Вращение вокруг фиксированной оси

редактировать
Сфера, вращающаяся вокруг одного из своих диаметров

Вращение вокруг фиксированной оси или вокруг фиксированная ось вращения или движение относительно фиксированной оси вращения является частным случаем вращательного движения. Гипотеза фиксированной оси исключает возможность изменения ориентации оси и не может описывать такие явления, как качание или прецессия. Согласно теореме вращения Эйлера, одновременное вращение по нескольким неподвижным осям одновременно невозможно. Если принудительно выполнить два поворота одновременно, появится новая ось вращения.

В этой статье предполагается, что вращение также является стабильным, поэтому для его поддержания не требуется крутящий момент. кинематика и динамика вращения вокруг фиксированной оси твердого тела математически намного проще, чем для свободного вращения твердого тела ; они полностью аналогичны таковым для линейного движения в одном фиксированном направлении, что неверно для свободного вращения твердого тела. Выражения для кинетической энергии объекта и для сил, действующих на части объекта, также проще для вращения вокруг фиксированной оси, чем для общего вращательного движения. По этим причинам вращение вокруг фиксированной оси обычно преподается на вводных курсах физики после того, как студенты освоили линейное движение ; полная универсальность вращательного движения обычно не преподается на вводных уроках физики.

Содержание

  • 1 Поступление и вращение
  • 2 Кинематика
    • 2.1 Угловое смещение
    • 2.2 Скорость углового момента
    • 2.3 Угловое ускорение
    • 2.4 Уравнения кинематики
  • 3 Динамика
    • 3.1 Момент инерции
    • 3.2 Крутящий момент
    • 3.3 Угловой момент
    • 3.4 Кинетическая энергия
  • 4 Векторное выражение
  • 5 Примеры и применения
    • 5.1 Постоянная угловая скорость
    • 5.2 Центростремительная сила
  • 6 См. Также
  • 7 Ссылки

Смещение и вращение

Пример вращения. Каждая часть червячной передачи - как червяк, так и червячная передача - вращается вокруг собственной оси.

Твердое тело - это объект конечной протяженности, в котором все расстояния между составляющими частицами равны постоянный. По-настоящему твердого тела не существует; внешние силы могут деформировать любое твердое тело. Таким образом, для наших целей твердое тело - это твердое тело, которое требует больших усилий для его значительной деформации.

Изменение положения частицы в трехмерном пространстве может быть полностью задано тремя координатами. Сложнее описать изменение положения твердого тела. Его можно рассматривать как комбинацию двух различных типов движения: поступательного движения и кругового движения.

Чисто поступательное движение происходит, когда каждая частица тела имеет ту же мгновенную скорость, что и любая другая частица; тогда путь, пройденный любой частицей, точно параллелен пути, пройденному любой другой частицей в теле. При поступательном движении изменение положения твердого тела полностью задается тремя координатами, такими как x, y и z, задающими смещение любой точки, например центра масс, привязанной к жесткое тело.

Чисто вращательное движение происходит, если каждая частица в теле движется по кругу вокруг одной линии. Эта линия называется осью вращения. Тогда векторы радиуса от оси до всех частиц одновременно претерпевают одинаковое угловое смещение. Ось вращения не обязательно должна проходить через тело. В общем, любое вращение может быть полностью задано тремя угловыми смещениями относительно осей прямоугольных координат x, y и z. Таким образом, любое изменение положения твердого тела полностью описывается тремя поступательными и тремя вращательными координатами.

Любое смещение твердого тела может быть достигнуто, сначала подвергнув тело смещению с последующим вращением, или, наоборот, вращению с последующим смещением. Мы уже знаем, что для любого набора частиц - будь то в состоянии покоя относительно друг друга, как в твердом теле, или в относительном движении, как взрывающиеся фрагменты оболочки, ускорение центра масс определяется выражением

F net = M acm {\ displaystyle F _ {\ mathrm {net}} = Ma _ {\ mathrm {cm}} \; \!}F _ {{{\ mathrm {net}} }} = Ma _ {{{\ mathrm {cm}}}} \; \!

где M - общая масса системы, а см - это ускорение центра масс. Остается описать вращение тела вокруг центра масс и связать его с внешними силами, действующими на тело. Кинематика и динамика вращательного движения вокруг единственной оси напоминают кинематику и динамику поступательного движения; вращательное движение вокруг единственной оси даже имеет теорему о работе-энергии, аналогичную теореме динамики частиц.

Кинематика

Угловое смещение

Частица движется по окружности радиуса r {\ displaystyle r}r . После перемещения дуги на длину s {\ displaystyle s}s ее угловое положение составляет θ {\ displaystyle \ theta}\ theta относительно исходного положения, где θ = sr {\ displaystyle \ theta = {\ frac {s} {r}}}\ theta = {\ frac {s} {r}} .

В математике и физике принято использовать натуральные единицы радианы, а не градусы или оборотов. Единицы преобразуются следующим образом:

1 оборот = 360 ∘ = 2 π радиан, а 1 рад = 180 ∘ π ≈ 57,27 ∘. {\ displaystyle {\ begin {align} 1 {\ text {Revolution}} = 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi {\ text {радианы, и}} \\ 1 {\ text {rad}} = {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ приблизительно 57,27 ^ {\ circ}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} 1 {\ text {Revolution}} = 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi {\ text {радианы, и}} \\ 1 {\ text {rad}} = {\ frac {180 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ приблизительно 57,27 ^ {\ circ}. \ End {align}}}

Угловое смещение - это изменение углового положения:

Δ θ знак равно θ 2 - θ 1, {\ displaystyle \ Delta \ theta = \ theta _ {2} - \ theta _ {1}, \!}\ Delta \ theta = \ theta _ {{2}} - \ theta _ {{1}}, \!

где Δ θ {\ displaystyle \ Delta \ theta}\ Delta \ theta - угловое смещение, θ 1 {\ displaystyle \ theta _ {1}}\ theta _ {1} - начальное угловое положение и θ 2 {\ displaystyle \ theta _ {2 }}\ theta _ {2} - конечное угловое положение.

Скорость углового момента

Изменение углового смещения в единицу времени называется угловой скоростью с направлением вдоль оси вращения. Обозначение угловой скорости: ω {\ displaystyle \ omega}\ omega , обычно единицы измерения - рад с. Угловая скорость - это величина угловой скорости.

ω ¯ = Δ θ Δ t = θ 2 - θ 1 t 2 - t 1. {\ displaystyle {\ overline {\ omega}} = {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta t}} = {\ frac {\ theta _ {2} - \ theta _ {1}} {t_ {2 } -t_ {1}}}.}\ overline {\ omega} = {\ frac {\ Delta \ theta} {\ Delta t }} = {\ frac {\ theta _ {2} - \ theta _ {1}} {t_ {2} -t_ {1}}}.

Мгновенная угловая скорость определяется как

ω (t) = d θ dt. {\ displaystyle \ omega (t) = {\ frac {d \ theta} {dt}}.}\ omega (t) = {\ frac {d \ theta} { dt}}.

Используя формулу для углового положения и позволяя v = dsdt {\ displaystyle v = {\ frac {ds } {dt}}}v = {\ frac {ds} {dt}} , мы также имеем

ω = d θ dt = vr, {\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ frac { v} {r}},}\ omega = {\ frac {d \ theta} {dt}} = {\ frac {v} {r}},

где v {\ displaystyle v}v - скорость движения частицы.

Угловая скорость и частота связаны соотношением

ω = 2 π f {\ displaystyle \ omega = {2 \ pi f} \!}{\ displaystyle \ omega = {2 \ pi f} \!} .

Угловое ускорение

Изменение угловой скорости указывает на наличие углового ускорения в твердом теле, обычно измеряемого в рад-с. Среднее угловое ускорение α ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ alpha}}}\ overline {\ alpha} за интервал времени Δt определяется выражением

α ¯ = Δ ω Δ t = ω 2 - ω 1 т 2 - т 1. {\ displaystyle {\ overline {\ alpha}} = {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t}} = {\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {t_ {2 } -t_ {1}}}.}\ overline {\ alpha} = {\ frac {\ Delta \ omega} {\ Delta t}} = {\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1} } {t_ {2} -t_ {1}}}.

Мгновенное ускорение α (t) определяется как

α (t) = d ω dt = d 2 θ dt 2. {\ displaystyle \ alpha (t) = {\ frac {d \ omega} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}.}\ alpha (t) = {\ frac {d \ omega} {dt}} = {\ frac { d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}}.

Таким образом, Угловое ускорение - это скорость изменения угловой скорости, так же как ускорение - это скорость изменения скорости.

поступательное ускорение точки на вращающемся объекте определяется выражением

a = r α, {\ displaystyle a = r \ alpha, \!}a = r \ alpha, \ !

, где r - радиус или расстояние от ось вращения. Это также тангенциальный компонент ускорения: он тангенциальный к направлению движения точки. Если этот компонент равен 0, движение будет равномерным круговым движением, и скорость изменяется только в направлении.

Радиальное ускорение (перпендикулярно направлению движения) определяется как

a R = v 2 r = ω 2 r {\ displaystyle a _ {\ mathrm {R}} = {\ frac {v ^ {2}} {r}} = \ omega ^ {2} r \!}a _ {{{\ mathrm {R}}}} = {\ frac {v ^ {2}} {r}} = \ omega ^ {2} r \! .

Оно направлено к центру вращательного движения и часто называется центростремительным ускорением.

Угловое ускорение вызывается крутящим моментом, который может иметь положительное или отрицательное значение в соответствии с соглашением о положительной и отрицательной угловой частоте. Соотношение крутящего момента и углового ускорения (насколько сложно запустить, остановить или иным образом изменить вращение) задается моментом инерции : T = I α {\ displaystyle T = I \ alpha}T = I \ alpha .

Уравнения кинематики

Когда угловое ускорение постоянно, пять величин углового смещения θ {\ displaystyle \ theta}\ theta , начальная угловая скорость ω i {\ displaystyle \ omega _ {i}}\ omega _ {i} , конечная угловая скорость ω f {\ displaystyle \ omega _ {f}}\ омега _ {е} , угловое ускорение α { \ displaystyle \ alpha}\ alpha , а время t {\ displaystyle t}t может быть связано четырьмя уравнениями кинематики :

ω f = ω i + α t θ знак равно ω это + 1 2 α T 2 ω е 2 знак равно ω я 2 + 2 α θ θ = 1 2 (ω f + ω я) t {\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {f} = \ omega _ {i} + \ alpha t \\\ theta = \ omega _ {i} t + {\ frac {1} {2}} \ alpha t ^ {2} \\\ omega _ {f} ^ {2} = \ omega _ {i} ^ {2} +2 \ alpha \ theta \\\ theta = {\ frac {1} {2}} \ left (\ omega _ {f} + \ omega _ {i} \ right) t \ end {align}}}{ \ Displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {f} = \ omega _ {i} + \ alpha t \\\ theta = \ omega _ {i} t + {\ frac {1} {2}} \ альфа t ^ {2} \\\ omega _ {f} ^ {2} = \ omega _ {i} ^ {2} +2 \ alpha \ theta \\\ theta = {\ frac {1} {2 }} \ left (\ omega _ {f} + \ omega _ {i} \ right) t \ end {align}}}

Dy namics

Момент инерции

Момент инерции объекта, обозначенный I, является мерой сопротивления объекта изменениям его вращения. Момент инерции измеряется в килограммах-м² (кг · м). Это зависит от массы объекта: увеличение массы объекта увеличивает момент инерции. Это также зависит от распределения массы: распределение массы дальше от центра вращения увеличивает момент инерции в большей степени. Для одиночной частицы массы m {\ displaystyle m}m на расстоянии r {\ displaystyle r}r от оси вращения задается момент инерции автор

I = mr 2. {\ displaystyle I = mr ^ {2}.}I = mr ^ {2}.

Крутящий момент

Крутящий момент τ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}{\ boldsymbol {\ tau}} - эффект скручивания сила F, приложенная к вращающемуся объекту, который находится в позиции r от его оси вращения.. Математически

τ = r × F, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F},}{\ boldsymbol {\ tau}} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F},

где × обозначает перекрестное произведение. Чистый крутящий момент, действующий на объект, вызовет угловое ускорение объекта в соответствии с

τ = I α, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = I {\ boldsymbol {\ alpha}},}{\ boldsymbol {\ tau}} = I {\ boldsymbol {\ alpha}},

точно так же, как F = m a в линейной динамике.

Работа, совершаемая крутящим моментом, действующим на объект, равна величине крутящего момента, умноженной на угол, на который приложен крутящий момент:

W = τ θ. {\ displaystyle W = \ tau \ theta. \!}W = \ tau \ theta. \!

Мощность крутящего момента равна работе, совершаемой крутящим моментом в единицу времени, следовательно:

P = τ ω. {\ displaystyle P = \ tau \ omega. \!}P = \ tau \ omega. \!

Угловой момент

Угловой момент L {\ displaystyle \ mathbf {L}}\ mathbf {L} является мерой трудность остановки вращающегося объекта. Он задается как

L = ∑ r × p {\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ sum \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}} для всех частиц в объекте.

Угловой момент - это произведение момента инерции и угловой скорости:

L = I ω, {\ displaystyle \ mathbf {L} = I {\ boldsymbol {\ omega}},}{\ mathbf {L}} = I {\ boldsymbol {\ omega}},

точно так же, как p = m v в линейной динамике.

Эквивалент количества движения во вращательном движении - это момент количества движения. Чем больше угловой момент вращающегося объекта, такого как волчок, тем сильнее его тенденция к продолжению вращения.

Угловой момент вращающегося тела пропорционален его массе и скорости его вращения. Кроме того, угловой момент зависит от того, как масса распределена относительно оси вращения: чем дальше от оси вращения расположена масса, тем больше угловой момент. Плоский диск, такой как проигрыватель пластинок, имеет меньший угловой момент, чем полый цилиндр с той же массой и скоростью вращения.

Подобно импульсу, угловой момент является векторной величиной, и его сохранение подразумевает, что направление оси вращения имеет тенденцию оставаться неизменным. По этой причине волчок остается в вертикальном положении, а стационарный сразу же падает.

Уравнение углового момента может использоваться для связи момента результирующей силы, действующей на тело вокруг оси (иногда называемой крутящим моментом), и скоростью вращения вокруг этой оси.

Крутящий момент и угловой момент связаны согласно

τ = d L dt, {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}},}{\ boldsymbol {\ tau}} = {\ frac {d {\ mathbf {L}}} {dt}},

так же, как F = d p / dt в линейной динамике. В отсутствие внешнего крутящего момента угловой момент тела остается постоянным. Сохранение углового момента особенно ярко проявляется в фигурном катании : при приближении рук к телу во время вращения момент инерции уменьшается, и, следовательно, угловая скорость увеличивается.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия K rot, обусловленная вращением тела, определяется как

K rot = 1 2 I ω 2, {\ displaystyle K _ {\ text {rot}} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2},}{\ displaystyle K _ {\ text {rot}} = {\ frac {1} {2}} I \ omega ^ {2},}

точно так же, как K trans = ⁄ 2 мв в линейной динамике.

Кинетическая энергия - это энергия движения. Количество поступательной кинетической энергии определяется двумя переменными: массой объекта (m) и скоростью объекта (v), как показано в уравнении выше. Кинетическая энергия всегда должна быть нулевой или положительной. Хотя скорость может иметь положительное или отрицательное значение, квадрат скорости всегда будет положительным.

Векторное выражение

Вышеупомянутое развитие является частным случаем обычного вращательного движения. В общем случае угловое смещение, угловая скорость, угловое ускорение и крутящий момент считаются векторами.

Угловое смещение считается вектором, направленным вдоль оси, величиной, равной величине Δ θ {\ displaystyle \ Delta \ theta}\ Delta \ theta . Правило правой руки используется для определения направления его оси вдоль оси; если пальцы правой руки согнуты, чтобы указать направление вращения объекта, то большой палец правой руки указывает в направлении вектора.

Вектор угловой скорости также указывает вдоль оси вращения таким же образом, как и вызываемые им угловые смещения. Если диск вращается против часовой стрелки, если смотреть сверху, его вектор угловой скорости указывает вверх. Точно так же вектор углового ускорения указывает вдоль оси вращения в том же направлении, что и угловая скорость, если бы угловое ускорение сохранялось в течение длительного времени.

Вектор крутящего момента указывает вдоль оси, вокруг которой крутящий момент имеет тенденцию вызывать вращение. Чтобы поддерживать вращение вокруг фиксированной оси, вектор полного крутящего момента должен располагаться вдоль оси, чтобы он изменял только величину, а не направление вектора угловой скорости. В случае шарнира только составляющая вектора крутящего момента вдоль оси влияет на вращение, другие силы и крутящие моменты компенсируются структурой.

Примеры и применения

Постоянная угловая скорость

Самый простой случай вращения вокруг фиксированной оси - это постоянная угловая скорость. Тогда общий крутящий момент равен нулю. Например, Земля вращается вокруг своей оси, трение очень мало. Для вентилятора двигатель прикладывает крутящий момент для компенсации трения. Подобно вентиляторам, оборудование, используемое в индустрии массового производства, эффективно демонстрирует вращение вокруг фиксированной оси. Например, многошпиндельный токарный станок используется для вращения материала вокруг своей оси, чтобы эффективно увеличить производительность резки, деформации и точения. Угол поворота является линейной функцией времени, которая по модулю 360 ° является периодической функцией.

Примером этого является задача двух тел с круговыми орбитами.

Центростремительная сила

Внутреннее растягивающее напряжение обеспечивает центростремительная сила, удерживающая вращающийся объект вместе. Модель твердого тела не учитывает сопутствующую деформацию . Если тело не жесткое, эта деформация заставит его изменить форму. Это выражается в изменении формы объекта из-за «центробежной силы ».

Вращающиеся друг вокруг друга небесные тела часто имеют эллиптические орбиты. Частный случай круговых орбит является примером вращения вокруг фиксированной оси: эта ось является линией, проходящей через центр масс , перпендикулярной плоскости движения. Центростремительная сила обеспечивается гравитацией, см. Также задача двух тел. Это обычно также относится к вращающемуся небесному телу, поэтому оно не обязательно должно быть твердым, чтобы держаться вместе, если только угловая скорость не слишком высока по сравнению с его плотностью. (Однако он будет иметь тенденцию стать сплющенным.) Например, вращающемуся небесному водоему требуется не менее 3 часов 18 минут, чтобы вращаться, независимо от размера, иначе вода отделится. Если плотность жидкости выше, время может быть меньше. См. период обращения.

См. Также

Ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-04 10:56:32
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте