⁡ (1 2 (a + b)) sin ⁡ (1 2 (a - b))]. {\ displaystyle {\ begin {align} c = 2 \ arctan \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (ab) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right)}} \ right], \\ [4pt] \ gamma = 2 \ operatorname {arccot} \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (a + b) \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} (ab) \ right)}} \ right]. \ конец {выровнен}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} c = 2 \ arctan \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (ab) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ alpha + \ beta) \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right)}} \ right], \\ [4pt] \ gamma = 2 \ operatorname { arccot} \ left [\ tan \ left ({\ tfrac {1} {2}} (\ alpha - \ beta) \ right) {\ frac {\ sin \ left ({\ tfrac {1} {2}} ( a + b) \ right)} {\ sin \ left ({\ frac {1} {2}} (ab) \ right)}} \ right]. \ end {align}}}

Заданы три угла

Заданы три угла (сферический AAA)

Известны: углы α, β, γ. Из сферического закона косинусов мы заключаем:

a = arccos ⁡ (cos ⁡ α + cos ⁡ β cos ⁡ γ sin ⁡ β sin ⁡ γ), {\ displaystyle a = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ alpha + \ cos \ beta \ cos \ gamma} {\ sin \ beta \ sin \ gamma}} \ right),}

a = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ alpha + \ cos \ beta \ cos \ gamma} {\ sin \ beta \ sin \ g amma}} \ right),

b = arccos ⁡ (cos ⁡ β + cos ⁡ γ соз ⁡ α грех ⁡ γ грех ⁡ α), {\ displaystyle b = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ beta + \ cos \ gamma \ cos \ alpha} {\ sin \ gamma \ sin \ alpha}} \ right),}

b = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ beta + \ cos \ gamma \ cos \ alpha} {\ sin \ gamma \ sin \ alpha}} \ right),

c = arccos ⁡ (cos ⁡ γ + cos ⁡ α cos ⁡ β sin ⁡ α sin ⁡ β). {\ displaystyle c = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ beta} {\ sin \ alpha \ sin \ beta}} \ right).}

c = \ arccos \ left ({\ frac {\ cos \ gamma + \ cos \ alpha \ cos \ beta} {\ sin \ alpha \ sin \ beta}} \ справа).

Решение справа- угловые сферические треугольники

Вышеупомянутые алгоритмы становятся намного проще, если один из углов треугольника (например, угол C) является прямым. Такой сферический треугольник полностью определяется двумя своими элементами, а остальные три могут быть вычислены с использованием Пентагона Нэпьера или следующих соотношений.

грех ⁡ a = грех ⁡ c ⋅ sin ⁡ A {\ displaystyle \ sin a = \ sin c \ cdot \ sin A}

\ sin a = \ sin c \ cdot \ sin A

(из сферического закона синусов )

tan ⁡ a = грех ⁡ б ⋅ загар ⁡ A {\ Displaystyle \ загар a = \ грех b \ cdot \ tan A}

\ tan a = \ sin b \ cdot \ tan A

соз ⁡ с = соз ⁡ a ⋅ соз ⁡ b {\ displaystyle \ cos c = \ cos a \ cdot \ cos b}

\ cos c = \ cos a \ cdot \ cos b

(из сферического закона косинусов )

tan ⁡ b = tan ⁡ c ⋅ cos ⁡ A {\ displaystyle \ tan b = \ tan c \ cdot \ cos A}

\ tan b = \ tan c \ cdot \ cos A

соз ⁡ A = соз ⁡ a ⋅ sin ⁡ B {\ displaystyle \ cos A = \ cos a \ cdot \ sin B}

\ cos A = \ cos a \ cdot \ sin B

(также из сферического закона косинусов)

соз ⁡ c = детская кроватка ⁡ A ⋅ детская кроватка ⁡ B {\ displaystyle \ cos c = \ cot A \ cdot \ cot B}

\ cos c = \ детская кроватка A \ cdot \ кроватка B

Некоторые приложения

Триангуляция

Измерение расстояний с помощью триангуляции

Если кто-то хочет измерить расстояние d от берега до удаленного судна с помощью триангуляции, он отмечает на берегу две точки с известным расстоянием l между ними (базовая линия). Пусть α, β - углы между базовой линией и направлением на корабль.

Из формул выше (случай ASA, предполагая, что геометрии) расстояние можно вычислить как высоту треугольника :

d = sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ (α + β) ℓ = tan ⁡ α tan ⁡ β tan ⁡ α + tan ⁡ β ℓ. {\ displaystyle d = {\ frac {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}} \ ell = {\ frac {\ tan \ alpha \, \ tan \ beta} {\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} \ ell.}

{\ displaystyle d = {\ frac {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin (\ alpha + \ beta)}} \ ell = {\ frac {\ tan \ alpha \, \ tan \ beta} {\ tan \ alpha + \ tan \ beta}} \ ell.}

Для сферического случая можно сначала вычислить длину стороны от точки α до корабля (т.е. стороны, противоположной β) с помощью Формула ASA

загар ⁡ b = 2 грех ⁡ β детская кроватка ⁡ (1/2) грех ⁡ (α + β) + загар ⁡ (1/2) грех ⁡ (α - β), {\ displaystyle \ tan b = {\ frac {2 \ sin \ beta} {\ cot (l / 2) \ sin (\ alpha + \ beta) + \ tan (l / 2) \ sin (\ alpha - \ beta)}},}

{\ displaystyle \ tan b = {\ frac {2 \ sin \ beta} {\ cot (l / 2) \ sin (\ alpha + \ beta) + \ tan (l / 2) \ sin (\ alpha - \ beta)}},}

и вставьте это в формулу AAS для правого подтреугольника, который содержит угол α и стороны b и d:

sin ⁡ d = sin ⁡ b sin ⁡ α = tan ⁡ b 1 + tan 2 ⁡ b sin ⁡ α. {\ displaystyle \ sin d = \ sin b \ sin \ alpha = {\ frac {\ tan b} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} b}}} \ sin \ alpha.}

{\ displaystyle \ sin d = \ sin b \ sin \ alpha = {\ frac {\ tan b} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} b}}} \ sin \ alpha.}

(The плоская формула фактически является первым членом разложения Тейлора d сферического решения по степеням l.)

Этот метод используется в каботаже. Углы α, β определяются путем наблюдения за знакомыми ориентирами с корабля.

Как измерить высоту горы

В качестве другого примера, если кто-то хочет измерить высоту h горы или высокого здания, задаются углы α, β от двух точек земли до вершины. Пусть ℓ - расстояние между этими точками. Из тех же формул для случая ASA получаем:

h = sin ⁡ α sin ⁡ β sin ⁡ (β - α) ℓ = tan ⁡ α tan ⁡ β tan ⁡ β - tan ⁡ α ℓ. {\ displaystyle h = {\ frac {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin (\ beta - \ alpha)}} \ ell = {\ frac {\ tan \ alpha \, \ tan \ beta} {\ tan \ beta - \ tan \ alpha}} \ ell.}

{\ displaystyle h = {\ frac {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin (\ beta - \ alpha)}} \ ell = {\ frac {\ tan \ alpha \, \ tan \ beta} {\ tan \ beta - \ tan \ alpha}} \ ell.}

Расстояние между двумя точками на земном шаре

Чтобы вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре,

Точка A: широта λ A, долгота L A и

Точка B: широта λ B, долгота L B

мы рассматриваем сферический треугольник ABC, где C - Северный полюс. Вот некоторые характеристики:

a = 90 o - λ B, {\ displaystyle a = 90 ^ {\ mathrm {o}} - \ lambda _ {\ mathrm {B}}, \,}

a = 90 ^ {\ mathrm {o}} - \ lambda _ {\ mathrm {B}}, \,

b = 90 о - λ A, {\ displaystyle b = 90 ^ {\ mathrm {o}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}, \,}

b = 90 ^ {\ mathrm {o}} - \ lambda _ {\ mathrm {A}}, \,

γ = LA - LB. {\ displaystyle \ gamma = L _ {\ mathrm {A}} -L _ {\ mathrm {B}}. \,}

\ gamma = L _ {\ mathrm {A}} -L _ {\ mathrm {B}}. \,

Если две стороны и заданный угол, мы получаем из формул

AB = R arccos ⁡ [sin ⁡ λ A sin ⁡ λ B + cos ⁡ λ A cos ⁡ λ B cos ⁡ (LA - LB)]. {\ Displaystyle \ mathrm {AB} = R \ arccos \ left [\ sin \ lambda _ {\ mathrm {A}} \, \ sin \ lambda _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ lambda _ {\ mathrm {A}} \, \ cos \ lambda _ {\ mathrm {B}} \, \ cos \ left (L _ {\ mathrm {A}} -L _ {\ mathrm {B}} \ right) \ right].}

{\ displaystyle \ mathrm {AB} = R \ arccos \ left [\ sin \ lambda _ {\ mathrm {A}} \, \ sin \ lambda _ {\ mathrm {B}} + \ cos \ lambda _ {\ mathrm {A}} \, \ cos \ lambda _ {\ mathrm {B}} \, \ cos \ left (L _ {\ mathrm {A}} -L _ {\ mathrm {B}} \ right) \ right].}

Здесь R - радиус Земли.

См. Также

Ссылки

Евклид (1956) [1925]. Сэр Томас Хит (ред.). Тринадцать Книг Стихий. Том I. Переведено с введением и комментариями. Дувр. ISBN 0-486-60088-2.

Внешние ссылки

Trigonometric Delights, автор Эли Маор, Princeton University Press, 1998. Версия электронной книги, в формате PDF, полный текст представлен.
Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луи Ингольда, компания Macmillan, 1914. На изображениях представлен полный текст. Книга Google.
Сферическая тригонометрия в мире математики.
Введение в сферический триггер. Включает обсуждение круга Напьера и правил Непьера
Сферическая тригонометрия - для использования в колледжах и школах Автор: И. Тодхантер, Массачусетс, ФРС Историческая математическая монография, опубликованная Библиотекой Корнельского университета.
Triangulator - Решатель треугольников. Решите любую задачу о плоском треугольнике с минимумом входных данных. Рисование решенного треугольника.
TriSph - Бесплатное программное обеспечение для решения сферических треугольников, настраиваемое для различных практических приложений и сконфигурированное для гномоники.
Калькулятор сферических треугольников - Решает сферические треугольники.