Хорда (геометрия)

редактировать

Сегмент геометрической линии, обе конечные точки которого лежат на кривой

A хорде окружности - это отрезок прямой, оба конца которого лежат на окружности. Бесконечная прямая продолжение хорды - это секущая линия, или просто секущая. В более общем смысле, хорда - это отрезок линии, соединяющий две точки на любой кривой, например, эллипс . Хорда, проходящая через центральную точку круга, - это диаметр круга. Слово аккорд происходит от латинского chorda, означающего тетиву.

Красный сегмент BX - это хорд. (как и сегмент диаметра AB).

Содержание

1 В кругах
2 В эллипсах
3 В тригонометрии
4 См. Также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

В кругах

Среди свойств хорд круга следующие :

Хорды равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
Равные хорды соединяются равными углами от центра круга.
Хорда, проходящая через центр окружности называется диаметром и является самой длинной хордой.
Если продолжения (секущие) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют условию AP · PB = CP · PD (степень теоремы ).

в эллипсах

Средние точки набора параллельных хорд эллипса коллинеарны.

в тригонометрии

Аккорды широко использовались на раннем этапе развития тригонометрии. Первая известная тригонометрическая таблица, c составленный Гиппархом, привел в таблицу значение хордовой функции для каждых 7,5 градусов. Во втором веке нашей эры Птолемей Александрийский составил более обширную таблицу аккордов в своей книге по астрономии, указав значение хорды для углов от 1/2 градуса до 180 градусов с шагом в полградуса. Круг имел диаметр 120, а длина хорды была точной до двух цифр с основанием 60 после целой части.

Функция хорды определяется геометрически, как показано на рисунке. Хорда угла - это длина хорды между двумя точками на единичной окружности, разделенными этим центральным углом. Угол θ берется в положительном смысле и должен лежать в интервале 0 < θ ≤ π (radian measure). The chord function can be related to the modern sine функции, если одна из точек должна быть (1,0), а другая точка - (cos θ, sin θ), а затем с помощью теоремы Пифагора для вычисления длины хорды:

crd θ = (1 - cos ⁡ θ) 2 + sin 2 ⁡ θ = 2-2 cos ⁡ θ = 2 sin ⁡ (θ 2). {\ Displaystyle \ mathrm {crd} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}

{\ mathrm {crd}} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).

На последнем шаге используется формула полуугла. Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была основана на функции аккорда. Предполагается, что Гиппарх написал двенадцать томов об аккордах, которые теперь утеряны, поэтому, по-видимому, о них было известно очень много. В таблице ниже (где $c {\ displaystyle c}$ $c$ - длина хорды, а $D {\ displaystyle D}$ $D$ диаметр окружности) хорда можно показать, что функция удовлетворяет многим тождествам, аналогичным хорошо известным современным:

Имя	Синусоидальное	Аккордовое
Пифагорейское	$sin 2 ⁡ θ + соз 2 ⁡ θ знак равно 1 {\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 \,}$ $\ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 \,$	$crd 2 θ + crd 2 (π - θ) = 4 {\ displaystyle \ mathrm {crd} ^ {2} \ theta + \ mathrm {crd} ^ {2} (\ pi - \ theta) = 4 \,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {crd} ^ {2} \ theta + \ mathrm {crd} ^ {2} (\ pi - \ theta) = 4 \,}$
Полуугол	$sin ⁡ θ 2 = ± 1 - соз ⁡ θ 2 {\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}} \,}$ $\ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {{\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}}} \,$	$crd θ 2 = ± 2 - crd (π - θ) {\ displaystyle \ mathrm {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {2- \ mathrm {crd} (\ pi - \ theta)}} \,}$ ${\ displaystyle \ mathrm {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {2- \ mathrm {crd} (\ pi - \ theta)}} \,}$
Апофема (a)	$c = 2 r 2 - a 2 {\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}} }}$ $c = 2 {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}}$	$c = D 2 - 4 a 2 {\ displaystyle c = {\ sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}}$ $c = {\ sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}$
Угол (θ)	$c = 2 r грех ⁡ (θ 2) {\ Displaystyle с = 2r \ грех \ влево ({ \ frac {\ theta} {2}} \ right)}$ $c = 2 r \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right)$	$c = D 2 crd θ {\ displaystyle c = {\ frac {D} {2}} \ mathrm {crd} \ \ theta}$ $c = {\ frac {D} {2}} {\ mathrm {crd}} \ \ theta$

Также существует обратная функция:

acrd ⁡ (y) = 2 arcsin ⁡ (y 2). {\ displaystyle \ operatorname {acrd} (y) = 2 \ arcsin \ left ({\ frac {y} {2}} \ right).}

{\ displaystyle \ operatorname {acrd} (y) = 2 \ arcsin \ left ({\ frac {y} {2} } \ right).}

См. также

Круговой сегмент - часть сектор, который остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
Шкала хорд
Таблица хорд Птолемея
Теорема Холдитча, для хорда, вращающаяся по выпуклой замкнутой кривой
Круговой график
Exsecance и excosecant
Versine и haversine
Кривая Циндлера (замкнутая и простая кривая, в которой все хорды, которые делят длину дуги пополам, имеют такой же длины)

Ссылки

Дополнительная литература

Хокинг, Стивен Уильям, изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии. Филадельфия, США: Running Press. ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441. Проверено 31 июля 2017 г.
Stávek, Jiří (10 марта 2017 г.) [26 февраля 2017 г.]. «О скрытой красоте тригонометрических функций». Прикладные исследования физики. Прага, Чехия: Канадский центр науки и образования. 9 (2): 57–64. doi : 10.5539 / апр.v9n2p57. ISSN 1916-9639. ISSN 1916-9647.[1]

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с Хорда (геометрия).

История тригонометрии Краткое описание
Тригонометрические функции с упором на историю
Хорда (круга) С интерактивной анимацией