Сферический закон косинусов

В сферической тригонометрии используется закон косинусов (также называемый правило косинусов для сторон ) - это теорема, связывающая стороны и углы сферических треугольников, аналогичная обычному закону косинусов из плоскости тригонометрия.

Для единичной сферы "сферический треугольник" на поверхности сферы определяется большими окружностями, соединяющими три точки u, v, и w на сфера (показана справа). Если длины этих трех сторон равны a (от u до v ), b (от u до w ) и c (от v до w ), а угол угла напротив c равен C, тогда (первый) сферический закон косинусов гласит:

$cos\; \; c\; =\; cos\; \; a\; cos\; \; b\; +\; sin\; \; a\; sin\; \; b\; cos\; \; C\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; c\; =\; \backslash \; cos\; a\; \backslash \; cos\; b\; +\; \backslash \; sin\; a\; \backslash \; sin\; b\; \backslash \; cos\; C\; \backslash ,\}$

Поскольку это единичная сфера, длины a, b и c просто равны углам (в радианах ) между этими сторонами от центра сферы. (Для неединичной сферы длины - это вытянутые углы, умноженные на радиус, и формула все еще остается в силе, если a, b и c переинтерпретировать как вытянутые углы). В качестве особого случая для C = π / 2, тогда cos C = 0, и получается сферический аналог теоремы Пифагора :

$cos\; \; c\; =\; cos\; \; a\; cos\; \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; c\; =\; \backslash \; cos\; a\; \backslash \; cos\; b\; \backslash ,\}$

Если для определения c используется закон косинусов, необходимость инвертирования косинуса увеличивает ошибки округления, когда c мало. В этом случае предпочтительна альтернативная формулировка закона гаверсинусов.

Вариация закона косинусов, второго сферического закона косинусов (также называемого косинусом правило углов ) гласит:

$соз\; \; С\; =\; -\; соз\; \; A\; соз\; \; В\; +\; грех\; \; A\; грех\; \; В\; соз\; \; с\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; C\; =\; -\; \backslash \; соз\; A\; \backslash \; соз\; B\; +\; \backslash \; грех\; A\; \backslash \; sin\; B\; \backslash \; cos\; c\; \backslash ,\}$

где A и B - углы, противоположные сторонам a и b, соответственно. Его можно получить из рассмотрения сферического треугольника , двойственного данному.

Содержание

• 1 Доказательства
  • 1.1 Первая проба
  • 1.2 Вторая проба
• 2 Перестановки
• 3 Плоский предел: малые углы
• 4 См. Также
• 5 Примечания

Доказательства

Первое доказательство

Пусть u, vи w обозначают единичные векторы от центра сферы до этих углов треугольника. Углы и расстояния не изменяются при повороте системы координат, поэтому мы можем повернуть систему координат так, чтобы $u\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}$находился на северном полюсе. и $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$где-то на нулевом меридиане (долгота 0). При этом повороте сферические координаты для $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$равны $(r,\; \theta ,\; \varphi )\; =\; (1,\; a,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; (1,\; a,\; 0)\}$, где θ - угол, отсчитываемый от северного полюса, а не от экватора, а сферические координаты для $вес\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}$равны $(r,\; \theta ,\; \varphi )\; =\; (1,\; b,\; C)\; \{\backslash \; displaystyle\; (r,\; \backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\; =\; (1,\; b,\; C)\}$. Декартовы координаты для $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$равны $(x,\; y,\; z)\; =\; (sin\; \; a,\; 0,\; cos\; \; a)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; x,\; y,\; z)\; =\; (\backslash \; sin\; a,\; 0,\; \backslash \; cos\; a)\}$и декартовы координаты для $w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}$равны $(Икс,\; Y,\; Z)\; знак\; равно\; (грех\; \; б\; соз\; \; С,\; грех\; \; б\; грех\; \; С,\; соз\; \; б)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (х,\; у,\; z)\; =\; (\backslash \; грех\; Ь\; \backslash \; соз\; С,\; \backslash \; sin\; b\; \backslash \; sin\; C,\; \backslash \; cos\; b)\}$. Значение $cos\; \; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; c\}$- это скалярное произведение двух декартовых векторов, которое составляет $sin\; \; a\; sin\; \; b\; cos\; \; C\; +\; cos\; \; a.\; соз\; \; b\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; a\; \backslash \; sin\; b\; \backslash \; cos\; C\; +\; \backslash \; cos\; a\; \backslash \; cos\; b\}$.

Второе доказательство

Пусть u, vи w обозначают единичные векторы от центра сферы до этих углов треугольника. У нас есть u· u= 1, v· w= cos c, u· v= cos a и u· w= cos b. Векторы u× vи u× wимеют длины sin a и sin b соответственно, а угол между ними равен C, поэтому

sin a sin b cos C = (u× v) · (u× w) = (u· u)(v· w) - (u· v)(u· w) = cos c - cos a cos b,

с использованием перекрестных произведений, скалярных произведений и тождества Бине – Коши (p× q) · (r× s) = (p· r)(q· s) - (p· s)(q· r).

Перестановки

Первый и второй сферические законы косинусов можно изменить так, чтобы стороны (a, b, c) и углы (A, B, C) находились на противоположных сторонах уравнений :

$соз\; \; С\; =\; соз\; \; с\; -\; соз\; \; a\; соз\; \; б\; грех\; \; а\; грех\; \; б\; соз\; \; с\; =\; соз\; \; С\; +\; соз\; \; A\; соз\; \; В\; грех\; \; А\; грех\; \; В\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; \backslash \; cos\; C\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; c-\; \backslash \; cos\; a\; \backslash \; cos\; b\}\; \{\backslash \; sin\; a\; \backslash \; sin\; b\}\}\; \backslash \backslash \backslash \backslash \backslash \; cos\; c\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; cos\; C\; +\; \backslash \; cos\; A\; \backslash \; cos\; B\}\; \{\backslash \; sin\; A\; \backslash \; sin\; B\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Плоский предел: малые углы

Для маленьких сферических треугольников, т.е. для малых a, b и c, сферический закон косинусов примерно такой же, как и обычный планарный закон косинусов,

$c\; 2\; \approx \; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; 2\; ab\; cos\; \; C.\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; приблизительно\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -2ab\; \backslash \; cos\; C\; \backslash ,.\}$

Чтобы доказать это, мы будем использовать малоугловое приближение полученное из ряда Маклорена для функций косинуса и синуса:

$cos\; \; a\; =\; 1\; -\; a\; 2\; 2\; +\; O\; (a\; 4),\; sin\; \; a\; =\; a\; +\; O\; (a\; 3)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; a\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right),\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; a\; =\; a\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\}$

Подставляем эти выражения в сферический закон сетей косинусов:

$1\; -\; c\; 2\; 2\; +\; O\; (c\; 4)\; =\; 1\; -\; a\; 2\; 2\; -\; b\; 2\; 2\; +\; a\; 2\; b\; 2\; 4\; +\; O\; (a\; 4)\; +\; O\; (b\; 4)\; +\; cos\; \; (C)\; (ab\; +\; O\; (a\; 3\; b)\; +\; O\; (ab\; 3)\; +\; O\; (a\; 3\; b\; 3))\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{c\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; +\; O\; \backslash \; left\; (c\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; =\; 1\; -\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{\; 2\}\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\}\; \{4\}\}\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; cos\; (C)\; \backslash \; left\; (ab\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{3\}\; b\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (ab\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{3\}\; b\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; right)\}$

или после упрощения:

$c\; 2\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; 2\; ab\; cos\; \; C\; +\; O\; (c\; 4)\; +\; O\; (a\; 4)\; +\; O\; (b\; 4)\; +\; O\; (a\; 2\; b\; 2)\; +\; O\; (a\; 3\; b)\; +\; O\; (ab\; 3)\; +\; O\; (a\; 3\; b\; 3).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -2ab\; \backslash \; cos\; C\; +\; O\; \backslash \; left\; (c\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{2\}\; b\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{3\}\; b\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (ab\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{3\}\; b\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right).\}$

В больших O членах для a и b преобладает O (a) + O (b), поскольку a и b становятся малыми, поэтому мы можем записать это последнее выражение как:

$c\; 2\; =\; a\; 2\; +\; b\; 2\; -\; 2\; ab\; cos\; \; C\; +\; O\; (a\; 4)\; +\; O\; (\; б\; 4)\; +\; О\; (в\; 4).\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; =\; a\; ^\; \{2\}\; +\; b\; ^\; \{2\}\; -2ab\; \backslash \; cos\; C\; +\; O\; \backslash \; left\; (a\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (b\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right)\; +\; O\; \backslash \; left\; (c\; ^\; \{4\}\; \backslash \; right).\}$

См. Также

• Формула половинной стороны
• Гиперболический закон косинусов
• Решение треугольников

Примечания

1. ^ W. Геллерт, С. Готвальд, М. Хеллвич, Х. Кестнер и Х. Кюстнер, Краткая энциклопедия математики VNR, 2-е изд., Гл. 12 (Ван Ностранд Рейнхольд: Нью-Йорк, 1989).
2. ^Scibor-Marchocki Ромуальда Иренеуса, Сферическая тригонометрия, веб-страница Elementary-Geometry Trigonometry (1997).
3. ^Р. У. Синнотт, "Добродетели гаверзина", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
4. ^Рейман, Иштван (1999). Geometria és határterületei. Szalay Könyvkiadó és Kereskedőház Kft. п. 83.